Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————————————— NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên nghành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ tận tình thầy cô giáo, em học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em xin trân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy cô để khóa luận em hoàn thành Hà Nội, 21 tháng năm 2017 Sinh viên NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan nội dung mà em trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn tận tình PGS TS Khuất Văn Ninh Những nội dung khóa luận không trùng lặp với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, 21 tháng năm 2017 Sinh viên NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN Mục lục i Mở đầu iii Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết sai số sai phân 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.1.2 Sai số tính toán 1.1.3 Sai phân bảng sai phân 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.2.3 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Phương trình vi phân thường toán biên phương trình vi phân 1.4.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân 10 i Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI 2.1 Phương pháp Galerkin 15 15 2.1.1 Nội dung phương pháp 15 2.1.2 Ví dụ 18 2.2 Phương pháp Collocation 20 2.2.1 Nội dung phương pháp 20 2.2.2 Ví dụ 22 2.3 Phương pháp khử lặp 24 2.3.1 Nội dung phương pháp 24 2.3.2 Ví dụ 29 Chương MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG 32 3.1 Giải số toán biên tuyến tính nhiều phương pháp 32 3.2 Bài tập áp dụng ii 44 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình vi phân nghiên cứu lần vào kỉ 18, từ đến lĩnh vực quan trọng toán học đại Rất nhiều toán toán học, vật lý, hóa học, dẫn đến việc giải phương trình vi phân Vì đời lý thuyết phương trình vi phân cần thiết Đối với phương trình đại số, nghiệm cần tìm thường giá trị cụ thể, phương trình vi phân nghiệm cần tìm thường hàm biến độc lập thảo mãn mối quan hệ vi phân Cụ thể số toán, việc cho dạng phương trình vi phân kèm theo số điều kiện mà ta gọi điều kiện biên, toán gọi toán biên phương trình vi phân Việc tìm nghiệm xác toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai vấn đề phức tạp khó giải Do đó, để nghiên cứu sâu số phương pháp giải toán biên liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hướng dẫn tận tình bảo PGS.TS Khuất Văn Ninh, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai” iii Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sở lý thuyết phương pháp giải gần toán biên Sau áp dụng vào giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Cuối ví dụ cụ thể áp dụng phương pháp để giải toán biên phương trinh vi phân tuyến tính cấp hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tương nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện thời gian có hạn, em nghiên cứu số tập toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khóa luận gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải toán biên phương trình vi phân iv tuyến tính cấp hai Chương 3: Một số ví dụ tập áp dụng v Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức số gần sai phân, không gian định chuẩn, không gian Hilber, phương trình vi phân toán giá trị biên hai điểm 1.1 Lý thuyết sai số sai phân 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Định nghĩa 1.1 Số a gọi số gần số a∗ a sai khác với a∗ không nhiều Kí hiệu a ≈ a∗ Định nghĩa 1.2 Đại lượng ∆ := |a − a∗ | gọi sai số thực a Do a∗ nên ta ∆ Tuy nhiên, ta