Bài giảng Phương trình vi phân

Khi giải các phương trình vi phân hoặc tìm các tính chất của nghiệm phương trình vi phân làm cho người học, nhất là sinh viên ngành toán học, có cái nhìn chặt chẽ về đường cong, về tích [r]

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản

Mục lục

Mở đầu v

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1.1 Các khái niệm mở đầu

1.1.1 Các định nghĩa khái niệm

1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp

1.1.3 Bài tốn Cauchy ý nghĩa hình học

1.2 Sự tồn nghiệm toán Cauchy

1.3 Các loại nghiệm phương trình vi phân

1.3.1 Nghiệm tổng quát

1.3.2 Nghiệm riêng

1.3.3 Nghiệm kỳ dị

1.4 Phương trình biến số phân ly

1.4.1 Phương trình biến số phân ly

1.4.2 Phương trình chuyển biến số phân ly

1.5 Phương trình 11

1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 14

1.6.1 Phương pháp biến thiên số Lagrange 14

1.6.2 Phương pháp Bernoulli 16

1.6.3 Phương pháp thừa số tích phân 17

1.7 Phương trình vi phân Bernoulli 18

ii

1.8 Phương trình vi phân Dacbu 20

1.9 Phương trình vi phân Ricati 21

1.10 Phương trình vi phân toàn phần 23

1.11 Thừa số tích phân 24

2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM 28 2.1 Các phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm dạng đặc biệt 28

2.1.1 Phương trình dạng dy dx fipx, yq 28

2.1.2 Phương trình dạngFpx, y1q 29

2.1.3 Phương trình khơng chứa biến số độc lập 31

2.2 Phương trình Lagrange phương trình Clero 32

2.2.1 Phương trình Lagrange 32

2.2.2 Phương trình Clero 33

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 36 3.1 Các khái niệm mở đầu 36

3.2 Định lý tồn nghiệm 37

3.2.1 Định lý tồn nghiệm 38

3.2.2 Các loại nghiệm phương trình vi phân cấpn 38

3.3 Tích phân trung gian- tích phân đầu 40

3.4 Phương trình vi phân cấp cao giải cầu phương 40

3.4.1 Phương trình chứa biến số độc lập đạo hàm cấp cao 40

3.4.2 Phương trình chứa đạo hàm cấpnvà cấppn1q 42

3.5 Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp 44

3.5.1 Phương trình khơng chứa hàm phải tìm đạo hàm đến cấpk 44

iii

4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n 48

4.1 Định nghĩa tính chất 48

4.2 Lý thuyết tổng qt phương trình tuyến tính cấpn 49

4.3 Phương trình tuyến tính không cấpn 53

4.3.1 Nghiệm tổng quát 53

4.3.2 Phương pháp biến thiên số Lagrange 54

5 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤPn DẠNG ĐẶC BIỆT 59 5.1 Phương trình tuyến tính với hệ số 59

5.1.1 Phương trình đặc trưng cónnghiệm thực khác 60

5.1.2 Phương trình đặc trưng cónnghiệm khác có nghiệm phức 61

5.1.3 Phương trình đặc trưng có nghiệm bội 62

5.1.4 Phương trình tuyến tính khơng với hệ số 62

5.2 Phương trình tuyến tính cấp haiy2 ppxqy1 qpxqy0 67

5.2.1 Đưa phương trình dạng không chứa đạo hàm cấp 67

5.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai tự liên hợp 68

5.3 Sự giao động nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai 70

6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 75 6.1 Các khái niệm mở đầu 75

