Bài giảng phương trình vi phân (đại học thủy lợi)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI 2A MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO • • Đặt vấn đề Mơ hình tăng trưởng dân số I ĐẶT VẤN ĐỀ • Mục 1.4 xét phương trình vi phân dạng mũ dP = kP , có nghiệm dạng dt kt P (t ) = P0e , mơ hình tốn học cho tăng trưởng dân số tự nhiên, k = β − δ, β tỉ lệ sinh, δ tỉ lệ chết (cố định) • Thực tế thường gặp tỉ lệ sinh tỉ lệ chết số, cần có mơ hình tốn nào? II MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ Phương trình tăng trưởng dân số • Giả sử thay đổi dân số phụ thuộc vào sinh sản diệt vong (khơng tính đến vấn đề di cư, nhập cư, mơi trường, ) • P(t) hàm tăng trưởng dân số • Gọi β(t) số lượng dân số sinh đợn vị thời gian thời điểm t; • δ(t) số lượng dân số bị chết đơn vị thời gian thời điểm t • Số lượng dân số sinh chết khoảng thời gian [t, t + Δt] xấp xỉ β(t).P(t).Δt δ(t).P(t).Δt • ΔP ≈ β (t ).P (t ).Δt − δ (t ).P (t ).Δt • ΔP ≈ [ β (t ) − δ (t )] P (t ) Δt • Cho Δt → ta có dP = ( β ( t ) − δ ( t ) ) P ( t ) dt phương trình tăng trưởng dân số tổng quát (1.1) • Khi β(t) ≡ β, δ(t) ≡ δ ta có phương trình tăng trưởng dân số tự nhiên với k = β − δ • Phương trình (1.1) chí cịn chứa đựng khả β(t) δ(t) khơng biết trước phụ thuộc vào ẩn hàm P(t) Ví dụ Giả sử số lượng cá sấu ban đầu 100 con, biết khơng có bị chết, tỷ lệ sinh β = (0,0005)P (tính theo năm) • Ta có phương trình tăng trưởng tổng quát dP = (0.0005)P , P(0) = 100 dt • Theo phương pháp tách biến có: ∫P • − ∫ dP = (0.0005)dt , = (0.0005)t + C P • Thay điều kiện P(0) = 100, ta có C = • Do P (t ) = − • P (10) = −1 100 2000 hay P (t ) = 0,0005t − 0,01 20 − t 2000 = 200 , tức sau 10 năm đàn cá sấu tăng gấp đơi 10 • P(15) = 400 • P(19) = 2000 • t → 20 có P → ∞, xảy vấn đề bùng nổ dân số xuất 20 năm Phương trình Logistic • Trong số trường hợp ta có tốc độ sinh giảm số lượng quần thể lại tăng • Giả sử tốc độ sinh β(t) hàm giảm tuyến tính số lượng quần thể P, tức β = β0 − β1P, β0, β1 số dương • Tốc độ chết khơng đổi δ = δ0 • Phương trình tăng trưởng tổng quát có dạng dP = ( β0 − β1P − δ )P; dt a = β0 − δ0 b = β1 Được gọi phương trình logistic a > b > • Cách viết khác: dP = kP (M − P ), k = b M = a số b dt dP = kP (M − P ) thường sử dụng mơ dt hình lượng dân số P(t) sống môi trường với khả thực thi M (Lượng dân số lớn mà mơi trường trì thời gian dài) Ví dụ Phương trình Logistic • Xét trường hợp k = 0,0004, M = 150 ta có • dP = 0.06P − 0.0004P dt • Số dương 0,06P tương ứng với gia tăng tự nhiên với tốc độ hàng năm 6% • Số âm: −0,0004P2 biểu thị hạn chế tăng trưởng lượng tài nguyên hữu hạn môi trường • dP = 0,0004dt P (150 − P ) dP = 0.0004dt P (150 − P ) • ∫ ∫ • 1 ( + )dP = 0.0004dt 150 P 150 − P ∫ ∫ • ln P − ln 150 − P = 150 ( 0,0004t + C1 ) • ln P 0.06t + C 150 − P • P = ±eC e0.06t 150 − P • P = Be0.06t , β = ± ec 150 − P • Nếu bổ sung điều kiện: P(0) = P0 ≠ 150 ta có P0 P0 = β e0,06t hay β = 150 − P0 150 − P0 • Thay vào ta có P0e0.06t P = 150 − P 150 − P0 • P (t ) = 150P0 P0 + (150 − P0 )e −0.06t Hình 1.7.2 Đường cong nghiệm phương trình logistic P ' = 0.06P − 0.0004P • Hình cho số đường cong nghiệm tương ứng với giá trị khác kiện ban đầu khoảng P0 = 20 đến P0 = 300 • Các đường cong nghiệm tiệm cận với đường thẳng có phương nằm ngang P =150 ( lim P (t ) = 150 , với kiện ban đầu P0 > 0) t →∞ Giới hạn dân số khả chứa đựng • Ta biết phương trình logistic có nghiệm P (t ) = dP = kP (M − P ), P (0) = P0 dt MP0 P0 + (M − P0 )e − kMt • Thông thường số lượng động vật số tự nhiên Nếu P0 = M có P(t) ≡ M, ∀ t • Nếu < P0 < M từ (3.1) ta có P ′(t ) = −kMe −kMt (M − P0 ) > P0 + (M − P0 )e −kMt • Do có hàm P(t) tăng, ngồi (M − P0)e−kMt > nên có P (t ) = MP0 MP0 < = M − kMt P0 + (M − P0 )e P0 • Tương tự P0 > M ta có P ′(t ) = −kMe −kMt (M − P0 ) < P0 + (M − P0 )e −kMt • Như hàm P(t) giảm (M −P0)e−kMt < dẫn đến P0 + (M − P0)e−kMt < nên có • P (t ) = MP0 MP0 > =M − kMt P0 + (M − P0 )e P0 • Từ (3.1) ta có lim P (t ) = t →∞ MP0 = M P0 + • Như quần thể thỏa mãn phương trình logistic khơng tăng Hơn quần thể xấp xỉ tới dân số tới hạn hữu hạn M t → +∞ Hình 1.7.3 Đường cong nghiệm phương trình logistic P ′ = kP (M − P ) Từ hình ta có quần thể P(t) tăng ngặt xấp xỉ từ lên tới M < P0 < M, P0 > M quần thể giảm ngặt xấp xỉ từ xuống M Số M gọi khả chứa đựng mơi trường, xem quần thể cực đại mà mơi trường trì khoảng thời gian dài Ví dụ Giả sử năm 1885 dân số quốc gia 50 triệu tốc độ tăng lúc 750,000 người năm Vào năm 1940 dân số quốc gia 100 triệu tốc độ tăng trưởng tương ứng triệu người năm Giả thiết dân số quốc gia tn theo phương trình logistic Hãy xác định số dân số tới hạn M dự đoán dân số vào năm 2000 • Ta có phương trình logistic: dP = kP (M − P ) dt • Từ giả thiết P (1940) = 100 có dP (1885) = 0,75 , dt dP (1940) = , dt P (1985) = 50 , • Thay vào phương trình ta có hệ hai phương trình ⎧0.75 = 50k (M − 50) ⎨ ⎩1 = 100k (M − 100) • Giải hệ ta có nghiệm M = 200, k = 0,0001 Như dân số giới hạn quốc gia 200 triệu • Thay với t = tương ứng với năm 1940, có P0 = 100 vào phương trình (3.1), ta nhận dân số vào năm 2000 P (60) = 100 200 100 + (200 − 100)e −(0.0001)(200)(60) ≈ 153.7 triệu người Sự kiện lịch sử • Phương trình logistic đưa (vào khoảng năm 1840) nhà toán học nhân chủng học người Bỉ P.F Verhulst trở thành mơ hình cho tăng trưởng dân số • Trong hai ví dụ sau so sánh mơ hình tăng trưởng tự nhiên mơ hình logistic cho liệu điều tra dân số Mỹ vào kỷ 19, sau đưa dự án so sánh cho kỷ 20 Ví dụ Dân số nước Mỹ vào năm 1800 5,308 triệu vào năm 1900 76,212 triệu • Lấy P0= 5,308 (với t = vào năm 1800) t = 100, P = 76,212 vào mơ hình tăng trưởng tự nhiên P (t ) = P0e rt ta có 76,212 = 5,308e100 r • r = 76.212 ln ≈ 0,026643 100 5,308 • Mơ hình tăng trưởng tự nhiên dân số nước Mỹ suốt kỷ 19 P (t ) = (5,308)e(0,026643)t (4.1) (đơn vị t năm P triệu) • P1 ≈ 5,308 e0,026643 ≈ 2,7 • Như tốc độ tăng dân số trung bình năm từ 1800 đến 1900 vào khoảng 2,7% năm Ví dụ Dân số nước Mỹ năm 1850 23.192 triệu Nếu lấy P0 = 5,308 • Thế liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) t = 100, P = 76212 (với thời điểm 1900) vào phương trình logistic (3.1) ta có hệ hai phương trình (5,308)M = 23,192 5,308 + (M − 5,308)e −50 kM (5.308)M = 76,212 5,308 + (M − 5,308)e −100 kM • Giải hệ ta có M = 188,121, k = 0,000167716 • Thế vào (3.1) ta có P (t ) = Năm Dân số thực nước Mỹ 998,546 5,308 + (182,813)e −(0,031551)t Mơ hình dân Sai số dạng số dạng mũ mũ Mơ hình logistic (4.2) Sai số logistic 1800 5.308 5.308 0.000 5.308 0.000 1810 7.240 6.929 0.311 7.202 0.038 1820 9.638 9.044 0.594 9.735 -0.097 1830 12.861 11.805 1.056 13.095 -0.234 1840 17.064 15.409 1.655 17.501 -0.437 1850 23.192 20.113 3.079 23.192 0.000 1860 31.443 26.253 5.190 30.405 1.038 1870 38.558 34.268 4.290 39.326 -0.768 1880 50.189 44.730 5.459 50.034 0.155 1890 62.980 58.387 4.593 62.435 0.545 1900 76.212 76.212 0.000 76.213 -0.001 1910 92.228 99.479 -7.251 90.834 1.394 1920 106.022 129.849 -23.827 105.612 0.410 1930 123.203 169.492 -46.289 119.834 3.369 1940 132.165 221.237 -89.072 132.886 -0.721 1950 151.326 288.780 -137.454 144.354 6.972 1960 179.323 376.943 -197.620 154.052 25.271 1970 203.302 492.023 -288.721 161.990 41.312 1980 226.542 642.236 -415.694 168.316 58.226 1990 248.710 838.308 -589.598 173.252 76.458 2000 281.422 1094.240 -812.818 177.038 104.384 Hình 1.7.4 So sánh kết mơ hình dạng mũ mơ hình logistic với dân số thực nước Mỹ (tính theo triệu) • Những dự đốn theo mơ hình dạng mũ (4.1) theo mơ hình dạng logistic (4.2) đối chiếu với kết thống kê dân số thực Mỹ, ta thấy - Cả mô hình cho kết tốt giai đoạn kỉ 19 - Mơ hình dạng mũ cho số liệu phân kỳ từ thập niên kỉ 20, mơ hình logistic có kết tương đối tốt tận năm 1940 - Đến cuối kỉ 20 mơ hình dạng mũ cho kết vượt xa dân số thực Mỹ, cịn mơ hình logistic lại cho số liệu dự đốn thấp số liệu thực • Sai số trung bình để đo mức độ cho phép mơ hình hợp lí với liệu thực tế: bậc hai trung bình bình phương sai số thành phần • Từ bảng 1.7.4 được: mơ hình dạng mũ có sai số trung bình 3.162, cịn mơ hình logistic có sai số trung bình 0.452 Do mơ hình logistic dự đốn tốc độ tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt kỷ 20 tốt mơ hình dạng mũ Một số ứng dụng khác phương trình logistic Phương trình logistic mơ hình tốn học tốt thể qua minh hoạ tình khác a) Trạng thái môi trường tới hạn (là nơi sinh sống tối đa M cá thể) • Ta giả thiết β − δ = k(M − P) • Có phương trình dP dP = ( β − δ )P hay = kP (M − P ) dt dt • Ví dụ kinh điển trạng thái mơi trường tới hạn quần thể sâu bệnh container kín b) Tình cạnh tranh Nếu tốc độ sinh β số, tốc độ diệt vong δ = αP • Có phương trình dP dP = ( β − α P )P hay = kP (M − P ) dt dt • Điều có lý nghiên cứu mơi trường quần thể ăn thịt đồng loại (ở chết xảy cá thể chạm chán nhau) c) Trạng thái tỷ lệ chung Trong quần thể có số lượng khơng đổi M, gọi P(t) số cá thể bị nhiễm bệnh lây lan không chữa Bệnh bị lan gặp gỡ tình cờ • Khi P’(t) tỷ lệ với tích P cá thể mắc bệnh M – P cá thể không mang bệnh, dP = kP (M − P ) dt • Mơ hình tốn học phương trình logistic (mơ tả lây lan số lượng cá thể M) Ví dụ Giả sử thời điểm t = 0, mười ngàn người thành phố có số dân M = 100 ngàn nhận tin đồn Sau tuần số người P(t) thành phố biết tới tin đồn lên tới P(1) = 20000 Giả sử P(t) thỏa mãn phương trình logistic, có 80% dân số thành phố biết tới tin đồn ? • Thế P0 = 10 M = 100 (ngàn) vào (3.1) ta có P (t ) = 1000 10 + 90e −100 kt (4.1) • Thay t = (tuần), P = 20, ta có 20 = • e −100 k = 1000 10 + 90e −100 k , hay k = ln ≈ 0,008109 100 • Thay P(t) = 80 vào phương trình (4.1) có 80 = • e −100 kt = 1000 , 10 + 90e −100 kt ln36 ln36 ⇒ t= = ≈ 4,42 36 100k ln • Như sau tuần ngày có 80% dân số thành phố biết tin đồn Ngày tận chống lại Sự tuyệt chủng Xét quần thể gồm động vật hoang dã có hội gặp đực để thực trách nhiệm bảo tồn nịi giống Ta có sở để hy vọng xuất gặp gỡ với tần suất tỷ lệ với tích P đực P cái, tức tần suất gặp gỡ tỷ lệ với P2 Từ 2 giả thiết số sinh với tần số kP2 (trên đơn vị thời gian, k = const) Khi tốc độ sinh trưởng (số sinh / thời gian / số lượng quần thể) cho β = kP Nếu tỷ lệ chết δ số phương trình quần thể tổng quát (1.1) trở thành phương trình vi phân • dP δ = kP − δ P = kP (P − M ) , M = > dt k (5.1) • Phương trình mơ hình tốn học tăng trưởng dân số • Vế phải phương trình (5.1) ngược dấu với vế phải phương trình logistic • Hằng số M gọi ngưỡng số lượng cá thể quần thể Ví dụ Xét quần thể động vật mô hình hóa phương trình ∞ • Lấy đạo hàm theo t ta có biểu thức y ( x, t ) = ∑ Bn sin n =1 ∞ y t ( x, t ) = ∑ bn sin n =1 nπ at nπ x sin ta có L L nπ x nπ at cos = G ( x + at ) + G ( x − at )  L L G mở rộng lẻ với chu kỳ 2L hàm vận tốc ban đầu g ( x ) • Ngồi ta có y ( x, t ) = H ( x + at ) + H ( x − at )  2a  x ∫ H ( x ) = G(s )ds ( [F x + at ) + F ( x − at )] ta có dao động sợi dây với điều kiện ban đầu tổng quát cho 1 H ( x + at ) + H ( x − at )  y ( x, t ) = F ( x + at ) + F ( x − at )  + 2a  tổng hợp bốn chuyển động dọc theo trục x với tốc độ a, hai chuyển động sang trái hai chuyển động sang phải • Kết hợp với nghiệm dạng d’Alembert y ( x, t ) = Chú ý Dạng toán mục giải toán giá trị biên 1, 10 trang 378 § 8.7 Trạng thái nhiệt độ ổn định phương trình Laplace • Bài tốn Dirichlet • Bài tốn Dirichlet cho hình chữ nhật • Bài tốn Dirichlet cho đĩa trịn Đặt vấn đề • Ta nghiên cứu nhiệt độ kim loại phẳng mỏng, có diện tích R mặt phẳng xy giới hạn đường cong C trơn khúc hình 8.7.1 Hình 8.7.1 Vùng mặt phẳng R đường cong C bao quanh • Giả sử mặt đĩa cách nhiệt, có phương trình truyền nhiệt  ∂ 2u ∂ 2u  ∂u = k +  (1.1)  ∂x  ∂t ∂ y   K với số khuyếch tán nhiệt k = , k _ số dẫn nhiệt, mật độ δ cδ kim loại, nhiệt độ C • Có thể viết lại phương trình dạng: ∂u ∂ 2u ∂ 2u 2 = k ∇ u , ∇ u = + ∂t ∂x ∂y ta thấy phương trình có dạng giống phương trình đẳng nhiệt ut = ku xx • Với lập luận trên, từ phương trình truyền sóng chiều ztt = a 2zx x ta nhận phương trình truyền sóng hai chiều: ∂2z ∂t  ∂2z ∂2z  = a  +  = a2∇ z  ∂x ∂y   • Ta giới hạn ý vào trạng thái ổn định, nhiệt độ u khơng thay đổi theo thời gian, ut = , phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace hai chiều ∇ 2u = hay ∂ 2u ∂x + ∂ 2u ∂y = Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng quan trọng gọi phương trình điện Bài tốn Direchlet Tìm nhiệt độ trạng thái ổn định đĩa với giá trị biên cho trước cho ∂ 2u ∂x + ∂ 2u ∂y = 0, ( x, y ) ∈ R trong mặt phẳng u ( x, y ) = f ( x, y ) , (x, y) biên C R Bài toán Dirichlet hình chữ nhật ( x, y ) ∈R u xx + uyy = • Bài tốn Dirichlet u ( x,0 ) = f1 ( x ) , u ( x, b ) = f2 ( x ) u ( 0, y ) = g1 ( y ) , u ( a, y ) = g ( y ) (0 < x < a ), (0 < y < b ) (3.1) • Đây tốn có bốn điều kiện khơng • Ta giải tốn (3.1) cách tách thành tốn, mà tốn có điều kiện không nhất, không dọc theo cạnh cịn lại (xem hình 8.7.3) Hình 8.7.3 Bài tốn giá trị biên Ví dụ Ví dụ Hãy giải tốn giá trị biên sau u xx + u yy = u ( 0, y ) = u ( a, y ) = u ( x, b ) = u ( x,0 ) = f ( x ) hình chữ nhật Hình 8.7.3 10 • Sử dụng phương pháp tách biến, tìm u ( x, y ) = X ( x ) Y ( y ) , thay vào phương trình u xx + u yy = ta có X" Y" =− = −λ X Y (3.2) • X "+ λ X = 0, X ( ) = X ( a ) = Có giá trị riêng hàm riêng tương ứng λn = • Từ từ (3.2) có Yn" − n 2π a , X n ( x ) = sin nπ x a (3.3) n 2π Yn = 0, Yn ( b ) = a2 nπ y nπ y có nghiệm Yn ( y ) = An cosh + Bn sinh , a a • Từ điều kiện u ( x, b ) = ⇒ y n ( b ) = , có Yn ( y ) = cn sinh nπ ( b − y ) a (3.4) An nπ b sinh a • Từ (3.3) (3.4) có nghiệm chuỗi hình thức tốn Dirichlet cn = ∞ u ( x, y ) = ∑ ∞ X n ( x ) Yn ( y ) = n =1 ∑ n =1 cn sin nπ ( b − y ) nπ x sinh a a a nπ x cn = f ( x ) sin dx (nhận từ điều kiện u ( x, ) = f ( x ) ) a sinh(nπ b / a ) a ∫ Ví dụ Cho R dải bán vơ hạn Hình 8.7.5 Hình 8.7.5 Dải bán vơ hạn Ví dụ 11 Hãy giải toán giá trị biên u xx + u yy = (trong R ); u ( x,0 ) = u ( x, b ) = (0 < x < + ∞ ), u ( x, y ) lµ giíi néi x → +∞, u ( 0, y ) = g ( y ) • Là dạng tốn điển hình Dirichlet cho miền giới nội, thực tách biến Y" X" ta có =− = −λ , Y X Y (0) = Y (b ) = • Y "+ λY = 0, có giá trị riêng hàm riêng tương ứng λn = • Thay vào có phương trình X n" − có nghiệm X n ( x ) = An nπ x e b + Bn n 2π b n 2π b2 , Yn ( y ) = sin nπ y , b Xn = − nπ x e b  nπ x  • Do điều kiện u ( x, y ) giới nội x → +∞ nên có X n ( x ) = exp  − b   • Từ nhận nghiệm chuỗi hình thức: u ( x, y ) = ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ bn X n ( x )Yn ( y ) = ∑ bn exp  − ∞ • Từ điều kiện biên u ( 0, y ) = ∑ n =1 bn sin nπ x  nπ y sin  b  b nπ y = g (y ) b b nπ y nên có bn = g ( y ) sin dy chuỗi Fourier sine b b ∫ Bài toán Dirichlet cho đĩa trịn Hình 8.7.7 Bài tốn Dirichlet cho đĩa trịn 12 • Xét nhiệt độ trạng thái ổn định đĩa trịn bán kính a với hai mặt cách nhiệt nhiệt độ biên cho trước • Sử dụng tọa độ cực nhận mơ hình tốn tốn nói ∂u ∂ 2u ∇ u≡ 2+ + = r ∂r r ∂θ ∂r ∂ 2u (4.1) với điều kiện: u ( a,θ ) = f (θ ) , f (θ ) tuần hồn với chu kỳ 2π • Sử dụng phương pháp tách biến tìm u ( r ,θ ) = R ( r ) Θ (θ ) , thay vào (4.1) có 1 r 2R "+ rR ' Θ" ′′ ′′ R Θ + R ' Θ + RΘ = ⇔ =− =λ r R Θ r ⇔ r 2R "+ rR '− λ R = Θ "+ λΘ = (4.2) (4.3) • Phương trình (4.3) có nghiệm tổng qt Θ (θ ) = A cos αΘ + B sin αθ λ = α > Θ (θ ) = A + BΘ λ = Θ (θ ) = Aeαθ + Be −αθ λ = −α < Từ điều kiện đầu có • Khi λ = λn = n , λ0 = , Θ0 (θ ) = 1, λn = n , Θn (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ • λ0 = có R0 ( r ) = C0 + D0 ln r λ = n có r 2Rn" + rRn' − n 2Rn = Phương trình có nghiệm tổng quát Rn ( r ) = Cn r n + Dn r2 , Rn ( r ) = Cn r n (do liên tục r = 0) • Từ có nghiệm chuỗi hình thức dạng ∞ ∞ a u ( r ,θ ) = Rn ( r ) Θn (θ ) = + ana n cos nθ + bnan sin nθ n =1 n =0 ∑ ∑( ) • Từ điều kiện u ( a,θ ) = f (θ ) , ta có chuỗi cho chuỗi Fourier hàm f (θ ) , nên có an = π an 2π 2π ∫ f (θ )cos nθdθ , bn = π an ∫ f (θ )sin nθdθ , (n = 1, 2, 3, ) 0 13 Ví dụ Giải tốn Dirichlet nửa hình trịn r = a , ≤ θ ≤ π biết u ( r , ) = u ( r , π ) = , u ( a, θ ) = cos2 θ ∞ a • Nghiệm u ( r , θ ) = + r n ( an cos nθ + bn sin nθ ) n =1 ∑ ∞ • Do u ( r , ) = = u ( r , π ) nên có an = 0, ∀ n , u ( r , θ ) = ∑ r ncn sin nθ n =1 cn = π πa n π ∫ f (θ ) sin nθ dθ = π an ∫ (1 + cos 2θ ) sin nθ dθ 0 π  1 cos = − n θ +  π an  n π ∫0  ( sin ( n + )θ + sin ( n − )θ ) dθ   π  ( ( ) n )  −1  − cos ( n + ) θ − cos ( n − ) θ   = −1 − +  2n +   n−2 π an  n = =  ( ( ) n )  −1 ( ( ) n ) ( ( )n )   − − + − − − −1 −     2n + n−2  π an  n πa ( ( −1)n )  + −  n n 1  + ( n + ) ( n − )  0,  =  1   2k +1  2k + + ( 2k + ) + ( 2k − 1)  , π a ∞ • u (r, θ ) = n = 2k n = 2k + ∑ r 2k +1 π a2k +1  2k + + ( 2k + ) + ( 2k − 1)  sin ( 2k + 1)θ 1 k =0 Chú ý Dạng toán mục là: Bài toán Dirichlet hình chữ nhật hình trịn Các – 9, 13, 14, 15 (trang 393) Ghi nhớ • Tuần vào tiết sau tập có kiểm tra số (Chương 4, chương 5, mục 6.1, 6.2) lớp có tập vào thứ 4, 5, • Buổi sau lí thuyết học mục: 9.1 9.3 • Tuần sau tập làm tập lẻ mục: 6.4, 7.1 7.2 14 Phương trình vi phân Bài 11 B PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 9.5 Hiện tượng nhiều chiều • Ứng dụng toạ độ vng góc chuỗi Fourier hai chiều • Độ rung màng hình chữ nhật • Ứng dụng toạ độ cực • Ứng dụng toạ độ cầu • Sóng điều hồ cầu Đặt vấn đề • Ta thấy hiệu dùng phương pháp tách biến nghiên cứu tốn dây rung • Có tiếp tục vận dụng phương pháp tách biến cho toán phân bố nhiệt độ rung không gian nhiều chiều? Ứng dụng toạ độ vng góc chuỗi Fourier hai chiều  ∂ 2u ∂ 2u  ∂u • Phương trình nhiệt hai chiều = k +   ∂x ∂t ∂y   (2.1) Ví dụ Giả sử kim loại mỏng hình chữ nhật có diện tích miền phẳng ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, mà bề mặt cách nhiệt, bốn cạnh giữ nhiệt độ khơng Nếu kim loại có hàm nhiệt độ ban đầu u( x, y ,0) = f ( x, y ) hàm nhiệt độ u( x, y , t ) thoả mãn toán giá trị biên bao gồm phương trình nhiệt (2.1) điều kiện biên u(0, y , t ) = u(a, y , t ) = u( x,0, t ) = u( x, b, t ) = 0, u( x, y ,0) = f ( x, y ) Tìm u( x, y , t ) • u( x, y , t ) = X ( x )Y ( y )T (t ) • T ' X '' Y '' = + kT X Y • X '' = − λ, X Y '' = − µ, Y T' = −(λ + µ ) kT • Giải phương trình theo điều kiện biên cho có giá trị riêng hàm riêng λm = m 2π µn = a2 , X m ( x ) = sin n 2π b2 , Yn ( y ) = sin ∞ • (2.1) có nghiệm u( x, y , t ) = mπ x , m = 1, 2, 3, … a nπ y , n = 1, 2, 3, … b ∞ kt ) sin ∑ ∑ cmn exp ( −γ mn m =1 n =1 cmn = ab ab ∫∫ f ( x, y )sin 00 mπ x nπ y sin a b mπ x nπ y sin dydx a b • Nói riêng, f (x, y) = u0 ta có u ( x, y , t ) = 16u0 π2 ∑∑ ( exp −γ mn kt mn m lỴ n lỴ ) sin mπ x sin nπ y a b Độ rung màng hình chữ nhật • Xét màng dẻo hai chiều mà vị trí cân chiếm vùng mặt phẳng ngang xy Giả sử màng mỏng rung lên xuống, với u( x, y , t ) biểu thị chuyển động dọc điểm (x, y) màng thời gian t Nếu T ρ biểu thị độ căng mật độ màng (trên diện tích đơn vị) hàm dịch chuyển u( x, y , t ) thoả mãn phương trình sóng hai chiều ∂ 2u ∂t  ∂ 2u ∂ 2u  = c2  +   ∂x ∂y   (3.1) c = T / ρ Bài toán Giả sử màng chữ nhật ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b nhả khỏi trạng thái tĩnh với hàm dịch chuyển ban đầu cho u( x, y ,0) = f ( x, y ) Nếu bốn cạnh màng giữ cố định với dịch chuyển 0, hàm dịch chuyển u( x, y , t ) thỏa mãn toán giá trị biên bao gồm phương trình sóng (3.1) điều kiện biên u( x, y , t ) = u(a, y , t ) = u( x,0, t ) = u( x, b, t ) = u( x, y ,0) = f ( x, y ) (vị trí ban đầu) ut ( x, y ,0) = (vận tốc ban đầu) ∞ • (3.1) có nghiệm u( x, y , t ) = ∞ ∑ ∑ cmn cos γ mnct sin m =1 n =1 mπ x nπ y sin a b {γ mn } {cmn } cho γ mn = π m2 a2 + n2 b2 ; cmn = ab ab ∫∫ f ( x, y )sin 00 mπ x nπ y sin dydx a b mπ x nπ x sin cos γ mnct xác định dao động tự nhiên a b thứ mn màng Trong dạng dao động màng chuyển động lên xuống mặt • Số hạng umn ( x, y , t ) = sin u = ± sin mπ x nπ y sin a b • Khi tần số ωi,j không bội nguyên tần số ω11 = Điều cho thấy âm màng chữ nhật rung không điều hồ, ta ln nghe thấy tiếng ồn khơng phải nhạc Hình 9.5.1 Các mặt dạng u = sin mπ x nπ x sin a b Bài toán Giả sử búng vào màng mỏng vuông ≤ x ≤ π, ≤ y ≤ π để chuyển từ trạng thái nghỉ sang chuyển động với hàm vị trí ban đầu là: u( x, y ,0) = f ( x, y ) = { x, y ,π − x,π − y } mà đồ thị ≤ x ≤ π, ≤ y ≤ π có dạng hình vng hình tháp với chiều cao π / tâm • "Hàm lều" f (x, y) tương tự ta xét hàm tam giác theo hai chiều Nó xác định khúc rõ Hình 9.5.2 Hình 9.5.2 Xác định khúc hàm lều • Hình 9.5.3 cho thấy số ảnh tiêu biểu độ rung Hình 9.5.3 Độ rung màng vuông khác theo thời gian 4 Ứng dụng toạ độ cực • Khi gặp toán liên quan đến miền đối xứng tròn xung quanh điểm gốc mặt phẳng (hoặc trục dọc z không gian), việc sử dụng toạ độ cực (hay hình trụ) thuận lợi Ở mục 8.7 làm quen với biểu thức Laplace hai chiều • Biểu thức Laplace ba chiều với hàm u (r, θ, z) biểu diễn toạ độ hình trụ cho ∞ u(r ,θ , t ) = ∞ ∑ ∑ Jn  m =1 n =0 γ mn r  (amn cos nθ + bmn sin nθ )cos a  γ mnct a • Chế độ dao động tự nhiên màng tròn rung với tốc độ ban đầu có dạng γ r umn (r ,θ , t ) = J n  mn  a γ mnct   cos nθ cos a  Ứng dụng toạ độ cầu • Bài toán miền đối xứng cầu xung quanh điểm gốc không gian, biểu thức Laplace ba chiều với hàm u (ρ, φ, θ) biểu diễn toạ độ hình cầu cho   ∂  ∂u  ∂  ∂u ∂ 2u  ∇ u =  ρ +  sin φ  + 2 ρ  ∂ρ  ∂ρ  sin φ ∂φ  ∂φ  sin φ ∂θ  (5.1) ρ = x + y + z2 Ví dụ Giả sử hàm nhiệt độ đối xứng qua trục g(φ) áp đặt hình cầu biên ρ = a bóng đặc ≤ ρ ≤ a, tìm hàm nhiệt độ trạng thái ổn định đối xứng qua trục u (ρ, φ) hình cầu Bởi u khơng phụ thuộc vào θ, phương trình Laplace ∇ 2u = có dạng (sau nhân ρ phương trình (5.1))  ∂  ∂u  ∂  ∂u ρ + sin φ  =    ∂ρ  ∂ρ  sin φ ∂φ  ∂φ  có điều kiện biên đơn u(a,φ ) = g (φ ) (nhiệt độ đường biên cho) Hình 9.5.10 • Hình 9.5.10 cho thấy phao hình cầu đặc có bán kính a = 1m mặt nước Nếu phao có trọng lượng riêng đồng dạng δ = 0.5 (một nửa tỷ trọng nước), chìm đến độ sâu h = 1m hình Giả sử nhiệt độ nước 10˚ khơng khí 20˚ Khi muốn tìm hàm nhiệt độ u( ρ ,φ ) phao với điều kiện biên  20 u(1,φ ) = g (φ ) =  10  10 • f ( x ) = g (cos−1 x ) =  20 • u( ρ ,φ ) = 15 + nÕu < φ < nÕu π π