Bài giảng: Phương trình vi phân pdf

- 1 - Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) Dành cho sinh viên : Khoa Hóa Hệ : Sư phạm Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan - 2 - Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. - Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường. - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng. - Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó. - Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy. Trong học phần này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gọi là PTVP). Ví dụ: 1 ' 0y y x   là PTVP cấp một, '' cosy x là PTVP cấp hai. 0 u u x y x y       là phương trình đạo hàm riêng cấp một. 2 2 2 2 0 u u x y       là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. 1.1 Định nghĩa: PTVP cấp một có dạng:   , , ' 0F x y y  (1) Nếu giải được đối với 'y thì PTVP cấp một có dạng   ' ,y f x y hay   , dy f x y dx  (2) (dạng chuẩn) hoặc     , , 0P x y dx Q x y dy  (3) ( dạng vi phân) Ví dụ:   2 2 ' 2 , cos , 0 x dy y y e x xydx x y dy x dx      là các PTVP cấp một. 1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ấy. - Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý.   , ,y x C C const    . Ví dụ hàm 2 ,y Cx C const  là nghiệm tổng quát của PT ' 2 y y x . Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đường tích phân. - Nghiệm riêng của PTVP cấp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn hằng số phù hợp. Chú ý: - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh - 3 -   , ,y x C C const    mà được một hệ thức dạng   , , 0,x y C C const   nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn. Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát. Hệ thức   0 , , 0x y C  được gọi là tích phân riêng. - PTVP có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát đó là những nghiệm kỳ dị. 1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng   ' ,y f x y cùng với điều kiện   0 0 y x y lập nên bài toán Cauchy (bài toán đầu) của PTVP cấp một. Điều kiện   0 0 y x y với 0 0 ,x y là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện đầu. Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu   1 2y  của phương trình ' 2 y y x . 1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy: Xét phương trình   ' ,y f x y Định lý: Nếu các hàm   ,f x y và f y   liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm   0 0 ,x y thì tồn tại một lân cận của điểm 0 x sao cho PTVP   ' ,y f x y có một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện   0 0 y x y , nghĩa là bài toán Cauchy   0 0 y x y của PTVP   ' ,y f x y có một nghiệm duy nhất. §2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP MỘT 2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến) 1. Phương trình dạng:     A x dx B y dy (1) trong đó   A x là hàm số liên tục của biến x,   B y là hàm số liên tục của biến y được gọi là phương trình tách biến. Để giải (1) ta chỉ cần tích phân hai vế. Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân:     2 3 2 * dy x y dx   b) Tìm nghiệm bài toán Cauchy   0 0y  của (*) . Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệ với khối lượng   M t tại thời điểm đang xét. Ta có thể viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách giải phương trình dM kM dt   . 