Bài giảng toán 4a phương trình vi phân

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Bài số PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP I I Đại cương phương trình vi phân Một số định nghĩa Phương trình: F ( x, y, y ', y '', , y ( n ) ) = (*) chứa hàm chưa biết y = y ( x) (ít nhấ t) m ộ t hay nhi ề u đạ o hàm c ủ a đượ c g ọ i phương trình vi phân Cấp củ a mộ t ph ương trình vi phân cấp cao nh ất củ a đạo hàm có m ặt ph ươ ng trình đ ó Ví dụ 1: y ' + + x y = sin x : PTVP cấp y (4) + x y (3) + x y = sin x : PTVP cấp bốn Hàm y = y ( x) xác định I gọi nghiệm PTVP (*) khoảng I đạo hàm y ', y '', , y ( n ) tồn I F ( x, y, y ', y '', , y ( n ) ) = v i m ọ i x I Quá trình đ i tìm t ất nghi ệm củ a PTVP đượ c gọ i giải PTVP đ ó Chú ý: + Phương trình (*) viết theo dạng chu n: y ( n ) = G ( x, y, y ', y '', , y ( n−1) ) G hàm (n+1) bi ến nhận giá trị th ực + Phương trình vi phân thường: hàm phải tìm phụ thuộc vào biến độc lập + Nếu Nn hàm hàm hai hay nhiều biến độc lập, ta phải đưa vào đạo hàm riên, phương trình gọi phương trình đạo hàm riêng + Chỉ hàm liên tục nghiệm PTVP khoảng Ví dụ Với C số, ta có hàm số y ( x) = Ce x (1) dy nghiệm phương trình vi phân: = xy (2) dx 2 dy với x với x ta có: = C xe x = (2 x) Ce x = xy dx Để ý: phương trình (1) xác định họ gồm vơ số nghiệm phương trình vi phân (2), nghiệm ứng với cách chọn số tuỳ ý C ( ) ( ) Câu hỏi: Tại phải học PTVP: Khi giải tượng thực tế, nhiều số mơ hình hóa dẫn tới PTVP Một số mơ hình Tốn Ví dụ Quy luật giảm nhiệt Newton: Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn IVa-Phương trình vi phân Suất biến đổi thời gian nhiệt độ T(t) vật thể tỷ lệ với hiệu số T nhiệt độ A môi trường xung quanh Nghĩa là: dT = − k (T − A) dt đ ó, k m ộ t h ằng s ố d ươ ng + Nh ận th ấ y n ếu T > A, dT/dt < 0, đ ó nhi ệt độ m ộ t hàm gi ảm theo t v ật th ể ngu ộ i đ i + N ếu T < A, dT/dt > 0, T s ẽ t ăng lên Ví dụ Quy luật Torricelli : Suất biến đổi theo thời gian khối lượng nước V bể chứa t ỷ lệ với b ậc hai củ a độ sâu y n ước bể: dV = −k y (3) dt với k số Nếu bể chứa hình trụ trịn xoay với diện tích đáy A, V = Ay, dV/dt = A (dy/dt) Khi đ ó ph ươ ng trình (3) có d ng: dy = −h y dt đ ó h = k/A số Ví dụ Suất biến đổi theo thời gian dân số P ( t ) : T rong tr ườ ng h ợ p n gi ả n t ỷ l ệ sinh (t ) không đổ i t ỷ l ệ v i s ố dân Ngh ĩ a là: dP = kP (4) dt với k số t ỷ lệ Ví dụ Giả sử P(t) = Ce kt s ố l ượ ng vi khu Nn m ột đ ám vi khu Nn t ại thờ i đ i ểm t, mà t ại thờ i ểm t = (giờ) số lượng 1000, sau h số lượng lại tăng gấp đôi Dự báo số lượng vi khuNn sau 1,5 h? + Từ giả thiết P ( t ) t a c ó : 1000 = P ( ) = Ce = C, 2000 = P(1) = Ce k suy r ằng C = 1000 k = ln2 ≈ 0,693147 + V i giá trị củ a k ph ươ ng trình vi phân (4) trở thành dP = (ln 2) P = (0, 693147) P dt + Việc thay k = ln2 C = 1000 kéo theo nghiệm riêng P (t ) = 1000e(ln 2)t = 1000(eln )t = 1000.2t (bởi eln = ) thoả mãn điều kiện cho + Số lượng vi khuNn sau rưỡi (khi t = 1,5) P (1,5) = 1000.23/ ≈ 2828 Điều kiện P(0) = 1000 gọi điều kiện ban đầu dy Ví dụ Xét p/trình vi phân = y2 dx + Dễ t h ấ y h àm y ≡ l m ộ t n gh i ệ m Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân (nếu x ≠ C) C−x họ nghiệm khoảng không chứa điểm x = C tập số thực đó: dy = = y2 dx (C − x) + Với C = ta thu nghiệm riêng y ( x) = 1− x thoả mãn điều kiện ban đầu y(0) = 1 + Khi nghiệm y ≡ l k h n g có m ặ t t ro n g cô n g t h ứ c y ( x) = , C−x gọi nghiệm kỳ dị phương trình + Nếu C l h ằn g s ố , h àm s ố y ( x) = Ví dụ a) Hãy kiểm tra, hàm y(x)= 2x1/2 – x1/2 lnx thoả mãn phương trình vi phân x y ''+ y = v i m ọ i x > Thật vậy: +Tính đạo hàm v i m ọ i x > 1 y '( x) = − x −1/ ln x y ''( x) = x −3/ ln x − x −3/ 2 + Thế vào phương trình 1  x y ''+ y = x  x −3/ ln x − x −3/  + x1/ − x1/ ln x = 4  +Do hàm cho thoả mãn phương trình vi phân chovới x > b) Xét phương trình: ( y ' ) + y = −1 Dễ thấy p/trình khơng có nghiệm (nhận giá trị thực) c) Phương trình ( y ' ) + y = có nghiệm (nhận giá trị thực) y(x) ≡ Nhận xét: Một phương trình vi phân có nghiệm có vơ số nghiệm Ví dụ Nếu A, B số y(x) = A cos 3x + B sin 3x + Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta y '( x) = −3 A sin x + 3Bcos3x y ''( x) = −9 Acos 3x − B sin x = −9 y ( x) với x + Bởi vậy, y ( x) xác định họ hai tham số nghiệm phương trình vi phân cấp hai y ''+ y = toàn b ộ trụ c s ố II Phương trình vi phân cấp Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: dy = f ( x, y ) (*) dx Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân  dy  = f ( x, y ) Bài toán giá trị ban đầu :  dx  y ( x0 ) = y0 điều kiện ban đầu y(x0) = y0 (*) (**) Giải toán giá trị ban đầu : + Tìm tất nghiệm PTVP + Lấy nghiệm thỏa mãn (**) khoảng chứa x0 nghiệm tốn  dy  =y Ví dụ 10 Giải toán giá trị ban đầu :  dx  y (1) = + D ễ th ấ y nghi ệ m y ≡ : khơng th ỏ a mãn tốn + Xét h ọ nghi ệ m y(x) = 1/(C – x) c ủ a PTVP dy/dx = y Ta tìm m ộ t giá trị C cho nghi ệm y(x)= 1/(C-x) tho ả mãn đ i ều ki ệ n ban đầu y ( l ) = Th ế giá trị x = y =2 vào nghi ệm đ ã cho, ta đượ c : = y (1) = , C −1 v ậ y C =3/2 + Nghi ệ m c ầ n tìm c ủ a tốn là: y ( x) = = − x − 2x Chú ý: Trên Hình 1.1.7 hai nhánh đồ thị hàm số: y = 2/(3 – 2x) + Nhánh trái đồ thị (–∞, 3/2) nghiệm  dy  =y toán giá trị ban đầu cho  dx  y (1) = + Nhánh phải qua điểm (2, –2) đồ thị (3/2, ∞) nghiệm toán giá trị ban đầu khác :  dy  =y  dx  y (2) = −2 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng dy = f (x) dx Lấy tích phân hai vế phương trình (1) thu được: y ( x) = ∫ f ( x)dx + C = G ( x) + C Xét PTVP cấp dạng đặc biệt đơn giản: (1) (2) Đây nghiệm tổng quát (1), Từ nghiệm tổng quát, với lựa chọn C ta nhận nghiệm riêng phương trình vi phân (1) Hằng số C – phương diện hình học – khoảng cách theo phương thẳng đứng hai đường cong nghiệm: y ( x) = G ( x) y ( x) = G ( x) +C Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân Khi cho điều kiện ban đầu y ( x ) = y , từ nghiệm tổng quát ta có C = y − G ( x ) Với lựa chọn C, ta thu nghiệm riêng phương trình dy = f (x), y ( x ) = y (1) thỏa mãn bi toỏn giỏ tr ban u: dx dy Định nghĩa : XÐt PTVP cÊp 1: = f ( x, y ) dx Nghiệm tổng quát PTVP cấp hµm sè (cã chøa tham sè): y = ϕ ( x, C ) C số tuỳ ý, thoả m n phơng trình vi phân với C Nghiệm riêng PTVP cấp nghiƯm y = ϕ ( x, C0 ) mµ ta nhận đợc từ nghiệm tổng quát cách cho số C tuỳ ý giá trị cụ thể C0 Nếu nghiệm tổng quát phơng trình vi phân cấp đợc xác định dới dạng ẩn ( x, y, C ) = gọi tích phân tổng quát PTVP Khi C = C0 ta đợc: ( x, y, C0 ) = gọi tích phân riêng PTVP nói Tuy nhiên có nghiệm không đợc sinh từ công thức nghiệm tổng quát (khi thờng nhận đợc từ nhận xét riêng), nghiệm đợc gọi nghiệm kỳ dị PTVP Việc tìm C = C0 thờng xuất phát từ việc kiểm tra điều kiện ban đầu y ( x0 ) = y0 , nên nghiệm riêng sinh nghiệm toán giá trị ban đầu: dy = f ( x, y )  dx  y ( x0 ) = y0 Ví dụ Giải tốn giá trị ban đầu: dy = 2x + ; dx y (1) = Giải Tích phân hai vế phương trình vi phân ta thu nghiệm tổng quát: y ( x) = ∫ (2 x + 3)dx = x + x + C Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân Hình vẽ cho thấy đồ thị y = x + x + C với vài giá trị C Nghiệm riêng ta quan tâm có đồ thị đường cong qua điểm (1,2), thoả mãn điều kiện ban đầu: y (1) = 12 + 3.1 + C = Điều dẫn đến C = -2, nên nghiệm riêng (tức nghiệm tốn) cần tìm là: y ( x ) = x + x − 2 Sự tồn nghiệm Bài tốn Cauchy Xét ví dụ mở đầu Ví dụ (a) [Sự khơng tồn tại] Xét tốn giá trị ban đầu: y '= ; y(0) = x + Dễ thấy y ( x) = ∫ (1/ x)dx = ln x + C nghiệm tổng quát PTVP + Kiểm tra đ/kiện: khơng có hàm y ( x) = ∫ (1 / x )dx = ln x + C thoả mãn điều kiện ban đầu Vậy nên Bài tốn Cauchy vơ nghiêm (b) [Sự khơng nhất] Dễ thấy toán giá trị ban đầu: y '= y ; y(0) = có hai nghiệm phân biệt y1 ( x) = x y ( x) ≡ Nhận xét: Giả sử ta nghiên cứu hệ vật lý mà hoạt động hồn tồn xác định điều kiện ban đầu, mơ hình tốn đưa Bài toán giá trị ban đầu khơng có nghiệm Một vấn đề đặt là: Khi Bài tốn Cauchy có nghiệm ĐNNH LÝ (Sự tồn nghiệm) Giả sử hàm f(x,y) đạo hàm riêng D y f ( x, y ) liên tục hình chữ nhật R mặt phẳng Oxy chứa điểm (a,b) Khi đó, với khoảng mở I chứa điểm a, toán giá trị ban đầu:  dy  = f ( x, y ) (9)  dx  y (a ) = b có nghiệm xác định I dy = −y dx + Hàm f(x,y) = –y đạo hàm riêng ∂f / ∂y = −1 liên tục điểm + Theo Định lý 1: Bài tốn có nghiệm với điều kiện đầu (a,b) Chú ý 2: Trong phương trình vi phân dy / dx = −2 y Chú ý 1: Trong phương trình vi phân Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân + Hàm f ( x, y ) = −2 y liên tục với y > 0, đạo hàm riêng ∂f / ∂y = / y gián đoạn y = + Tại điểm (0,0) tồn hai nghiệm khác y1 ( x) = x y ( x) ≡ mà nghiệm tốn Chú ý 3: Trong phương trình vi phân đơn giản dy / dx = y + Ta có f ( x, y ) = y ∂f / ∂y = y : liên tục tồn mặt phẳng Oxy nói chúng hình chữ nhật -2 < x < 2; < y < nói riêng + Vì điểm (0,1) nằm hình chữ nhật này, nên Định lý bảo đảm nghiệm – tất nhiên hàm liên tục – cho toán điều kiện ban đầu: dy = y , y(0) = dx khoảng mở x chứa a = 0: chinha : y ( x) = 1− x + Tuy nhiên: y(x) = 1/(1 – x) hàm gián đoạn x = 1, nên nghiệm liên tục khơng tồn tồn khoảng -2 < x < Do đó, khoảng I Định lý khơng rộng hình chữ nhật R f ∂f / ∂y liên tục Lý do: việc đường cong nghiệm nói tới định lý cắt hình chữ nhật – nơi mà nghiệm PTVP đảm bảo tồn – trước đạt tới hai đầu mút khoảng dy Ví dụ Xét phương trình vi phân cấp 1: x = y, dx + Áp dụng Định lý với f ( x, y ) = y / x ∂f / ∂y = / x , ta kết luận PTVP có nghiệm điểm mặt phẳng Oxy mà x ≠ + Nghiệm hàm : y ( x) = Cx thoả mãn PTVP với số C với giá trị biến x dy Bài toán giá trị ban đầu: x = y, y(0) = có nhiều dx nghiệm khác nhau, với đường cong nghiệm parabol y = Cx Có thể thấy tất parabol qua điểm gốc (0,0), khơng có đường số qua điểm khác trục y Điều kéo theo việc tốn điều kiện ban đầu có vơ số nghiệm dy +Tuy nhiên toán điều kiện ban đầu: x = y, y(0) = b vô nghiệm với b ≠ dx dy Bài toán giá trị ban đầu: x = y, y(a) = b dx có nghiệm a ≠ vơ nghiệm a = 0; b ≠ vô số nghiệm a = b = Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân Xét toán x dy = y, y(-1) = Với giá trị C, dx hàm xác định bởi:  x x ≤ y ( x) =  (*) Cx x > hàm liên tục thoả mãn toán điều kiện ban đầu: dy x = y, y(–1) = dx Với giá trị C, đường cong nghiệm xác định (*) bao gồm nửa trái parabol y = x nửa phải parabol y = Cx Do đó, đường cong nghiệm lân cận (-1,1) phân nhánh gốc toạ độ thành vô hạn đường cong nghiệm Chú ý: Phương trình vi phân cấp dạng đơn giản số mơ hình Tốn d2y Xét phương trình vi phân cấp với dạng đặc biệt: = g ( x), dx dy + Lấy tích phân lần để thu được: = y" dx = ∫ g ( x)dx = G ( x) + C1 , dx ∫ G nguyên hàm g C1 số + Tiếp tục tích phân lần nữa, ta được: y ( x) = ∫ y ' ( x)dx = ∫ [G ( x) + C1 ]dx = ∫ G ( x)dx + C1 x + C , với C số * Vận tốc gia tốc + Chuyển động phần tử dọc theo đường thẳng (trục x) diễn tả qua hàm vị trí nó: x = f (t ) + Vận tốc phần tử xác định bởi: v(t ) = f '(t ) ; tức v = + Gia tốc a(t) a(t) = v’(t) = x”(t) : a = dx dt dv d x = dt dt + Theo Định luật Newton quỹ đạo chuyển động thì: ma(t) = F(t) hay F = ma, m khối lượng phần tử, + Nếu biết lực F, lấy tích phân hai lần phương trình x" (t ) = F (t ) / m để tìm hàm vị trí x(t) dạng tích phân chứa hai số Hai số xác định vị trí ban đầu x = x(0) vận tốc ban đầu v = v(0) phần tử Đặc biệt : Gia tốc số + Giả sử : gia tốc a = F/m, số Khi đó, ta bắt đầu với phương trình: dv = a (a số) dt + Lấy tích phân hai vế ta được: v(t ) = ∫ adt = at + C1 , Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân + Ta biết v = v t = 0, thay điều vào đẳng thức ta C1 = v0 Nên: dx v(t ) = = at + v0 dt + Tích phân lần thứ hai cho ta: at + v0t + C2 , 2 thay t = 0; x = x C = x0 Do đó: x (t ) = at + v t + x , x (t ) = ∫ v (t ) dt = ∫ ( at + v0 ) dt = Ví dụ Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc 450 m/s Tên lửa hãm nó, cháy, tạo gia tốc 2,5 m / s (gia tốc trọng trường Mặt trăng coi bao gồm gia tốc cho) Với độ cao so với bề mặt Mặt trăng tên lửa cần kích hoạt để bảo đảm “sự tiếp đất nhẹ nhàng”, tức v = chạm đất? + Ta ký hiệu x(t) độ cao đĩa bay so với bề mặt Mặt trăng + Đặt t = thời điểm mà tên lửa đNy lùi cần kích hoạt Khi v = −450m / s (nó âm độ cao x(t) giảm dần), a = 2,5m / s + Phương trình (10) (11) trở thành: v(t ) = 2,5t − 450 x(t ) = 1, 25t − 450t + x0 x0 độ cao đĩa bay thời điểm t = lúc tên lửa cần kích hoạt + Từ phương trình ta thấy, v = (tiếp đất nhẹ nhàng) xảy khi: t = 450 / 2,5 = 180 s (tức khoảng phút) Thay t = 180 x = ta có: x0 = − 1, 25.1802 + 450.180 = 40500 (m) Như x0 = 40,5km ≈ 25 dặm Do đó, tên lửa hãm nên kích hoạt đĩa bay độ cao 40,5 km so với bề mặt Mặt trăng, tiếp đất nhẹ nhàng sau phút Phương trình vi phân phân ly biến số dy = H ( x, y ) (*) dx gọi phương trình vi phân phân ly biến số H ( x, y ) viết thành tích a Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một: hàm x hàm y : phương trình viết dạng: dy g ( x) = g ( x)h( y ) = ,trong h( y ) = ; tức dx f ( y) f ( y) f ( y )dy = g ( x)dx , (**) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân b Cách giải: Xét p/t có dạng (**), lấy tích phân hai vế theo x: dy ∫ f ( y( x)) dx dx = ∫ g ( x)dx + C ; hay là: ∫ f ( y)dy = ∫ g ( x)dx +C F ( y ( x) ) = G ( x ) + C ta có: Ví dụ Giải toán với giá trị ban đầu dy = −6 xy , y (0) = dx Giải + Xét PTVP dy = −6 xy dx - Nhận xét: y ≡ nghiệm PT , nhiên khơng thỏa mãn ĐKBĐ - Xét trường hợp y ≠ : biến đổi thành dạng phân ly biến dy = −6 xdx y dy - Do ∫ y = − ∫ xdx ⇔ ln | y |= −3x + C - Từ điều kiện ban đầu y (0) = , thấy y(x) dương điểm gần điểm x = , bỏ giá trị tuyệt đối: ln y = −3x + C , đó: y ( x) = e−3 x +C 2 = e−3 x eC = Ae−3 x , A = eC + Điều kiện y (0) = dẫn đến A = , nghiệm cần tìm y ( x) = 7e −3 x Đó đường cong nghiệm tơ đậm phía Hình 1.4.1 Chú ý: + Giả sử điều kiện ban đầu Ví dụ y (0) = −4 Khi y ( x) âm x gần Khi đó: ln ( − y ) = −3x + C + Điều kiện ban đầu suy C = ln , ln ( − y ) = −3x + ln , y ( x) = −4e−3 x , Đó đường cong nghiệm tơ đậm phía Hình 1.4.1 Ví dụ Giải phương trình vi phân: dy − x = dx y − Giải +Với ĐK mẫu số khác 0, ta đưa dạng tách biến: (3 y − 5) dy = (4 − x ) dx + Lấy tích phân hai vế ta nhận được: ∫ (3 y − ) dy = ∫ ( − x ) dx ⇔ y − y = x − x + C Nghiệm tổng quát dạng Nn 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn IVa-Phương trình vi phân II Các phương pháp số hệ phương trình Mục tiêu: Xét số phương pháp xấp xỉ (Euler, Euler cải tiến, Runge-Kutta) để giải toán Cauchy hệ PTVP: x' = f(t, x), x(t0) = x0, x = ( x1 , x2 , , xm ), f = ( f1 , f , , f m ) (1) hệ gồm m phương trình vi phân cấp Sự tồn nghiệm toán: Nếu hàm thành phần f liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng lân cận điểm (t0, x0), tốn (1) tồn nghiệm x = x(t) khoảng trục t có chứa điểm t0 Trong trường hợp thảo luận nghiệm xấp xỉ (1) Phương pháp Euler hệ phương trình Cơng thức lặp phương pháp Euler hệ phương trình vi phân là: xn+1 = xn + h.f(tn , xn) (2) ● Đối với hệ gồm m = phương trình vi phân cấp một, viết:  x f x =   f =   y g Khi toán giá trị ban đầu (1) viết sau:  x ' = f (t , x, y ),   y ' = g(t , x, y ), x(t0 ) = x0 y (t0 ) = y0 (3) ● Các thành phần vô hướng công thức véctơ (2) thể dạng:  xn+1 = xn + h f (tn , xn , yn )   yn+1 = yn + h.g (tn , xn , yn ) (4) Chú ý công thức lặp (4) có dạng cơng thức lặp phương pháp Euler, cơng thức tính xn+1 yn tham gia dạng tham số công thức tính yn+1 xn tham gia dạng tham số Với phương pháp Euler cải tiến để giải hệ phương trình vi phân: ● Trong bước cần tính: + Phần dự đốn: Un+1 = Xn + h.f(tn, Xn) + Sau tính phần hiệu chỉnh: h Xn+1 = Xn + [f(tn, Xn) + f(tn+1, Un+1)] 12 (5) (6) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân ● Đối với trường hợp chiều : thành phần vô hướng công thức (5) (6) là: un +1 = xn + h f (tn , xn , yn ) +1 = yn + h.g (tn , xn , yn ) (7) xn+1 = xn + [ f (tn , xn , yn ) + f (tn+1 , un+1, vn+1 )] yn+1 = yn + [ g (tn , xn , yn ) + g (tn+1 , un+1, vn+1 )] ● Ví dụ Xét tốn giá trị ban đầu:  x ' = x − y , x ( 0) =   y ' = x − y, y (0) = + Nghiệm xác hệ (9),  x(t ) = 2e −2t + e t   y (t ) = 5e − 2t + e t + Ở đây: f(x,y) = 3x - 2y, g(x,y) = 5x - 4y (8) (9) (10) Phương pháp Euler : + Áp dụng công thức Euler (4) : xn+1 = xn + h (3xn – 2yn) ; yn+1 = yn + h (5xn – 4yn) + Với bước lặp h = 0,1, ta có: x1 = + 0,1 [3.3 - 2.6] = 2,7 y1 = + 0,1 [5.3 - 4.6] = 5,1 x2 = 2,7 + 0,1 [3 × 2,7 - × 5,1] = 2,49 y2 = 5,1 + 0,1 [5 × 2,7 - × 5,1] = 4,41 + Các giá trị xác t2 = 0,2 cho (10), x(0,2) ≈ 2,562 y(0,2) ≈ 4,573 Phương pháp Euler cải tiến : để tính xấp xỉ giá trị x(0,2) y(0,2) với bước h = 0,2 : + Tính phần dự đốn: u1 = + 0,2 [3.3 - 2.6] = 2,4 v1 = + 0,2 [5.3 - 4.6] = 4,2 + Sau đó tách phần hiệu chỉnh cho (8): x1 = + 0,1 [3.3 - 2.6] + [3 x 2,4 - x 4,2] = 2,58 y1 = + 0,1 [5.3 - 4.6] + [5 x 2,4 - x 4,2] = 4,62 Nhận xét : Một bước lặp phương pháp Euler cải tiến cho kết xác bước lặp phương pháp Euler thường 13 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp hai Công thức lặp: Dạng véc tơ công thức lặp Runge-Kutta, là: h X n+1 = X n + (k1 + 2k + 2k + k ) : k1 = f (t1 , X n ) h k2 = f (tn + , X n + h.k1 ) 2 h k2 = f (tn + , X n + h.k2 ) 2 k3 = f (tn + h, X n + h.k3 ) (11) (12) ● Trường hợp hệ hai chiều : Giải hệ hai chiều sau theo phương pháp Runge-Kutta: x ( t0 ) = x0  x′ = f ( t , x, y ) ,  y ( t0 ) = y0  y′ = g ( t , x, y ) , F   x f X =  f =  ki =  i  g  y Gi  + Ta viết: (3) + Công thức lặp phương pháp Runge-Kutta bước lặp từ (xn, yn) sang bước (xn+1, yn+1) ≈ (x(tn+1), y(tn+1)), là: h ( F1 + F2 + F3 + F4 ) h (G1 + 2G2 + 2G3 + G ) = yn + xn +1 = xn + yn +1 : (13) F1 = f (tn , xn , yn ) h 1 F2 = f (tn + , xn + h.F1 , yn + h.G1 ) 2 h 1 F3 = f (tn + , xn + h.F2 , yn + h.G2 ) 2 F4 = f (tn + h, xn + h.F3 , yn + h.G3 ) (14) + Với G1, G2, G3 G4 giá trị hàm g, xác định cách tương tự Chú ý : Một áp dụng phương pháp Runge-Kutta toán chiều, là: Giải gần toán Cauchy phương trình vi phân cấp 2: x " = g (t , x, x ') x(t0 ) = x0 ; x '(t0 ) = y0 (15) Trước hết qua phép đổi biến y = x' tốn (15) chuyển thành toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp hai chiều: 14 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân  x ' = y,   y ' = g (t , x, y ), x(t0 ) = x0 (16) y (t ) = y0 Đây toán thuộc dạng (3) với f(t, x, y) = y ● Ví dụ Nghiệm xác toán x” = -x, x(0) = 0, x'(0) = x(t) = sint + Đặt : y = x', tốn (17) chuyển thành tốn hai chiều:  x ' = y,   y ' = - x, x(0) = y (0) = (17) (18) tốn có dạng (3), với f(t, x, y) = y, g(t, x, y) = -x + Trên đoạn ≤ t ≤ (đo radian), với bước lặp h = 0,05 + Áp dụng cơng thức (13) (14) ta tính giá trị x = sint y = cost có độ xác với chữ số thập phân : t x = sint y = cost 0,5 +0,47943 +0,87758 1,0 +0,84147 +0,54030 1,5 +0,99749 +0,07074 2,0 +0,90930 -0,41615 2,5 +0,59847 -0,80114 3,0 +0,14112 -0,98999 3,5 -0,35078 -0,93646 4,0 -0,75680 -0,65364 4,5 -0,97753 -0,21080 5,0 -0,95892 +0,28366 Bảng 6.4.1 Nghiệm gần theo phương pháp Runge-Kutta toán phương trình (18) (h = 0,05) ● Đối với hệ bậc cao Mọi hệ PTVP bậc cao biến đổi tương đương thành hệ PTVP cấp + Chẳng hạn xét hệ phương trình bậc 2:  x " = F (t , x, y, x ', y ')   y " = F (t , x, y, x ', y ') (21) + Nếu thay x = x1, y = x2, x' = x3 = x'1, y' = x4 = x'2 có hệ tương đương phương trình cấp 1: 15 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân  x '1   x '2   x '3  x '4 = x3 = x4 (22) = F (t , x1 , x2 , x3 , x4 ) = G (t , x1 , x2 , x3 , x4 ) với hàm Nn x1(t) = x(t), x2(t) = y(t), x3(t), x4(t) ● Ví dụ Một bóng vị trí đầu x0 = 0, y0 = đánh gậy với tốc độ ban đầu v0 = 160 ft/s với góc nghiêng ban đầu θ = 300 Giả thiết khơng có lực cản khơng khí, bóng đoạn đường 400 ft (≈ 693ft) giây trước chạm đất Giả sử với gia tốc rơi (g = 32ft/s2), bóng có gia tốc (do lực cản khơng khí) 0,0025 v2/s2 Tìm quãng đường bóng điều kiện vừa nêu Giải + Ta biết phương trình chuyển động bóng: d 2x dx d y dy = −c.v ; = −c.v − g 2 dt dt dt dt (23) v = ( x' ) + ( y ' ) tốc độ bóng; c = 0,0025 g = 32 + Chúng ta có hệ với PTVP cấp tương đương là:  x '1 x '    x '3   x '4 = x3 = x4 = - cx3 x32 + x4 (24) = - cx4 x32 + x4 − g với điều kiện đầu: x1(0) = x2(0) = x3(0) = 80 ; x4(0) = 80 Chú ý x3(t) x4(t) thành phần x y véctơ tốc độ bóng với v = x3 + x4 (25) Khi khơng có lực cản khơng khí + Bảng 6.4.4 cho kết áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước k = 0,1 c = (khơng có lực cản khơng khí) + Các kết gồm: - Hồnh độ x (song song mặt đất) - Tung độ y (vng góc với mặt đất) bóng bước lặp - Góc nghiêng α véctơ tốc độ + Các kết trùng với nghiệm xác c = Quả bóng bay khoảng cách nằm ngang 400 ≈ 692.82 ft / s giây đạt độ cao cực đại 100 ft sau 25s + Chú ý bóng chạm đất với tốc độ góc nghiêng tốc độ đầu góc nghiêng đầu 16 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa-Phương trình vi phân t x y v 0.0 0.00 0.00 160.00 +30 0.5 69.28 36.00 152.63 +25 α t x y v α 1.0 1.5 2.0 2.5 138.56 64.00 207.85 84.00 277.13 96.00 346.41 100,00 146.64 +19 142.21 +13 139.48 +7 138.56 +0 0.0 0.5 1.0 1.5 0.00 63.25 117.11 164.32 0.00 32.74 53.20 63.60 160.00 127.18 104.86 89.72 +30 +24 +17 +8 3.0 3.5 4.0 4.5 415.69 484.69 554.26 623.54 139.48 142.21 146.64 152.63 -7 -13 -19 -25 2.0 2.5 3.0 3.5 206.48 244.61 279.29 310.91 65.30 59.22 46.05 26.41 80.17 75.22 73.99 75.47 -3 -15 -27 -37 0.00 160.00 -30 4.0 339.67 0.91 78.66 -46 5.0 692.82 96.00 84.00 64.00 36.00 Bảng 6.4.4 Khi lực cản khơng khí (c = 0) Bảng 6.4.5 Khi c = 0,0025 Khi có lực cản khơng khí + Bảng 6.4.5 cho kết đạt có lực cản khơng khí c = 0,0025 với bước h = 0,05 h = 0,025 + Với lực cản khơng khí, bóng 400ft giây Các kết xác Bảng 6.4.6 cho thấy bóng quãng đường song song khoảng 340ft độ cao cực đại 66ft Chú ý bóng chạm đất, tốc độ bằng nửa tốc độ ban đầu (khoảng 79ft/s) với góc nghiêng dốc (≈ 460) Những người hâm mộ bóng chày có kinh nghiệm dự đốn hướng đường bóng bay t x y v α 1.5 164.32 63.60 89.72 +8 1.6 173.11 64.60 87.40 +5 1.7 181.72 65.26 85.29 +3 1.8 190,15 65.60 83.39 +1 1.9 198.40 65.61 81.68 -1 2.0 206.48 65.30 80,17 -3 : : : : : 3.8 328.50 11.77 77.24 -42 3.9 334.14 6.45 77.93 -44 4.0 339.67 0,91 78.66 -46 4.1 345.10 -4.84 79.43 -47 4.2 350,41 -10,79 80,22 -49 Hình 6.4.6 Đỉnh quỹ đạo va chạm bóng với mặt đất Về nhà: Bài tập nhà: Tr 161, 174, 187, 205 Làm đề cương Ôn tập học kỳ II 17 TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN MƠN TỐN 4A I Phương trình vi phân Phương trình vi phân phân ly biến số dy = H ( x, y ) (*) dx gọi phương trình vi phân phân ly biến số H ( x, y ) viết thành tích a Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một: dy g ( x) = g ( x) h( y ) = ,trong h( y ) = ; tức dx f ( y) f ( y) phương trình viết dạng: f ( y )dy = g ( x)dx , (**) b Cách giải: Xét p/t có dạng (**), lấy tích phân hai vế theo x: dy ∫ f ( y( x)) dx dx = ∫ g ( x)dx + C ; hay là: ∫ f ( y)dy = ∫ g ( x)dx +C hàm x hàm y : ta có: F ( y ( x) ) = G ( x ) + C Phương trình vi phân tuyến tính cấp a Định nghĩa PTVP tuyến tính cấp PTVP có dạng dy + P(x) y = Q(x) dx b Phương pháp giải : P ( x ) dx Đầu tiên, tính thừa số tích phân ρ ( x) = e ∫ (1) Nhân hai vế phương trình vi phân với ρ(x) Sau đó, đưa vế trái phương trình xét dạng đạo hàm tích: Dx [ ρ ( x) y ( x) ] = ρ ( x)Q( x) Cuối cùng, tích phân phương trình ρ ( x) y ( x) = ∫ ρ ( x)Q( x)dx + C , giải theo y để nhận nghiệm tổng quát phương trình vi phân đầu tiên: − P ( x ) dx  P ( x ) dx y ( x) = e ∫ (Q ( x)e ∫ )dx + C  ∫   Phương trình vi phân cấp a Dạng: PTVP cấp phương trình viết dạng: dy  y = F  dx x (7) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến Nhận xét: Nếu hàm hệ số PTVP đẳng cấp PTVP PTVP b Cách giải: + Đặt: y dy dv y = vx, ⇒ =v+x , x dx dx + Phương trình (7) trở thành phương trình phân ly biến: dv x = F (v) − v dx (8) v= Phương trình Bernoulli dy + P( x) y = Q( x) y n dx (9) b Cách giải: + Sử dụng phép thế: v = y 1− n dv dy + Khi : = (1 − n) y1−2 dx dx + Phương trình (9) thành phương trình tuyến tính: dv + (1 − n) P ( x)v = (1 − n)Q( x) dx (10) a Dạng: Phương trình vi phân toàn phần  ∂F  ∂x = M ( x, y ) a Dạng : Nếu tồn hàm F ( x, y ) cho  , PTVP có ∂ F  = N ( x, y )  ∂y dạng: M(x,y)dx + N(x,y)dy = gọi PTVP tồn phần b.Cơngthức nghiệm : Xét PTVP toàn phần M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = + Khi tồn hàm F(x, y) : cho Fx dx + Fy dy = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = + Ta có F ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + g ( y ) (*) (**) + Lấy đạo hàm hai vế (**) theo y áp dụng : định g ( y ) + Nghiệm tổng quát (*) : F ( x, y ) = C Một số PTVP cấp giảm cấp a) Phương trình khuyết biến phụ thuộc y Dạng: F(x, y', y'') = ∂F = N ( x, y ) để xác ∂y (11) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến dp dy ⇒ y '' = dx dx + Ta nhận PTVP cấp : F(x, p, p') = + Nếu p = p ( x, C1 ) nghiệm tổng quát (12) Cách giải: + Xét phép : p = y' = (12) y ( x) = ∫ y '( x)dx = ∫ p ( x, C1 )dx + C2 nghiệm phương trình (11) b)PTVP khuyết biến độc lập x Dạng: F(y, y', y") = dp dp dy dp Giải: + Xét phép : p = y ' ⇒ y " = = =p dx dy dx dy + Khi PTVP (13) trở thành PTVP cấp (với p hàm y) dp F ( y, p, p ) = dy + Nếu nghiệm (14) p = p ( y, C1 ) (khi giả thiết y' ≠ 0) ta có : (13) (14) dx 1 dy dx = ∫ dx = ∫ dy = ∫ + C2 dy dy / dx p p ( y, C1 ) + Nếu tích phân cuối P = ∫(1/p) dy tính được, nhận nghiệm khơng tường minh x(y) = P(y, C1 ) + C2 PTVP cấp hai ban đầu x( y ) = ∫ Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số Dạng : ay "+ by '+ cy = , a, b c số, a ≠ Mục đích: Tìm nghiệm tổng quát (1) Quy tắc giải PTVPTT cấp nhất: ay "+ by '+ cy = (1) (2) Xét phương trình đặc trưng: ar + br + c = (3) Giải phương trình đặc trưng tùy trường hợp suy nghiệm tổng quát PTVP theo Định lý nói a Trường hợp 1: PT đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt ĐNNH LÝ Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thực, phân biệt r1 r2 , y ( x) = c1e r1x + c2 er2 x nghiệm tổng quát phương trình (1) b Trường hợp 2:Phương trình đặc trưng có nghiệm bội ĐNNH LÝ Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm r1 = r2 , y ( x) = (c1 + c2 x)e r1x nghiệm tổng quát phương trình (1) (4) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến c Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức ĐNNH LÝ Nếu phương trình đặc trưng (3) có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp a ± bi (với b ≠ ), nghiệm tổng qt phương trình (1) có dạng : y ( x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) Phương trình VPTT khơng với hệ số Cách giải : Xét PTVPTT không với hệ số an y ( n ) + an−1 y ( n −1) + + a1 y′ + a0 y = f ( x ) (1) ● Trước hết tìm hàm bổ xung yc(x) : nghiệm tổng quát