Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng phương trình vi phân cấp hai tuyến tính
1Gv TRẦN XUÂN THIỆNToán cao cấp 2Ngày 03/11/2008 Kiểm tra bài cũ !"#$%&'(()*'(+,'-. Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)Nghiệm của phương trình đặc trưngr2 + pr + q = 0 (11.31)Nghiệm của phương trình (11.30)!/0!1 230!/4!1!/-!1-!!/0!1-5670507 23/ 1!/ 18x r xy C C e= +!/ 18 9 :xy C C x= +/ 19 3; # # :xy e C x C xαβ β= + Kiểm tra bài cũ !"#$%&'(()*'(+,'-.Giải : !"<=3 !&!1>*!+,-.9?: !"9?:3@AB&C'AB DE%F GHI&JJrr==J JJ J8x xy C C e= +JJ JJ JJ J Jb ac∆ = − = − = > !"KL3M$ %'N O3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n. 3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.PTVTC2 có dạng y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x) AB!P3Q$ !"9//R1:3@ST&-85URV9U:9//R:KWV9U:HI<$ G3XC3F3A#YV9U:<Z3UF3<[X\3F3HM'<T;IB3F33M3Q$ $'KI; !"<]3;!^3LX\3F3A#Y3Q$3F3H_' `$3aXb3Q$URAB!P3Q$ !"9//R1:3@ST&-UR85URV9U:AB!P3Q$ !"9//R1:3@ST&-U1R85URV9U:51+5+E4.J E JJ Jα αα+ + =+ =J E JJ Jα αα+ + =+ ≠ OSc•3F3 !"#$%&/R'((+'()1'-/>U1R'(()d'(+'-8U9U+1:R'(()1'+'-UR8U 1.Giải phương trình :y’’ + y’-2y = 1 – x•Giải : N3@ST&e9U:-8.UR/9U:05-.0/9U:-/)U !"<=3 !&!1+!>1-.!-/f!-)1AB DE%F 3Q$ !"'((+'()1'-.HI&'-/8U+18)1U"5-.ghHIAB !"<=3 !KC'AB!P3@ST&-8.UR/9U:-/9U:'-U+90HI\#Y:(-0((-.R$'KI; !"<]3; $<Z3&((+(>1->19U+:-)1U+>1-/)Ui^M A#Y $<Z3&C'&JJ JJJ Jx xxy C e C e−= + + −JJ JJJ J JJAAA BB=− =−⇔ − ==− 2.Giải phương trình : y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) •Giải : N3@ST&85UR/9U:0 !;<@5-/&/9U:HI<$ G3XC3Bb R !"<=3 !&!1)d!+-.!-/KI!-RAB DE%F 3Q$ !" %jM &'((>d'(+'-.HI&'-/8U+18U"5-/HIAB3Q$ !"<=3 !0 $ "BAB!P3Q$ !"<]3;SWST&-8URUR9U+:-8UR9U1+U:k;<@&(-8UR9U1+U:+8UR91U+:-8UlU1+9+1:U+m((-8UlU1+9+1:U+m+8Ul1U1+9+1:m-8UlU1+9+d:U+1+1mNKI; !"<]3;&8Ul)dU+1>1m-8U9U+1:C'&AB DE%F "BHI&JJJJAB= −⇒= −JJxxY e x+ = − JJJ JJJx x xx xy C e C e e+= + − 3.Giải phương trình : y’’ -2y + y = x.ex •Giải : N3@ST&85UR/9U:0 !;<@5-/0/9U:-UHI<$ G3XC3Bb R !"<=3 !&!1)1!+/-.!-/AB DE%F 3Q$ !" %jM &'((>1'(+'-.HI&'-8U9/+1U:"5-/HIABgn3Q$ !"<=3 !0 $ "BAB!P3Q$ !"<]3;SWST&-8URU1R9U+:-8UR9U+U1:k;<@&(-8UR9U+U1:+8UR9U1+1U:-8UlU+9+:U1+1Um((-8UlU+9+:U1+1Um+8UlU1+19+:U+1m-8UlU+9+,:U1+191+:U+1mNKI; $<3 !"&8Ul,U+1m-8UUAB DE%F "BHI&JJJAB=⇒=JJ JJ9 :Jx xy e C C x e x= + + [...]... + + + OSc& • 3F3 !"#$%& /R'(()'(+1'-1#U 1R'((+'-UR3;#U !"KL3M$ %'N O 3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng thuần nhất với hệ số khơng đổi. 3.4.1. f(x) = e αx.P n(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. 3.4.2. f(x) = P m(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn (x) là... $<Z3&9>:3;#U+9+:#U-1#U AB3Q$ !"<]3;HI& J J J J A B = ⇒ = J J J J J 3;# #U J J x x y Ce C e x = + + + Kiểm tra bài cũ !"#$%& '(()*'(+,'-. Bảng tóm tắt về dạng của nghiệm riêng của phương trình (11.32) theo dạng của vế phải của nó Dạng của vế phải f(x) Dạng của nghiệm riêng Y e αx .P n (x) $: 8 5U RV 9U:N%5ghHIAB... f ) !"& {S#;HK89vkw0'9 ::f 1 1 & 9 : d 9 : 9 : .ODE y t y t y t t t ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 99 1 : : 9 9 1 : : 9 : } / } 1 t t y t C e C − + − + = + 3.Giải phương trình : y’’ -2y + y = x.e x • Giải : N3@ST&8 5U R / 9U:0 !;<@5-/0 / 9U:-UHI<$ G3XC3Bb R !"<=3 !&! 1 )1!+/-.!-/ AB... $:V / 9U:3;#7U+ / 9U:#7U0H-B$U9B0:RN%67 ghHIAB !"<=3 !9//R/:R X:UlV / 9U:3;#7U+ / 9U:#7Um0H-B$U9B0:RN% 67ghHIAB !"<=3 ! 9//R/:R Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : y’’ + y = x.cosx • Giải : !"<=3 !&! 1 +/-.!-6AB DE%F 3Q$ !" %jM GHI&'- / 3;#U + 1 #U N3Q$... !"<]3;SWST& -8 U RU 1 R9U+:-8 U R9U +U 1 : k;<@& (-8 U R9U +U 1 :+8 U R9U 1 +1U:-8 U lU +9+:U 1 +1Um ((-8 U lU +9+:U 1 +1Um+8 U lU 1 +19+:U+1m -8 U lU +9+,:U 1 +191+:U+1m NKI; $<3 !"&8 U l,U+1m-8 U U AB DE%F "BHI& J J J A B = ⇒ = J J J J 9 : J x x y e C C x e x= + + Ví dụ 1: Giải phương trình : y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx !"<=3 !&! 1 )!+1-.!-/0!-1 AB DE%F 3Q$ !"HI&'(()'(+1'-.HI& '- / 8 U + 1 8 1U . > !"KL3M$ %'N O3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x). trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)Nghiệm của phương trình đặc trưngr2 + pr + q = 0 (11.31)Nghiệm của phương trình (11.30)!/0!1 230!/4!1!/-!1-!!/0!1-5670507