ước lượng sai số thực a số dương ∆a cho |a − a∗ | ≤ ∆a hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện nhỏ tốt Sai số tương đối a δa := ∆a |a| Ví dụ 1.1 Cho hai đoạn thẳng AB, CD với độ dài tương ứng a = 10 cm b = cm với ∆a = ∆b = 0, 01 Khi đó, ta có δa = 0.01 0, 01 = 0, 1% δb = = 1% hay δb = 10δa 10 Dễ thấy, phép đo độ dài đoạn thẳng a xác phép đo độ dài đoạn thẳng b ∆a = ∆b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số tính toán Sai số tính toán sai số sinh trình tính toán ta phải thu gọn số Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y = f (x1 , x2 , , xn ) Giả sử x∗ , y ∗ ; i = 1, n xi , yi ; i = 1, n giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục |y − y∗| = |f (x1 , x2 , , xn ) − f (x∗1 , x∗2 , , x∗n )| = f i đạo hàm n i=1 fi |xi − x∗i | ∂f ∂f tính điểm trung gian Do liên tục ∂xi ∂xi ∆xi bé ta coi n |f i (x1 , x2 , , xn )|∆xi ∆y = i=1 Do δy = ∆y |y| n = i=1 ∂ ∂x ln f ∆xi Tính aik b aik = L(ϕk )ϕi (x)dx; a b a11 = i, k = 1, 2; x(x2 − 1)(1 − x)dx = L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx = a b a12 = (2x3 − x2 − 12x + 4)xdx = L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx = a b a21 = (x2 − 4)x2 (1 − x)dx = L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx = a b a22 = −37 ; 60 −3 ; 10 (2x3 − x2 − 12x + 4)x2 (1 − x)dx = L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx = a −19 ; 60 −53 210 Ta có hệ     −37 19 −3     c1 = c1 − c2 = 60 20 10 ⇔   −3 53 −1     c2 = −1 c1 − c2 = 10 210 21 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình y(x) ≈ 2x − + x(1 − x) − x2 (1 − x) = x3 − 2x2 + 3x − Sử dụng phương pháp Collocation Đặt R(x, c1 , c2 ) = L(y) − f (x) = −2x − + c1 (x3 − 3x2 + 8x − 2) + c2 (2x4 + 5x3 − 15x2 − 6x) + 4x Cho x1 = 0, x2 = ta xét hệ     R(x1 , c1 , c2 ) =    R(x2 , c1 , c2 ) = tức 34     4c1 − 4c2 = ⇔     c1 =    c2 = −1    3c1 + 7c2 = −4 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình y(x) ≈ 2x − + x(1 − x) − x2 (1 − x) = x3 − 2x2 + 3x − Nhận xét 3.1 Ta thấy kết toán giải hai phương pháp Galerkin Collocation trùng trùng với nghiệm toán Ví dụ Giải toán biên sau y + (x −1) y − 2y = −4x, ≤ x ≤    4y(0) − y (0) =    y(1) = Lời giải Giả sử ϕ0 (x)= ax + b, ϕ0 (x) thỏa mãn điều kiện biên không     4ϕ0 (0) − ϕ (0) =    ϕ0 (1) = ⇔     −a + 4b =    a+b=3 ⇔    a=2    b=1 Suy ra, chọn ϕ0 (x) = 2x + 1, ϕ1 (x) = x2 (x − 1), ϕ2 (x) = x3 (x − 1) Ta có hệ {ϕ1 (x), ϕ2 (x)} độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên 35     4ϕi (0) − ϕ i (0) =    ; i = 1, ϕi (1) = Đặt L(y) = y + (x − 1) y − 2y, ta tìm L(ϕ0 ), L(ϕ1 ), L(ϕ2 ) L(ϕ0 ) = −2x − 4; L(ϕ1 ) = x3 − 3x2 + 8x − 2; L(ϕ2 ) = 2x4 − 5x3 + 15x2 − 6x Sử dụng phương pháp Galerkin Ta có b (f (x) − L(ϕ0 )) ϕi (x)dx; bi = a b −7 ; 30 a b −2 b2 = (f (x) − L(ϕ0 )) ϕ2 (x)dx = (−2x + 4)x3 (x − 1)dx = 15 a b1 = (f (x) − L(ϕ0 )) ϕ1 (x)dx = (−2x + 4)x2 (x − 1)dx = Tính aik b aik = L(ϕk )ϕi (x)dx; a b a11 = i, k = 1, 2; x2 (x3 − 3x2 + 8x − 2)(x − 1)dx = L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx = a b a12 = −11 ; 70 L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx a x2 (2x4 − 5x3 + 15x2 − 6x)(x − 1)dx = = b a21 = x3 (x3 − 3x2 + 8x − 2)(x − 1)dx = L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx = a b a22 = −7 ; 60 L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx a x3 (2x4 − 5x3 + 15x2 − 6x)(x − 1)dx = = 36 −241 2520 −19 ; 168 Ta có hệ   −11 −7   c1 ≈ 1, 829 c1 − c2 = 70 60 30 ⇔   19 241 −2    c2 ≈ −0, 464 − c1 − c2 = 168 2520 15     Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình y(x) = 2x + + 1, 829x2 (x − 1) − 0, 464x3 (x − 1) Sử dụng phương pháp Collocation Đặt R(x, c1 , c2 ) = L(y) − f (x) = −2x − + c1 (x3 − 3x2 + 8x − 2) + c2 (2x4 + 5x3 − 15x2 − 6x) + 4x 1 Lấy x1 = , x2 = ta xét hệ     R(x1 , c1 , c2 ) =    R(x2 , c1 , c2 ) = tức     1576 10 10     c1 ≈ 1, 564 c1 − c2 = 27 81 ⇔   11    c2 ≈ −0, 1415  c1 − 6c2 = Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình y2 (x) = 2x + + 1, 564x2 (x − 1) − 0, 1415x3 (x − 1) Sử dụng phương pháp khử lặp Sử dụng công thức sai phân trung tâm 37 yi = yi+1 − yi yi+2 − 2yi+1 + yi ,y i = h h2 Và lấy h = 0, x = 0, 1i; i = 0, 10 thay vào phương trình điều kiện biên ta hệ phương trình sai phân yi+2 − 2yi+1 + yi yi+1 − yi + (xi − 1) − 2yi = −4xi 0, 01 0,  y − y0    4y0 − = 0, 0,    y10 = Sau rút gọn ta yi+2 + (−2, + 0, 1xi )yi+1 + (1, 08 − 0, 1xi )yi = −0, 04xi Chiều thuận Điền vào bảng số xi = 0, 1i tính giá trị mi , ki , fi với i = 0, Tiếp theo ta tính c0 , d0 theo công thức (2.16) giá trị ci , di , với i = 1, tính theo công thức (2.18) Chiều ngược Ta tính giá trị y10 , yi ; (i = 9, 8, , 1) , y0 theo công thức (2.15), (2.16), (2.17) 38 Kết trình bày bảng sau i xi mi ki fi ci di yi -0,7527 0 -2,1 1,08 -0,154 0,5747 0,1 -2,09 1,07 -0,4 -0,7784 -0,1280 0,6045 0.2 -2,08 1,06 -0,8 -0,7969 -0,1136 0,6492 0,3 -2,07 1,05 -1,2 -0,8108 0,7060 0,4 -2,06 1,04 -1,6 -0,8219 -0,1062 0,7723 0,5 -2,05 1,03 8,8456 0,6 -2,04 1,02 -2,4 -0,8386 -0,171 0,9226 0,7 -22,03 1,01 -2,8 -0,8453 -0,1272 1,0005 0,8 1,0759 0,9 1,1456 10 1,2063 -2,02 Quá trình thuận Quá trình nghịch -2 -1,07 -0,8309 -0,1099 -3,2 -0,8513 -0,1395 Nhận xét 3.2 Trong toán này, ta không tìm thấy nghiệm xác nên ta có sai khác kết ba phương pháp Lúc ta so sánh kết phương pháp mà không đánh giá sai số phương pháp Ví dụ 10 Giải toán biên sau 39 y + y = 0, ≤ x ≤ y (0) = y π π =1 Nghiệm phương trình y = cos x + sin x Lời giải Giả sử ϕ0 (x) = ax + b, ϕ0 (x) thỏa mãn điều kiện biên không     ϕ0 (0) =  π   ϕ0 ⇔ =1     b=1  π   a +b=1 ⇔    a=0    b=1 Suy ra, chọn ϕ0 (x) = 1, ϕ1 (x) = sin x cos x, ϕ2 (x) = sin2 x cos x Ta có hệ {ϕ1 (x), ϕ2 (x)} độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên sau ϕi (0) = ϕi π = 0, i = 1, Đặt: L(y) = y + y , ta tìm L(ϕ0 ), L(ϕ1 ), L(ϕ2 ) sau L(ϕ0 ) = 1; L(ϕ1 ) = −3 cos x sin x; L(ϕ2 ) = 2cos3 x − 6sin2 x cos x Sử dụng phương pháp Gralerkin Ta có b (f (x) − L(ϕ0 )) ϕi (x)dx; bi = a 40 π b −1 a π b −1 b2 = bi = (f (x) − L(ϕ0 )) ϕ2 (x)dx = −sin2 x cos xdx = a b1 = bi = (f (x) − L(ϕ0 )) ϕ1 (x)dx = − sin x cos xdx = Ta tính aik b aik = L(ϕk )ϕi (x)dx; a b a11 = i, k = 1, 2; π (−3 cos x sin x) sin x cos xdx = L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx = a b a12 = −3 π; 16 L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx a π 2cos3 x − 6sin2 x cos x sin x cos xdx = = b a21 = π L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx = a b −2 , (−3 cos x sin x) sin2 x cos xdx = −2 , L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx a22 = a π = 2cos3 x − 6sin2 x cos x sin2 x cos xdx = −π Ta có hệ     −1 −3π     c1 ≈ 0, 8836 c1 − c2 = 16 ⇔   −2 π −1     c2 ≈ −0, 0512 c1 − c2 = Vậy nghiệm xấp xỉ toán y (x) = + 0, 8836 sin x cos x − 0, 0512sin2 x cos x Sử dụng phương pháp Collocation Đặt R (x, c1 , c2 ) = + c1 (−3 cos x sin x) + c2 2cos3 x − 6sin2 x cos x 41 Cho x1 = 0, x2 = π ta xét hệ     R (x1 , c1 , c2 ) =    R (x2 , c1 , c2 ) = tức       −1   c1 ≈ 1, 5396 c2 = √ ⇔   3   −  c2 = − c1 − 2c2 + = Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình y (x) = + 1, 5396 sin x cos