2. Phương trình dạng:   'y f ax by c   (2) được đưa về (1) bằng cách   ,z ax by c z z x    . - 4 - 2.2 Phương trình đẳng cấp và gần đẳng cấp: 2.2.1 Phương trình đẳng cấp: Phương trình dạng: ' , 0 y y f x x         (3) có thể đưa (3) về phương trình tách biến bằng cách đặt , 0 y u x x   ,   u u x , ' du y ux y x u dx     . Thay vào (3) ta được   du x f u u dx   (4). - Nếu   0f u u  thì         4 ln ln , 0 dx du du x u C C x f u u f u u              , 0 u x Ce C     . Thay , 0 y u x x   ta được tích phân tổng quát của (1) là , 0 y x x Ce C          . - Nếu   f u u tại 0 u u thì có thể kiểm tra hàm 0 y u x cũng là nghiệm của (3). Đó là một nghiệm riêng. - Nếu   f u u thì (3) có dạng dy y dx x  là phương trình tách biến. Nghiệm tổng quát của nó là ,y Cx C const  . Ví dụ: Giải các phương trình: a) ' x y y x y    b) 2 2 2 ' y xy y x   . 2.2.2 Phương trình gần đẳng cấp: Phương trình dạng: 1 1 1 ' ax by c y f a x b y c            (5) trong đó 1 1 1 , , , , ,a b c a b c là các hằng số. - Nếu 1 0c c  thì (5) là phương trình đẳng cấp. - Nếu ít nhất một trong các hằng số c hoặc 1 c khác 0 thì a) Nếu 1 1 1 1 0 a b ab a b a b    thì (5) có thể đưa về phương trình đẳng cấp bằng cách đặt: x X y Y          , trong đó ,   là nghiệm của hệ 1 1 1 0 0 ax by c a x b y c          . Khi đó 1 1 (5) dY aX bY f dX a X bY           là phương trình đẳng cấp. - 5 - b) Nếu 1 1 1 1 1 1 0 , a b a b a a b b a b a b           thì     1 5 dy ax by c f dx ax by c              . đặt   ,z ax by z z x   thì ta được phương trình tách biến. Ví dụ: Giải phương trình:     2 1 2 0x y dx x dy     . 2.3 Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân: 2.3.1 Phương trình vi phân toàn phần: Phương trình dạng:     , , 0P x y dx Q x y dy  (6) trong đó     , , ,P P x y Q Q x y  là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở, đơn liên 2 D  R và thỏa mãn điều kiện   , , P Q x y D y x        thì (6) được gọi là PTVP toàn phần. Khi đó sẽ tồn tại hàm   ,U x y D sao cho: , U U P Q x y       và Pdx Qdy dU  . và   (1), 0dU x y  . Vậy   , ,U x y C C const  là tích phân tổng quát của (6) . Cách giải: Giả sử   0 0 ,x y D           0 0 0 0 0 0 , , , , , y y x x x y y x U x y P x y dx Q x y dy Q x y dy P x y dx         . Ví dụ: Giải phương trình:     2 2 2 3 3 6 6 4 0x xy dx x y y dy    . 2.3.3 Thừa số tích phân: Xét PTVP     , , 0P x y dx Q x y dy  (6). Nếu P Q y x      thì (6) không phải là PTVP toàn phần. Tuy nhiên có thể tìm được hàm   , 0x y     sao cho phương trình 0Pdx Qdy     (7) là PTVP toàn phần. Hàm   ,x y    được gọi là thừa số tích phân của (6). Khi đó nếu   , ,U x y C C const  là tích phân tổng quát của (7) cũng đồng thời là tích phân tổng quát của (6). - 6 - Cách tìm thừa số tích phân: Vì (7) là PTVP toàn phần nên:     P Q P Q P Q y x y y x x                        a) Nếu   x    và   1 1 P Q F x Q y x             chỉ phụ thuộc vào x thì có thể tìm được thừa số tích phân   1 F x dx e    . b) Nếu   y    và   2 1 Q P F y P x y             chỉ phụ thuộc vào y thì có thể tìm được thừa số tích phân   2 F y dy e    . Ví dụ: Giải các phương trình: a)   3 2 2 2 2 0 3 y xy x y dx x y dy            b)   1 0y xy dx xdy   . 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một: Định nghĩa: Phương trình dạng:     'y p x y q x  (8) trong đó     ,p x q x là các hàm số liên tục. - Nếu   0q x  thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất. - Nếu   0q x  thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất. Cách giải 1: Phương pháp biến thiên hằng số 1) Xét phương trình thuần nhất tương ứng:   ' 0y p x y  (9) - 0y  là nghiệm của (9). - 0y  thì (2)     , 0 p x dx dy p x dx y Ce C y         . Ngoài ra nghiệm 0y  cũng được ghép vào nghiệm tổng quát ứng với 0C  . Vậy nghiệm tổng quát của (9) là   , p x dx y Ce C const      (10) 2) Để tìm nghiệm tổng quát của (8) ta dùng phương pháp biến thiên hằng số. Xem   C C x ta tìm   C x để (10) là nghiệm tổng quát của (8). Ta có               ' ' p x dx p x dx p x dx dC y C x e C x p x e e p x y dx           thay vào (8)         , p x dx p x dx dC q x e dx C q x e dx K K const          . - 7 - Vậy nghiệm tổng quát của (8) là               , p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx y q x e dx K e Ke e q x e dx K const                      Chú ý: Công thức nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất = nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng + Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng .y u v trong đó     ,u u x v v x  mà một trong hai hàm đó có thể chọn tùy ý. Thay vào (8) ta được     ' ' .vu v p x v u q x       (11). Tìm   v x từ điều kiện   ' 0v p x v  . Thay vào (11) có thể tìm   u x từ phương trình   'vu q x . Vậy có thể tìm được nghiệm tổng quát của (8). Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy:   ' 2 4 , 1 2 y y x y x    . 2) Giải phương trình:   1 0 y y e dx xe dy   . 2.5 Phương trình Bernoulli: Định nghĩa: Phương trình dạng:     'y p x y y q x    (12) trong đó  R ,     ,p x q x là các hàm số liên tục. Nếu 0   hoặc 1   thì (12) là PTVP tuyến tính cấp một. Nếu 0   và 1   thì (12) được gọi là phương trình Bernoulli. Cách giải: - 0y  là nghiệm của (12). - 0y  thì (12)     1 'y y p x y q x        (13) Đặt     1 1 , ' ' ' 1 ' 1 z y z z x y y z z y y                 . Thay vào (13) ta được         ' 1 1z p x z q x       (14) là PTVP tuyến tính cấp một. Ví dụ: Giải phương trình: 2 ' 4xy y x y  . 2.6 Phương trình Clairaut: Định nghĩa: Phương trình dạng:   ' 'y xy f y  (15) trong đó f là hàm số khả vi. - 8 - Cách giải: Đặt 'y t , ta có   y xt f t  . Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được   ' ' dt dt y t x f t t dx dx     hay   ' 0 dt x f t dx       . - Nếu 0 dt dx  thì t là hằng số, ta được họ đường thẳng t D phụ thuộc tham số t có phương trình   y tx f t  . - Nếu   'x f t  thì     'y tf t f t   , đó là phương trình tham số của đường tích phân kỳ dị E. Dễ thấy đường E tiếp xúc với mọi đường tích phân t D . Ví dụ: Giải phương trình: 2 1 ' ' 4 y xy y  . 2.7 Phương trình Lagrange: Định nghĩa: Phương trình dạng     ' 'y x g y f y  (16) trong đó f và g là các hàm số khả vi. Cách giải: Đặt 'y t , ta có     y x g t f t  . Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được       ' ' ' x x dt dt y g t xg t f t t d d     hay       ' ' 0 dx g t t g t x f t dt         . Đó là phương trình tuyến tính đối với   x t . Nếu nghiệm tổng quát của nó là     x C t t     , trong đó C là hằng số tùy ý thì         y C t t g t f t          . Ta được phương trình tham số của các đường tích phân. Ví dụ: Giải phương trình: 2 2 ' 'y xy y  . §3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD (PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG LIÊN TIẾP) Phương pháp cho ta nghiệm gần đúng của bài toán đầu     0 0 ' , ;y f x y y x y  khi giả thiết bài toán có nghiệm duy nhất trong khoảng nào đấy có chứa 0 x . Sau khi tích phân bài toán trở thành       0 0 , x x y x y f t y t dt   xác định một dãy các hàm như sau:             0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 , , , , , , x x x n n x x x y x y f t y dt y x y f t y dt y x y f t y dt           . - 9 - Từ đó ta xây dựng được   1 y x từ 0 y và   ,f x y ;   2 y x từ   1 y x và   ,f x y xác định mỗi hàm từ hàm ngay trước nó và   ,f x y . Ta đưa ra sơ đồ xấp xỉ Picard.     0 0 1 , x n n x y x y f t y dt     . Với các điều kiện đặt lên hàm   ,f x y mà ta sẽ xét đến trong định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Có thể chứng minh dãy 0 1 , , , , n y y y hội tụ về nghiệm thực   y x . Do đó sơ đồ Picard là một công cụ lý thuyết hữu hiệu để chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của PTVP. Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu sau:   2 ' 1 , 0 0y y y   . Giải: Áp dụng sơ đồ Picard ta tính được   3 2 0 1 2 0 0 0 ; 0 ; 0 1 ; 3 x x x y y dt x y t dt x           3 3 5 7 3 0 2 0 1 3 3 15 63 x t x x x y t dt x                      ; Để so sánh kết quả ta tìm nghiệm tổng quat của phương trình 2 ' 1y y  là arctan y x C  . Với điều kiện đầu đã cho thì 0C  và tany x là nghiệm của bài toán đầu đã xét. Khai triển Maclaurin của tan x ở lân cận 0x  có dạng 3 5 7 2 17 tan 3 15 315 x x x x x     §4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại các điểm riêng biệt nào đấy mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và tính giá trị hàm. Mọi phương pháp số đều dẫn đến tìm nghiệm gần đúng tại 0 1 , , x x , trong đó hiệu giữa hai giá trị x bằng hằng số, tức là 1n n x x h    . Ta mô tả ba phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu     0 0 ' , ,y f x y y x y  . 3.1 Phương pháp Euler. Giả sử h nhỏ, ta dùng gần đúng           ' ,y x h y x hy x y x h f x y     . Đặt 0i x x ih  và tính   0 0 y y x ,       1 0 0 0 2 1 1 1 1 , , , , , , n n n n y y h f x y y y h f x y y y h f x y        . - 10 - Vậy bước thứ n của phương pháp Euler có dạng   1 , n n n n y y h f x y    . Về mặt hình học nghiệm gần đúng nhận được như một đường gấp khúc mà đoạn đầu tiên là tiếp tuyến với đường cong nghiệm tại 0 x . Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với 0,2h    ' ; 0 0y x y y   . Nghiệm gần đúng   1 0,2 n n n n y y x y     . Nghiệm chính xác 1 x y e x   . n n x n y Giá trị y đúng 0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,0 0,021 2 0,4 0,04 0,091 3 0,6 0,128 0,222 4 0,8 0,274 0,425 5 1,0 0,489 0,718 3.2 Phương pháp Euler cải tiến. Đây là phương pháp biến thể của phương pháp Euler. Tại mỗi bước tính giá trị phụ   * 1 , n n n n y y h f x y    rồi tính giá trị mới     * 1 1 1 , , 2 n n n n n n h y y f x y f x y           . Kết hợp hai biểu thức ta viết bước thứ n của phương pháp Euler cải tiến       1 , , , 2 n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y           . Về mặt hình học, trong khoảng , 2 n n h x x        ta gần đúng y theo đường thẳng qua   , n n x y với hệ số góc   , n n f x y rồi tiếp tục dọc theo đường thẳng với hệ số góc   * 1 1 , n n f x y   . Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiến của bài toán đầu nêu trên. Nghiệm gần đúng   * 1 0,2 n n n n y y x y     .     1 0,1 0,2 0,2 n n n n n n n n y y x y x y x y              . được phương trình tách biến. Ví dụ: Giải phương trình:     2 1 2 0x y dx x dy     . 2.3 Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân: 2.3.1 Phương trình vi phân toàn phần: Phương trình. Runge-Kutta là cấp bốn. - 12 - Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 1.1 Định nghĩa: PTVP cấp n là phương trình có dạng:     , , ',. Toán BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) Dành cho sinh vi n : Khoa Hóa Hệ : Sư phạm Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng vi n : Nguyễn Thị Phương Lan - 2 - Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN