Bài giảng môn học phương trình vi phân (đại học thủy lợi)

CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.1 Phương trình vi phân cấp dy ĐỊNH NGHĨA 1: = f ( x, y ) phương trình vi dx () phân cấp y = y x hàm chưa biết VD1: dy =y a) dx b) y' − y = x c) xdy − ydx = ĐỊNH NGHĨA 2: Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình với giá trị biến độc lập khoảng VD2: PTVP y' = y có nghiệm y = Ce x , ∀x ∈! C ∈! Các loại nghiệm: Nghiệm tổng quát : F ( x, y,C ) = Nghiệm riêng : F ( x, y,C0 ) = Nghiệm kì dị ( nghiệm khơng nằm nghiệm tổng quát) dy = y có VD3: PTVP dx nghiệm tổng quát: ln y = x + C nghiệm riêng: ln y = x + nghiệm kì dị: y=0 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU: dy = f ( x, y ) dx y ( x0 ) = y0 (điều kiện ban đầu ) Các trường hợp xảy ra: nghiệm vô nghiệm vô số nghiệm dy = y, y ( ) = VD4: a) dx dy = y có nghiệm tổng quát: ln y = x + C +) dx ⎧x = +) Vì y ( ) = ⇔ ⎨ nên thay vào nghiệm tổng ⎩y =1 quát dẫn đến C = Do đó, có nghiệm riêng ln y = x () b) x dy + y dx = 0, y = 2 có hai đường cong nghiệm x = 0, y = qua (0,0) c) PTVP y' = y , y (1) = −2 khơng có đường cong nghiệm ĐỊNH LÝ 1: Sự tồn nghiệm Giả sử f(x,y) đạo hàm riêng Dy f ( x, y ) liên tục hình chữ nhật R chứa điểm (a,b) mặt phẳng 0xy Khi đó, với khoảng mở I chứa điểm a, dy toán giá trị ban đầu: = f ( x, y ) , y ( a ) = b có dx nghiệm xác định I 1.2 Phương trình vi phân phân ly biến số DẠNG: điều kiện dy = H ( x, y ) dx H( x, y ) = g( x ) f ( y ) VD5: Nhận dạng phương trình phân li biến số: a ) y' = x ( y + 1) b ) y' = x y + c ) e y' = y d ) y' = x y + y − x − x 2 Chú ý: Phương trình Bernoulli x: x' + P ( y ) x = Q ( y ) x n VD 17: Giải phương trình vi phân y dx + ( x + x y ) dy = (1) Gợi ý: +) Biến đổi phương trình: dx + x= −x dy y +) Phương trình vi phân Bernoulli x(y) +) x = nghiệm phương trình +) x ≠ Chia hai vế phương trình cho x dx 1 + = −1 x dy y x −1 +) Đặt v = x , PTVP tuyến tính cấp v: dv − v =1 dy y (2) Trong P ( y ) = − ; Q ( y ) = y +) Giải phương trình (2): v = y ln y + Cy +) Nghiệm tổng quát PT (1) là: x ( yln y + Cy ) = 1.8 Phương trình vi phân tồn phần: ( ) ( ) DẠNG: M x,y dx + N x,y dy = M N có đạo hàm riêng liên tục ∂M ∂N = , ∀ ( x,y ) ∈D miền D ∂y ∂x VD 18: Nhận dạng PTVP toàn phần: a ) xdy − ydx = c ) 2xyy' = x − y b )( 2x + y ) dx + ( x + 1) dy = d ) x y' = 1+ y 2 CÁCH GIẢI *) Tìm hàm vị F(x, y) cho F' x = M ; F' y = N ( ) ∫ M ( x,y ) dx = M ( x,y ) + g ( y ) • F' x = M → F x,y = Hằng số biến x ( ) ( y ) → g ( y ) = ∫ g' ( y ) dy + C • F' y = M ' y + g' y y = N • Tìm g' y *) Nghiệm tổng quát: y F(x, y) = VD 19: Giải phương trình vi phân 2 (6xy – y )dx + (4y + 3x – 3xy )dy = Giải BÀI TẬP VỀ NHÀ: (1.5) Trang 90: 7, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28 (1.6) Trang 114-115: 19, 21, 23, 25, 27, 36, 37, 38, 39 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO dx m = −k x dt 2.1 Phương trình vi phân cấp : DẠNG F( x,y,y',y") = y hàm số cần tìm, x biến độc lập Điều kiện ban đầu : y ( x0 ) = y0 , y′ ( x0 ) = y1 Nghiệm tổng quát : G ( x, y,C1 ,C2 ) = Nghiệm riêng : ( ) G x,y,C10 ,C20 = VD1: Phương trình vi phân y′′ + y = có : Nghiệm tổng quát : y ( x ) = C1 cos x + C2 sinx Với điều kiện ban đầu : y ( ) = 1, y'( ) = −2 Nghiệm riêng : y ( x ) = cos x − sin x 2.2 PTVP cấp hai giảm cấp DẠNG Phương trình khuyết y F( x,y',y") = (1) Phương trình khuyết x F( y,y',y") = ( 2) VD 1: Nhận dạng PTVP cấp khuyết: a ) y'' + y' + y = e c ) y'' = y' + y x b ) x y'' + y' = d ) y'' = y' CÁCH GIẢI: Phương trình khuyết y B1: Đặt Phương trình khuyết x y' ( x ) = p ( x ), B1: Đặt y' ( x ) = p ( y ), dp → y′′( x ) = dx dp → y′′( x ) = p dy Biến đổi PT (1) Biến đổi PT (2) dạng F( x, p, p′ ) = ( 3) F( y, p, p′ ) = ( 4) B2: Giải PT (3) tìm B2: Giải PT (4) tìm nghiệm tổng quát p ( x, C1 ) nghiệm tổng quát p ( y, C1 ) B3: Nghiệm tổng quát B3: Nghiệm tổng quát PT(1): dy = p( x,C1 ) dx → ∫ dy = ∫ p( x,C1 )dx → y = P ( x,C1 ) + C2 dy PT(2): = p ( y,C1 ) ; p ≠ dx → ∫ dx = ∫ dy p ( y, C1 ) → x = P ( y,C1 ) + C2 VD2 Giải phương trình vi phân cấp hai a ) xy'' + y' = x b ) xy' y'' = ( y' ) − c ) y y'' = ( y' ) d ) y'' = y' e y Giải 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ: (1.6) Trang 115-116: 46, 47, 48, 49, 50, 51 ...1.1 Phương trình vi phân cấp dy ĐỊNH NGHĨA 1: = f ( x, y ) phương trình vi dx () phân cấp y = y x hàm chưa biết VD1: dy =y a) dx b) y' − y = x c) xdy − ydx = ĐỊNH NGHĨA 2: Nghiệm phương trình vi. .. (1− n ) Q( x ) VD 16: Giải phương trình vi phân dy x + y= 3x y dx y(1) = - Giải Chú ý: Phương trình Bernoulli x: x' + P ( y ) x = Q ( y ) x n VD 17: Giải phương trình vi phân y dx + ( x + x y )... x y ) dy = (1) Gợi ý: +) Biến đổi phương trình: dx + x= −x dy y +) Phương trình vi phân Bernoulli x(y) +) x = nghiệm phương trình +) x ≠ Chia hai vế phương trình cho x dx 1 + = −1 x dy y x