6.1.1 Hệ phương trình- nghiệm hệ phương trình 75

6.1.2 Ý nghĩa học 76

6.2 Mối quan hệ phương trình vi phân cấpnvà hệnphương trình vi phân cấp 78

6.2.1 Chuyển PTVP cấpnvề hệnphương trình vi phân cấp 78

6.2.2 Chuyển hệnphương trình vi phân cấp PTVP cấpn 78

6.3 Định lý tồn nghiệm 79

6.4 Các loại nghiệm hệ phương trình vi phân 80

6.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng 82

6.7 Một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân 83

6.7.1 Phương pháp khử 83

6.7.2 Phương pháp toán tử 85

6.7.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 86

Mở đầu

Phương trình vi phân toán xuất phát từ học, vật lý, sinh học Trong trình nghiên cứu sinh phương trình mà nghiệm hàm cần tìm với đạo hàm cấp hàm số Việc tìm hàm số giải phương trình vi phân Khi giải phương trình vi phân tìm tính chất nghiệm phương trình vi phân làm cho người học, sinh viên ngành tốn học, có nhìn chặt chẽ đường cong, tích phân tốn tiếp tuyến học học phần trước

Sau học mơn Phương trình vi phân, người học trang bị kiến thức để tiếp cận mơn học bậc học phương trình đạo hàm riêng, tốn cho vật lý, phương trình tốn lý

Đối với chương trình Cao đẳng sư phạm Tốn, học phần Phương trình vi phân có thời lượng tín tương ứng với 30 tiết Học phần chủ yếu giới thiệu cho người học đại cương Phương trình vi phân, cách giải số phương trình vi phân dạng đặc biệt, sơ lược hệ phương trình vi phân

Chúng tơi viết giảng phương trình vi phân sở tham khảo tài liệu tham khảo, xếp cách hệ thống nhằm mục đích tạo cho người học tiếp cận môn học dễ

dàng Không giống ngành kỹ thuật, chúng tơi quan tâm nhiều đến yếu tố " tính chất toán học" học phần

Bài giảng chia thành chương: Chương 1: Phương trình vi phân cấp

Chương 2: Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm Chương 3: Phương trình vi phân cấp cao

Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Chương 5: Một số phương trình tuyến tính cấp n dạng đặc biệt

Chương 6: Hệ phương trình vi phân

Vì thời lượng tín nên giảng khơng thể sâu số vấn đề Người học tham khảo thêm [1] Cuối chương, chúng tơi có soạn thêm số tập Người học làm thêm tập thuộc học phần [2]

Lần biên soạn nên khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý chân thành bạn đọc Chân thành cảm ơn

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1.1 Các khái niệm mở đầu

Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm biến độc lập Phương trình vi phân đời vào kỷ 17 từ nhu cầu tốn học Phương trình vi phân đời đồng thời với phép tính tích phân Đến kỷ 18, phương trình vi phân trở thành ngành tốn học độc lập nhờ vào cơng trình Bernoulli, D’Alembert Euler Sau số ví dụ dẫn đến phương trình vi phân

Ví dụ 1.1 Một vật có khối lượng m rơi tự với lực cản

khơng khí tỉ lệ với vận tốc rơi

Gọi vptq vận tốc rơi vật, có hai lực tác động lên vật

là trọng lực F1 mg chiều với chuyển động vật lực

cản khơng khí F2 αvptq Theo định luật hai Newton

a dv

dt, F F1 F2 mgαv Ñ m dv

dt mg αv

Trong phương trình có hàm cần tìm vptq đạo hàm Đây phương trình vi phân

Ví dụ 1.2 Một kim loại nung đến 1000C đặt

một mơi trường có nhiệt độ khơng đổi 200C Tìm quy luật thay đổi nhiệt độ kim loại

Gọi Tptq nhiệt độ kim loại thời điểm t Theo quy

luật Newton giảm nhiệt vật tốc độ giảm nhiệt dT

dt tỉ lệ

với hiệu nhiệt độ vật thể nhiệt độ môi trường thời điểm Tptq 20 Cho nên

dT

dt k Tptq 20

, k ¡

1.1.1 Các định nghĩa khái niệm

Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình chứa đạo hàm vi phân

của một vài hàm cần tìm gọi phương trình vi

phân Nếu phương trình chứa đạo hàm biến độc

lập gọi phương trình vi phân thường,

phương trình có chưa đạo hàm riêng gọi phương

Định nghĩa 1.1.2 Cấp cao đạo hàm có phương trình gọi cấp phương trình vi phân

Ví dụ 1.3 Các phương trình sau phương trình vi phân thường

a dy

dx 2x

b py2q2 2y1 y ex

Ví dụ 1.4 Các phương trình sau phương trình đạo hàm riêng a Bf

Bx x Bf By

b B 2f

Bx2 x

B2f

B2y Ví dụ 1.5 Các phương trình vi phân sau

d2y dx2

dy dx

3

y 0;xy5dy dx 3y

2 1 0

là phương trình vi phân cấp cấp tương ứng

1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp

Định nghĩa 1.1.3 Phương trình vi phân cấp phương

trình có dạng

Fpx, y, y1q (1.1)

trong F hàm xác định miền D € R3

Nếu từ phương trình 1.1 ta suy

y1 fpx, yq

thì ta nói phương trình 1.1 phương trình cấp giải với đạo hàm

Định nghĩa 1.1.4 Hàm y ϕpxq xác định khả vi khoảng pa;bq gọi nghiệm phương trình vi phân

• px, ϕpxq, ϕ1pxqq P D với x P pa;bq

• Fpx, ϕpxq, ϕ1pxqq pa;bq

1.1.3 Bài toán Cauchy ý nghĩa hình học

Tập hợp nghiệm phương trình vi phân cấp phụ thuộc

vào số c Trong thực tế người ta thường tìm nghiệm

của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện Chẳng hạn người ta tìm nghiệm phương trình vi phân cho đường cong tích phân qua điểm px0, y0q cho trước Bài toán

gọi tốn Cauchy

Định nghĩa 1.1.5 Bài tốn tìm nghiệm phương trình vi

phân 1.1 cho thỏa mãn điều kiện ban đầu fpx0q y0

gọi toán Cauchy

Nhận xét Ta xét phương trình vi phân cấp giải

đạo hàm Khi nghiệm phương trình vi phân cấp

cho đường cong G gọi đường cong tích

phân

1.2 Sự tồn nghiệm toán Cauchy

Xét phương trình vi phân cấp giải đạo hàm

y1 fpx, yq (2.1)

trong f xác định miền G € R2 Khi định lý

Cauchy- Picar điều kiện tồn nghiệm toán Cauchy

Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện:

• f liên tục G;

• f thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo biến y G

Khi với điểm px0, y0q P G tồn nghiệm

của phương trình 2.1 thỏa mãn điều kiện ban đầu ypx0q y0

Hệ 1.2.2 Giả sử hàm f liên tục với đạo hàm riêng Bf

By

trong miền G Khi qua điểm px0, y0q tốn Cauchy

có nghiệm

1.3 Các loại nghiệm phương trình vi phân

1.3.1 Nghiệm tổng quát

Ta nói hàmy ϕpx, Cqlà nghiệmtổng quát phương

trình vi phân 2.1

• Từ hệ thức

y0 ϕpx0, Cq ta tìm C

• Với C ta nghiệm phương trình 2.1

Ví dụ 1.6 Xét phương trình

dy dx

y x

khi y Cx với x nghiệm tổng quát phương trình

trong miền

G $ ' & ' %

0   x   8   y  

Ví dụ 1.7 Xét phương trình

y1 x y

khi nửa mặt phẳng nghiệm tổng quát phương trình

và nửa mặt phẳng

y ?C x2.

1.3.2 Nghiệm riêng

Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm phương trình

y1 fpx, yq

mà điểm tính nghiệm tốn

Cauchy đảm bảo gọi nghiệm riêng

Nhận xét: Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với giá trị

C xác định gọi nghiệm riêng

Ví dụ 1.8 Phương trình vi phân

y1 a1y2

có nghiệm tổng quát y sinpx Cq y sinpxq

nghiệm riêng

Ví dụ 1.9 Phương trình

y1 x y

có nghiệm tổng quát x2 y2 C x2 y2 nghiệm

riêng

1.3.3 Nghiệm kỳ dị

Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm phương trình y1 fpx, yq mà

tại điểm tính tốn Cauchy bị phá

vỡ gọi nghiệm kỳ dị

Nhận xét Nghiệm kỳ dị không suy từ nghiệm tổng quát

với giá trị C cụ thể Ví dụ 1.10 Phương trình vi phân

y1 a1y2

nhận y nghiệm kỳ dị

1.4 Phương trình biến số phân ly

1.4.1 Phương trình biến số phân ly

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình vi phân với biến số phân ly

phương trình có dạng

fpxqdx gpyqdy (4.1)

trong fpxq, gpyq hàm liên tục theo biến x, y tương ứng

Cách giải: Lấy tích phân ta nghiệm tổng quát

»

fpxqdx »

Ví dụ 1.11 Giải phương trình

xdx x2 1

ydy

y2 1 Đáp án: p1 x2qp1 y2q C

Ví dụ 1.12 Giải phương trình

y1 xypx 2q

Đáp án: y y nghiệm kỳ dị; | y

y 2| Cx

2 với

C ¡ nghiệm tổng quát

1.4.2 Phương trình chuyển biến số phân ly

Phương trình vi phân

f1pxqg1pyqdx f2pxqg2pyqdy

có thể chuyển phương trình với biến số phân ly cách

• Xét g1pyq có nghiệm phương trình khơng?

• Xét f2pxq có nghiệm phương trình khơng?

• Chia hai vế phương trình chog1pyq.f1pxq tích phân hai vế

»

f1pxq

f2pxq

dx »

g2pyq

g1pyq

dy C

Ví dụ 1.13 Giải phương trình vi phân

xp1 y2qdx yp1 x2qdy

Vì p1 x2qp1 y2q nên chia hai vế phương trình cho

p1 x2qp1 y2q ta

x

1 x2dx

y

1 y2dy

Lấy nguyên hàm hai vế phương trình ta

p1 x2qp1 y2q c2 c

Ví dụ 1.14 Giải phương trình

xa1y2dx y?1x2dy 0.

Đáp án: x y nghiệm kỳ dị Nghiệm tổng

quát phương trình

?

1x2 a1 y2 C.

Phương trình y1 fpax by cq chuyển phương trình

biến số phân ly cách đặt

z ax by c

Khi z1 a by1

Ví dụ 1.15 Giải phương trình

y1 cospxy 1q

Đáp án: Nghiệm phương trình có dạng y x1 2kπ, k P Z

1.5 Phương trình

Trước hết, ta định nghĩa hàm đẳng cấp bậc k

Định nghĩa 1.5.1 Hàm hai biến z fpx, yq gọi hàm

đẳng cấp bậc k với t ¡

fptx, tyq tkfpx, yq

Ví dụ 1.16 Các hàm x 2y

x y ;

x2 xy x y ;x

2 3xy là hàm đẳng

cấp bậc 0, 1, tương ứng

Định nghĩa 1.5.2 Phương trình vi phân

Ppx, yqdx Qpx, yqdy

được gọi phương trình (đẳng cấp) nếuPpx, yq, Qpx, yq

là hàm đẳng cấp bậc

Nhận xét Phương trình

y1 fpx, yq

là phương trình đẳng cấp fpx, yq hàm đẳng cấp bậc

Cách giải phương trình vi phân nhất:

Đặt y zx y1 z xz1 chuyển phương trình phương

trình biến số phân ly với hàm cần tìm z Ví dụ 1.17 Giải phương trình

y1 y

x cos y x

Giải : Đặt y zx Ñ y1 z xz1 thay vào phương trình ta dz cosz dx x

Lấy nguyên hàm hai vế ta

tan

2z π

4 cx

Cho nên nghiệm phương trình

y xp2 arctanpcxq π

2 k2πq

Nếu cosz z π

2 kπ y

π

2 kπ nghiệm

của phương trình

Ví dụ 1.18 Giải phương trình

y1 x

2 xy y2

xy

Giải: Đặt y zx phương trình viết lại

p1zqdx xzdz

Đây phương trình biến số phân ly

Nghiệm tổng quát phương trình xpz1qez C nghiệm

kỳ dị z

Ví dụ 1.19 Giải phương trình

dy dx

y ax2 y2

x

Đáp án: y x nghiệm kỳ dị

y