phương trình tương ứng an y ( n ) + an −1 y ( n−1) + + a1 y′ + a0 y = 0, (2) ● Tiếp theo phải tìm nghiệm riêng PTVPTT không (1): yp(x) ● Khi nghiệm tổng qt phương trình khơng (1) có dạng y = yc + y p (3) ● Như nhiệm vụ lại phải tìm yp a Phương pháp hệ số bất định Trường hợp 1: Các hàm ĐLTT có f ( x ) đạo hàm khơng có mặt hàm bù yc ( x ) Quy tắc 1: Các hàm ĐLTT phép phân tích hàm f ( x ) đạo hàm khơng xuất hàm bù yc ( x ) + Ta chọn y p ( x ) tổ hợp tuyến tính hàm ĐLTT nói + Thế y p ( x ) vào p/t không (*), thông qua đồng hệ số để tìm số khai triển y p ( x ) + Kết luận nghiệm riêng cần tìm Trường hợp 2: Các hàm ĐLTT có f ( x ) đạo hàm có hàm có mặt hàm bù yc ( x ) Xét f ( x ) tổ hợp hàm dạng: Pm ( x )e rx cos kx hc Pm ( x )erx sin kx, Quy tắc 2: Trong hàm ĐLTT phép phân tích hàm f ( x ) đạo hàm có hàm xuất hàm bù yc ( x ) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến + Ta chọn : y p ( x ) = x s [( A0 + A1 x + A2 x + + ( B0 + B1 x + B2 x + + Am x m )e rx cos kx + Bm x m )e rx sin kx ], s số nguyên không âm nhỏ cho khơng có số hạng y p ( x ) trùng với số hạng hàm bù yc ( x ) + Thế y p ( x ) vào p/t không (*), thông qua đồng hệ số để tìm số khai triển y p ( x ) + Kết luận nghiệm riêng cần tìm b Phương pháp biến thiên tham số Thuật toán Sử dụng phương pháp biến thiên tham số để tìm nghiệm riêng PTVPTT khơng n n −1 y ( ) + pn −1 ( x ) y ( ) + + p1 ( x ) y′ + p0 ( x ) y = f ( x ) , (4) ● Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát yc ( x) = c1 y1 + c2 y2 + + cn yn (5) phương trình tương ứng n n −1 y ( ) + pn −1 ( x ) y ( ) + + p1 ( x ) y′ + p0 ( x ) y = (6) ● Bước 2: Thay số c1 , c2 , , cn hàm bù (5) phương trình (6) hàm u1 ( x ) , u2 ( x ) , , un ( x ) , tức ta y p ( x ) = u1 ( x ) y1 ( x ) + u2 ( x ) y2 ( x ) + + u n ( x ) yn ( x ) (7) ● Bước 3: Sau y p ( x ) (4) vào p/t ban đầu để tìm u1 ( x ) , u2 ( x ) , , un ( x ) Trường hợp n = + Xét phương trình khơng bậc hai L [ y ] = y′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) với hàm bù yc ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) khoảng mở I hàm P Q liên tục + Tìm hàm u1 u2 cho y p ( x ) = u1 ( x ) y1 ( x ) + u2 ( x ) y2 ( x ) hàm riêng phương trình (22) + Xác định hàm u1 u2 ta cần Gộp phương trình ta hệ u1′ y1 + u2′ y2 = 0,  u1′ y1′ + u2′ y2′ = f ( x ) + Giải hệ (11) ta nhận hàm u1 ( x), u2 ( x ) + Nghiệm riêng PTVPTT không (8): y p = u1 y1 + u2 y2 (8) (9) (10) (11) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến ĐNNH LÝ Sự biến thiên tham số Nếu phương trình khơng y′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) có hàm bù yc ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) nghiệm riêng cho y p ( x ) = − y1 ( x ) ∫ y2 ( x ) f ( x ) dx + y2 ( x ) ∫ y1 ( x ) f ( x ) dx, W ( x) W ( x) W = W(y1, y2) Wronskian hai nghiệm độc lập tuyến tính y1 y2 phương trình tương ứng II Hệ phương trình vi phân Phương pháp khử để giải hệ PTVP Mục đích phương pháp nhằm loại bỏ biến đến lại phương trình chứa biến độc lập, sau dẫn tới giải PTVP suy nghiệm hệ Phạm vi: Phương pháp phù hợp với hệ nhỏ: chúng bao gồm khơng q hai ba phương trình Phép khử tốn tử vi phân tuyến tính: ● Hệ hai PTVP với hệ số viết dạng  L1 x + L2 y = f1 (t )   L3 x + L4 y = f (t ) L1 , L2 , L3 , L4 toán tử vi phân tuyến tính , f1 (t ) f (t ) hàm cho + Dùng phương pháp khử hệ cho viết sau:  L1 L2 f (t ) L2 x=  f (t ) L4  L3 L4   L1 L2 y = L1 f1 (t )  L L L3 f (t )  + Từ ta tìm nghiệm hệ Hệ PTVPTT cấp với hệ số Hệ PTVPTT tuyến tính cấp với hệ số có dạng: x1′ = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn x2′ = a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn …… xn′ = an1 x1 + an x2 + + ann xn ● Nếu tìm đủ n véc tơ nghiệm ĐLTT: x1, x2, …, xn nghiệm tổng quát là: x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + … + cnxn(t) TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Giải tích nhiều biến a) Phương pháp giá trị riêng: Xét hệ cấp n hệ số x’ = Ax : Bước : Giải p/trình đặc trưng : [ A − λI ] v = tìm giá trị riêng λ1 , λ , , λ n ma trận A Bước : Tìm đủ n véc tơ riêng ĐLTT: v1, v2, …, ứng với giá trị riêng Nếu bước hai thành cơng ta có n nghiệm độc lập tuyến tính hệ: x1 ( t ) = v1eλ1t , x ( t ) = v eλ2t , ., x n ( t ) = v n eλnt Bước : Kết luận: nghiệm tổng quát hệ: x’ = Ax : x ( t ) = c1x1 ( t ) + c2 x ( t ) + + cn x n ( t ) Trường hợp 1: Các giá trị riêng thực phân biệt Nếu tìm n giá trị riêng λ1, λ 2, , λ n , thực phân biệt, ta tìm đủ n véc tơ riêng tương ứng v1, v2, …, nghiệm riêng tương ứng x1 ( t ) = v1eλ1t , x ( t ) = v eλ2t , ., x n ( t ) = v n eλnt Từ nghiệm tổng quát hệ là: x ( t ) = c1x1 ( t ) + c2 x ( t ) + + cn x n ( t ) ĐLTT Trường hợp 2: Giá trị riêng phức ● Nếu giá trị riêng phức véc tơ riêng tương ứng có giá trị phức, có nghiệm giá trị phức + Nếu ma trận A có giá trị riêng phức λ = p + qi λ = p − qi giái trị riêng  a1 + b1i   a1   b1   a + b i   a  b  + Nếu v =  2  =   +   i = a + bi véc tơ riêng tương ứng với λ ,              an + bn i   an  bn  v = a − bi véc tơ riêng tương ứng với λ + Nghiệm giá trị phức tương ứng với λ v : x ( t ) = veλt = ve( p + qi )t = ( a + bi ) e pt ( cos qt + i sin qt ) hay x ( t ) = e pt ( a cos qt − bsin qt ) + ie pt ( b cos qt + a sin qt ) + Phần ảo thực nghiệm giá trị phức nghiệm hệ + Do có nghiệm giá trị thực ĐLTT x1 ( t ) = Re ( x ( t ) ) = e pt ( a cos qt − bsin qt ) x ( t ) = Im ( x ( t ) ) = e pt ( b cos qt + a sin qt ) Trường hợp 3: Giá trị riêng bội TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến ● Ta nói véc tơ riêng bội k đủ có k véc tơ riêng ĐLTT tương ứng Do véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng khác độc lập tuyến tính nên véc tơ riêng ma trận A đủ ma trận A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, …,vn tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ , , λ n (mỗi giá trị riêng lặp số bội nó) Trường hợp khuyết với bội k = THUẬT TOÁN: Giả sử λ giá trị riêng bội khuyết Tìm nghiệm khác khơng v2 phương trình ( A − λI ) v = cho: ( A − λI ) v = v1 véc tơ riêng v1 tương ứng với λ Hai nghiệm ĐLTT x’ = Ax tương ứng với λ là: x1 ( t ) = v1eλt x ( t ) = ( v1t + v ) eλt Hệ PTVPTT cấp không Xét hệ PTVP tuyến tính khơng cấp x ' = Ax + f ( t ) (1) A ma trận cấp n số hạng không f(t) hàm véc tơ giá trị liên tục Nghiệm tổng quát hệ PTVP (1) có dạng x ( t ) = xc ( t ) + x p ( t ) (2) • x c ( t ) = c1x1 ( t ) + c2 x ( t ) + + cn x n ( t ) nghiệm tổng quát hệ PTVPTT tương ứng x’ = Ax • x p ( t ) nghiệm riêng hệ PTVPTT không ban đầu (1) Ta có phương pháp tìm x c ( t ) Mục tiêu: Phương pháp tìm x p ( t ) a Phương pháp hệ số bất định Giả sử số hạng không f(t) (1) tổ hợp tuyến tính (với hệ số véc tơ hằng) đa thức, hàm mũ, sin cos ● Phương pháp hệ số bất định hệ PTVP tuyến tính tương tự phương trình vi phân tuyến tính + Chúng ta dự đoán dạng tổng quát nghiệm riêng xp, + Sau xác định hệ số xp cách thay (1) + Việc lựa chọn dạng tổng quát giống trường hợp phương trình đơn lẻ b Phương pháp biến thiên tham số TS Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Giải tích nhiều biến ● Phương pháp biến thiên tham số linh hoạt thuận tiện cho thực hành mục đích nghiên cứu ● Mơ tả phương pháp: Tìm nghiệm riêng xp hệ tuyến tính khơng x' = P(t)x + f(t) (3) với điều kiện tìm nghiệm tổng quát xc ( t ) = c1x1 (t ) + c2 x (t ) + + cn x n (t ) (4) hệ tương ứng x’ = P(t)x (5) + Xét ma trận Φ ( t ) với véc tơ cột x1, x2,…, xn Khi viết lại hàm bù (4) dạng xc ( t ) = Φ ( t ) c + “Thay thế” véc tơ tham số c biến véc tơ u(t), tìm nghiệm riêng có dạng x p (t ) = Φ (t ) u (t ) + Xác định u ( t ) cho x p tồn thoả mãn phương trình (3) ĐNNH LÝ Biến thiên tham số Nếu Φ ( t ) ma trận hệ x ' = P ( t ) x khoảng đó, P(t) f(t) liên tục, nghiệm riêng hệ không x ' = P (t ) x + f (t ) cho −1 x p ( t ) = Φ ( t ) ∫ Φ ( t ) f ( t ) dt Từ suy nghiệm tổng quát hệ không là: −1 x ( t ) = Φ ( t ) c + Φ ( t ) ∫ Φ ( t ) f ( t ) dt ● Trong trường hợp hệ số P ( t ) ≡ A : ta nhận nghiệm riêng x p ( t ) = e At ∫ e − At f ( t ) dt hệ không x′ = P ( t ) + f ( t ) + Và nghiệm t At x ( t ) = e x0 + e At ∫e − As f ( s ) ds toán giá trị ban đầu x ' = P ( t ) x + f ( t ) , x ( ) = x0 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI ... phút Phương trình vi phân phân ly biến số dy = H ( x, y ) (*) dx gọi phương trình vi phân phân ly biến số H ( x, y ) vi? ??t thành tích a Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một: hàm x hàm y : phương. .. bị cho Bài số 3: Phương trình vi phân cấp giảm cấp Đại cương PTVP tuyến tính cấp Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn IVa -Phương trình vi phân Bài số ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP... xác định họ hai tham số nghiệm phương trình vi phân cấp hai y ''+ y = toàn b ộ trụ c s ố II Phương trình vi phân cấp Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: dy = f ( x, y )