x − 12 sin2 x cos x Nhận xét 3.3 Ở ví dụ này, ta thấy giải toán hai phương pháp cho ta nghiệm sai khác nghiệm xác phương trình Do đó, để đánh giá mức độ xác phương pháp ta lập bảng đánh giá sai số 42 Bảng đánh giá sai số i xi y (xi ) y ∗ (xi ) y ◦ (xi ) 0 1 1 π 200 1, 0156 1, 0139 1, 0240 π 100 1, 0277 1, 0478 1, 0459 1, 0415 1, 0713 1, 0608 1, 0553 1, 0945 1, 0754 1, 0691 1, 1173 1, 0897 1, 0827 1, 1398 1, 1037 1, 0964 1, 1619 1, 1174 1, 1099 1, 1836 1, 1309 1, 1232 1, 2049 1, 1441 1, 1352 1, 2257 10 3π 200 π 50 π 40 3π 100 7π 200 π 25 9π 200 π 20 1, 0301 Trong yi (x) nghiệm xác phương trình giá trị x; yi∗ (x)là nghiệm xấp xỉ giải phương pháp Gralerkin giá trị x; 43 yi◦ (x) nghiệm xấp xỉ giải phương pháp Collocation giá trị x Như để tăng độ xác nghiệm xấp xỉ tìm ta tăng số phần tử hệ tuyến tính Tùy theo toán mà ta chọn ba phương pháp cho bước ngắn gọn, đơn giản phù hợp 3.2 Bài tập áp dụng Giải toán biên sau y − sin x.y − = 0, ≤ x ≤ 1;    y(0) =    y(1) = 2x 2 y = − y + y + − log(1 + x2 ), ≤ x ≤ 1; 2 + x + x     y(0) =    y (1) + y(1) = + log(2) −2 y, ≤ x ≤ 2; y = x y(1) = , y(2) = y + xy − 2y = ex + x + 1, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = y(1) = y − x4 y + 2x3 y = x9 + 5x6 + 3, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = 0, y(1) = 44 y − y sin x + y cos x = sin 2x − cos 3x + cos x, (−π ≤ x ≤ π) ; y(−π) = y(π) = y − y cos x + y sin x = cos 2x, (−π ≤ x ≤ π) ; y(−π) = y(π) = 2 y + x2 y − xy = ex , (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = y(1) = y + y − y x = x4 + x2 − 3x + 1, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = 0, y(1) = 10 y + y + x = x2 − 1, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = 1, y(1) = 11 y + (x + 1)y + y = 3x, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = 1, y(1) = 12 y + (x + 1)y + y = 2x, (0 ≤ x ≤ 1) ; y(0) = 1, y(1) = 13.y − 2xy − 2y = −4x2 − 2x + 1, (0 ≤ x ≤ 1) ;    y(0) − y (0) =    2y(1) − y (1) = 14.y + y + x = (0 ≤ x ≤ 1)    y(0) =    y(1) + y (1) = 15 y + x2 y = (0 ≤ x ≤ 1) 45 y(0) = 0, y(1) = 46 Kết luận Khóa luận “ Một số phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai” trình bày vấn đề sau: + Trình bày số kiến thức lý thuyết sai số sai phân, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, phương trình vi phân thường, toán biên phương trình vi phân thường + Trình bày ba phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương pháp Galerkin, phương pháp Collocation, phương pháp khử lặp + Giải số toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nhiều cách đưa số tập áp dụng 47 Tài liệu tham khảo A Tài liệu Tiếng Việt Phạm Kỳ Anh, (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Hoàng Tụy,( 2013), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh Endre Suli,( 2014), Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, University of Oxford T.S.L Radhika, T.K.V Lyengar, T Raja Rani, Approximate analytical methods for solving ordinary differential equations,Taylor and Francis Group 48 ... phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai iii Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sở lý thuyết phương pháp giải gần toán biên. .. A toán tử tuyến tính xác định dương A toán tử tuyến tính dương 1.4 Phương trình vi phân thường toán biên phương trình vi phân 1.4.1 Một số khái niệm phương trình vi phân Phương trình vi phân phương. .. thuyết phương pháp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện thời gian có hạn, em nghiên cứu số tập toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương