Bài giảng: Phương trình vi phân ppt

Mục lục: Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ.. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li..  Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ.. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm

- GVHD : Lê Ngọc Cường

- Lớp HP : 1016FMAT0211

Mục lục:

 Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ.

• Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li.

• Phương trình vi phân có dạng y’= f(x).

• Phương trình đẳng cấp cấp 1.

• Phương trình tuyến tính cấp 1.

• Phương trình Bernoulli.

 Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ.

• Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được.

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số

hằng.

 Ứng dụng của phương trình vi phân.

• Mô hình ô nhiễm môi trường.

Các khái niệm cơ bản:

giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo hàm của hàm số đó.

hàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó.

-Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụ thuộc y là trong đó không được

khuyết

Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là

nghiệm của PTVP đó.

2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm :

- Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miền

mở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn

yo=y(xo) Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất

vd:



 xdx  ydy  c  x  y  c

2 2

2 2

c y

2 ( x  y dx  xdy 

vd: gpt

) 0 :

( 2



 dy dx x y ĐK x

' '

x y u xu u

c x

b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp

bY

aX f

dX dY

Ví dụ: GPT

Ta có: Đặt: Khi đó ta có: (*) Đặt:

) ( )

( ' P x y Q x

y  

0 )

( x 

Q y '  P ( x ) y  0

0 )

Cách giải:

Bước 1 : giải pt thuần nhất:

( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho)

( ' P x y 

y

) ( )

( ' P x y Q x

y  

] ).

( )

(x Q x e ( ) dxc

D P x dx





y x

Q y

x P

#



+

+, +,

Đặt



y

) ( )

y

y x

P y

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

1.Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng:

0 )

"

,' ,

, ( x y y y 

F hay y  " f ( x , y , y ' )

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2

là hàm y   ( x , c1, c2)

Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp 2: y  " f ( x , y , y ' )

y

a x

y

) (

'

) (

" f x

y 

3 Phương trình dạng:

b- Cách giải: z ( y )  y '

z

z dy

dz z

dx

dy dy

dz dx

(

" f y y

y 

Vd: giải pt: y y "  y '2  0

' )

(1)

(1)

) 0 ,

0 :

dy

z c

ln  1 

4.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :

) ( '

" ay by f x

y    a, b các hằng số Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là

a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ

Phương trình 2  a b 0 được gọi là

phương trình đặc trưng của phương trình (*)

0 '

"  ay  by 

y

c x

2 1

)





Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt

Nghiệm tổng quát của ptrinh (*) là:

 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 1  2

Nghiệm tổng quát của p trình (*) là: y(x) (c1 c2x)e 1x



Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:

)cos

sin(

)

b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y "  ay '  by  f ( x )

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Với y "  ay '  by  0

) (

) (

x y

x y

) (

ˆ )

( )

) (



) (

x y k

) (

y  x 

) (

ˆ x

y

(1)

Trường hợp

] cos

).

( )(sin

( [

)

x x

K x

x H

e x

y ˆ ( )  x[ l ( ) sin   l ( ) cos  ]

] cos

) ( sin

) ( [

)

max{ n m

l 

VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

x y

y "  4  cos 2

Bước 1: Tìm y (x )

0 4

i

k1  2 , 2   2

Bước 2: Tìm y ˆ x ( )

)2sin

02

cos

1()

) 2 sin 2

cos (

) ( x e c1 x c2 x



) 0 ,

0 ,

2 ,

0 (     m  n 

Phương trình đặc trưng có nghiệm

phức là:

Ta có:   i    2 i là nghiệm của phương trình

) 2 sin 2

cos (

) (

ˆ )

( )

( x y x y x

đặc trưng nên

x x

x c

x

4

1 )

2 sin 2

cos



) ( )

( )

( '

) ( '' a x y b x y f1 x f2 x

( '

) (

" a x y b x y f1 x

Với

là nghiệm riêng của phương trình:

Là nghiệm của phương trình

) ( )

( '

) (

) ( ˆ

2

1

x y

x y

Phần 3:ứng dụng của phương trình vi

phân

Mô hình ô nhiễm môi trường

• Gọi y là hàm lượng Hàm lượng tăng theo quy

x: lượng mà nhà máy thải ra vào khí quyển

luật: (1) : tham số biểu diễn tỉ phần C hấp thụ bởi MTTN

•Giả sử thải ra khí quyển tăng theo quy luật:

(2) (a,b , β: hằng số dương)

β: biểu diễn tỉ phần bị hạn chế bớt do hoạt động chống ô

nhiễm của các quốc gia

Mô hình này là 1 hệ 2 PTVP cấp 1, ta có biểu diễn

chúng dưới dạng PTVP cấp 2.

Đạo hàm 2 vế phương trình (1) ta có:

(3)

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

yˆ

 )

(t

y