Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊNPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI.. Cụ thể là đốivới một số bài toán, ngoài việc cho dưới dạng phương trình vi phân nó cònkèm theo một số điều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận tìnhcủa các thầy cô giáo, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức khoahọc, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm quen vớicông việc nghiên cứu khoa học Qua đây em xin gửi lời cảm ơn các thầy

cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã trực tiếp giảngdạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay Đặc biệt

em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người

đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho emtrong thời gian thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân cònhạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em xin trân thành cảm

ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để khóa luận của

em được hoàn thành như hiện tại

Hà Nội, 21 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những nội dung mà em trình bày trong khóa luậnnày là kết quả của quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sựhướng dẫn tận tình của PGS TS Khuất Văn Ninh Những nội dung trongkhóa luận không trùng lặp với bất kỳ kết quả nghiên cứu của các tác giảkhác

Hà Nội, 21 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

Mục lục i

Mở đầu iii

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

1.1 Lý thuyết về sai số và sai phân 1

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1

1.1.2 Sai số tính toán 2

1.1.3 Sai phân và bảng sai phân 3

1.2 Không gian định chuẩn 4

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 4

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 5

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 6

1.3 Không gian Hilbert 7

1.4 Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân 9

1.4.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân 9

1.4.2 Bài toán biên của phương trình vi phân 10

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI 15

2.1 Phương pháp Galerkin 15

2.1.1 Nội dung phương pháp 15

2.1.2 Ví dụ 18

2.2 Phương pháp Collocation 20

2.2.1 Nội dung phương pháp 20

2.2.2 Ví dụ 22

2.3 Phương pháp khử lặp 24

2.3.1 Nội dung phương pháp 24

2.3.2 Ví dụ 29

Chương 3 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG 32

3.1 Giải một số bài toán biên tuyến tính bằng nhiều phương pháp 32 3.2 Bài tập áp dụng 44

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình vi phân được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữathế kỉ 18, từ đó đến nay nó là một lĩnh vực quan trọng của toán học hiệnđại Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học, đều dẫn đến việcgiải phương trình vi phân Vì vậy sự ra đời của lý thuyết phương trình viphân là rất cần thiết

Đối với các phương trình đại số, nghiệm cần tìm thường là một giá trị

cụ thể, còn đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm thường là cáchàm của các biến độc lập thảo mãn mối quan hệ về vi phân Cụ thể là đốivới một số bài toán, ngoài việc cho dưới dạng phương trình vi phân nó cònkèm theo một số điều kiện mà ta gọi là điều kiện biên, các bài toán nhưvậy được gọi là bài toán biên đối với phương trình vi phân

Việc tìm nghiệm chính xác của bài toán biên đối với phương trình viphân tuyến tính cấp hai là một vấn đề phức tạp và khó giải quyết Do đó,

để nghiên cứu sâu một số phương pháp giải bài toán biên liên quan đếnphương trình vi phân tuyến tính cấp hai cùng với sự hướng dẫn và tậntình chỉ bảo của PGS.TS Khuất Văn Ninh, em đã chọn đề tài: “Một sốphương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và cơ

sở lý thuyết của các phương pháp giải gần đúng bài toán biên đó Sau đó

áp dụng vào giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.Cuối cùng là các ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp để giải bài toánbiên phương trinh vi phân tuyến tính cấp hai

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tương nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp giảibài toán biên phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai

Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện và thời gian có hạn, em chỉ nghiêncứu một số bài tập cơ bản về bài toán biên phương trình vi phân tuyếntính cấp hai

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nộidung nghiên cứu

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm bachương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân

tuyến tính cấp hai.

Chương 3: Một số ví dụ và bài tập áp dụng

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về số gần đúng và saiphân, không gian định chuẩn, không gian Hilber, phương trình vi phân vàbài toán giá trị biên hai điểm

1.1 Lý thuyết về sai số và sai phân

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Định nghĩa 1.1 Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khácvới a∗ không nhiều Kí hiệu a ≈ a∗

Định nghĩa 1.2 Đại lượng ∆ := |a − a∗| gọi là sai số thực sự của a

Do không biết a∗ nên ta cũng không biết ∆ Tuy nhiên, ta có thể ướclượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆a sao cho |a − a∗| ≤ ∆a hay

a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện trên càngnhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là δa := ∆a

|a|.

Ví dụ 1.1 Cho hai đoạn thẳng AB, CD với độ dài tương ứng là a =

10 cm và b = 1 cm với ∆a = ∆b = 0, 01 Khi đó, ta có

fi0

|xi − x∗i|

∂x ln f ∆xi

1.1.3 Sai phân và bảng sai phân

Sai phân

Định nghĩa 1.3 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h làhằng số lớn hơn 0 Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là saiphân cấp một của hàm f (x) tại điểm x Biểu thức

∆2f = ∆[∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)]−[f (x + h) − f (x)]

= ∆f (x + h) − ∆f (x)

được gọi là sai phân cấp hai của f (x) tại x

Tương tự, ta có ∆kf = ∆[∆k−1f ] được gọi là sai phân cấp k của f tại x.Bảng sai phân

Giả sử hàm số được cho bằng bảng

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.4 Giả sử X là một không gian vector trên trường K

2.(∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk (tính thuần nhất của chuẩn);

3 (∀x, y ∈ X) kx + yk 6 kxk + kyk ( bất đẳng thức tam giác)

Số kxk được gọi là chuẩn của phần tử x Các tiên đề 1, 2, 3 được gọi là hệtiên đề của chuẩn.

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là không gian vector trên trường K, k.k làmột chuẩn trên X Khi đó cặp (X, k.k) được gọi là không gian định chuẩn.Khi đó, không gian đó được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phứcnếu K tương ứng là trường thực hoặc phức

Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X

Ví dụ 1.2 Cho không gian vector K chiều Ek, trong đó

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X hội tụđến điểm x ∈ X nếu

lim

n→∞kxn− xk = 0

Kí hiệu lim

n→∞xn = x hay xn → x (n → ∞)

Định nghĩa 1.7 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là

dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim

n→∞kxn− xk = 0 Không gian địnhchuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.8 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường

K Một ánh xạ A : X → Y gọi là toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn đồngthời hai điều kiện sau:

1 A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2); với mọi x1, x2 ∈ X;

2 A(αx) = αA(x); với mọi α ∈ K

Ở đây để cho gọn ta viếtAx thay choA(x) để chỉ phần tử ứng vớix trongtoán tử A Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện

A(α1x1 + α2x2 + + αnxn) = α1Ax1 + α2Ax2 + + αnAxn

với mọi x1, x2, , xn ∈ X và mọi α1, α2, , αn ∈ K

Nếu X = Y thì ta nói A là một toán tử trong X

Ví dụ 1.3 Xét trường hợpX = Y = C[a, b] Toán tử xác định theo côngthức

với K(t, s) là một hàm số liên tục theo các biến t và s trong hình vuông

a 6 t, s 6 b được gọi là toán tử tích phân với hạch là K(t, s)

Định nghĩa 1.9 Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0; n → ∞ luôn kéo theo Axn → Ax0; n → ∞

Định nghĩa 1.10 Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giới nội)nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho

Số nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu

kAk Như vậy

kAk = inf {M > 0}

Định lý 1.1 Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.11 Cho không gian vector X trên trường K (K = R hoặc

K =C) Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ từ X × X vào trường

K kí hiệu (., ) thỏa mãn các tiên đề sau:

1 (∀x, y ∈ X)(x, y) = (x, y);

2 (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3 (∀x, y ∈ X)(∀λ ∈ K)(λx, y) = λ(x, y);

4 (∀x ∈ X) thì (x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ, ( θ là kí hiệu phần tửkhông của không gian X )

Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y

Định nghĩa 1.12 Giả sử (., )là một tích vô hướng trên X, khi đó kxk =

(x, x), ∀x ∈ X xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh ra bởitích vô hướng.

Định nghĩa 1.13 Ta gọi tập H 6= φ gồm các phần tử x, y, z, nào đấy

là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1 H là không gian tuyến tính trên trường K;

2 H được trang bị tích vô hướng (., );

3 H là không gian Banach với chuẩn kxk =p

(x, x).Nếu K = R hoặc K = C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian

1.4 Phương trình vi phân thường và bài toán biên

của phương trình vi phân

1.4.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và cácđạo hàm của nó

Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình

vi phân thường

Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phươngtrình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm

số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm sốđó

F x, y(x), y0(x), , y(n)(x)
= 0

hay viết gọn là

F x, y, y0, , y(n) = 0 (1.2)Trong đó x là biến độc lập và y là hàm cần tìm

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trongphương trình

Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu thay y0 =

ϕ0(x), , y(n) = ϕ(n)(x) vào thì ta được phương trình đồng nhất thức.Hàm số y = ϕ(x, c)(c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n đượcgọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) nếu thỏa mãn các điềukiện sau:

1 ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra

c = ϕ(x, y)

2 Hàm y = ϕ(x, c) thỏa mãn (1.2) khi (x, y) chạy khắp D với mọi x ∈ R.

1.4.2 Bài toán biên của phương trình vi phân

trong đó gj là các số và được gọi là điều kiện biên của phương trình Nếu

gj = 0 thì (1.6) được gọi là điều kiện biên thuần nhất

Phương trình (1.2) cùng các điều kiện (1.6) lập thành bài toán biên.Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.Trong các trường hợp khác ta gọi là bài toán biên không thuần nhất Đôikhi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) 6= 0

Định nghĩa tổng quát về bài toán biên trên đây bao gồm cả bài toán biênCauchy thông thường (khi βj(k) = 0; ∀k, j )

Ta thấy ϕ(x) = 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất, nghiệm đó gọi lànghiệm tầm thường

Nếu ϕ1, ϕ2, , ϕi là các nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổhợp tùy ý của chúng c1ϕ1 + c2ϕ2 + + ciϕi cũng là nghiệm của bài toánđó

Điều kiện giải được của bài toán biên

Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (1.2) và hệ nghiệm cơbản ϕ1, ϕ2, , ϕn của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toánbiên (1.2) −(1.3) và (1.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci

trong biểu thức ϕ = ϕ0+ c1ϕ1 + c2ϕ2 + + cnϕn sao cho điều kiện (1.6)

được thỏa mãn Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là

Nếu ma trận (1.4) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và

có (n − r) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n

Trường hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có một nghiệm khôngtầm thường khi định thức của ma trận (1.6) bằng 0

Vậy trong trường hợp m = n, hoặc bài toán biên không thuần nhất códuy nhất nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất mộtnghiệm không tầm thường.

Bài toán biên hai điểm tuyến tính

Cho phương trình

F x, y, y0, , y(n) = 0; a 6 x 6 b (1.8)Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.8) như sau

Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện (1.8) trên [a, b] và thỏa mãn điềukiện ở hai đầu đoạn thẳng

Để đơn giản chúng ta thường xét bài toán biên tuyến tính với n = 2 Khi

đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng

L(y(x)) = y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = f (x), a 6 x 6 b;

l0(y(a)) = α0y(a) + β0y0(a) = γ0;

l1(y(b)) = α1y(b) + β1y0(b) = γ1

trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số cho trước; α0, β0, γ0, α1, β1, γ1

là những hằng số cho trước

Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chương này trình bày ba phương pháp giải bài toán biên phương trình

vi phân tuyến tính cấp hai là phương pháp Galerkin, phương pháp cation, phương pháp khử lặp

Collo-2.1 Phương pháp Galerkin

2.1.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấphai

L(y) = y00 + p(x)y0 + q(x)y;

Γa(y) = α0y(a) + β0y0(a);

Γb(y) = α1y(b) + β1y0(b)

Trong đó

L(y) là toán tử tuyến tính từ C[a,b]2 → C[a,b], (với C[a,b]2 là tập tất cả cáchàm xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp hai)

Γa(y), Γb(y) là phiến hàm tuyến tính từ C[a,b]1 →R.

Bản chất của phương pháp Galerkin là ứng dụng của giải tích hàm vàogiải phương trình vi phân

Giả sử trên đoạn [a,b] cho dãy hàm {ϕn(x)}n=1.∞ thỏa mãn các điều kiệnsau:

1 ϕi(x) và ϕj(x) trực giao với nhau, với i 6= j, tức là:

Chú ý: Nếu định thức của hệ (2.2) khác không thì ta xác định duy nhất

ck, k = 1, n và do đó nghiệm trên là nghiệm duy nhất của bài toán

Nhận xét 2.1 Ta thấy rằng khi chọn hệ {ϕi(x)}i=1,n thì điều kiện trựcgiao là không bắt buộc nếu ci(i = 1, n) được chọn từ điều kiện cực tiểucủa không khớp Chẳng hạn, thay vào việc chọn hệ {ϕi(x)}i=1,n đầy đủ vàtrực giao trên [a, b] ta có thể chọn những hàm là tổ hợp tuyến tính của hệtrên sao cho các hàm vừa chọn tạo thành một hệ độc lập tuyến tính

2.1.2 Ví dụ

Ví dụ 5 Giải bài toán biên sau bằng phương pháp Galerkin

y00 = 2xy + 1

70 c1 − 61

420c2 =

−112

(2.4)

L(y) = y00 + p(x)y0 + q(x)y

Khi đó L(y) là toán tử tuyến tính

L : X → X

f 7→ Lf ∈ Xvới X là không gian con tuyến tính của C[a,b]

Với ϕ0(a) = ya, ϕ0(b) = yb, ϕi(a) = ϕi(b) = 0; i = 1, n

Ta thấy yn(x) thỏa mãn điều các điều kiện biên

Nếu tồn tại c∗1, c∗2, , c∗n sao cho R(x, c∗1, c∗2, , c∗n) = 0 thì

là nghiệm chính xác của phương trình

Tuy nhiên, trên thực tế, việc xác định các c∗i, i = 1, n thỏa mãn các điềukiện trên là khó khăn Vì vậy, ta phải tìm cách xác định các c∗i, i = 1, n

Lời giải

Đặt

L(y) = y00+ y

Chọnϕ0(x) = ax + b thì ϕ0(x) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất

Suy ra, chọn ϕ0(x) = 0, ϕ1(x) = sin x cos x, ϕ2(x) = sin2x cos x

Ta có hệ {ϕ1(x), ϕ2(x)} độc lập tuyến tính và thỏa mãn điều kiện biênthuần nhất

Tức là

√3

4 c1 − 2c2 =

√32

Vậy nghiệm xấp xỉ của phương trình là

y2(x) = 1 − 0, 1629 sin x cos x − 0, 3271sin2x cos x

2.3 Phương pháp khử lặp

2.3.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

yi00 = yi+1 −2y i +y i−1

... 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BIÊN PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI< /h2>

Chương trình bày ba phương pháp giải tốn biên phương trình

vi phân tuyến tính cấp. .. data-page="17">

1.4 Phương trình vi phân thường tốn biên< /h3>

của phương trình vi phân< /h3>

1.4.1 Một số khái niệm phương trình vi phân

Phương trình vi phân phương trình chứa hàm... cấp hai phương pháp Galerkin, phương pháp cation, phương pháp khử lặp

Collo-2.1 Phương pháp Galerkin

2.1.1 Nội dung phương pháp

Xét tốn giá trị biên phương trình vi