Bài giảng phương trình vi phân ( ngô mạnh tường ) chương 1

Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Ngày tháng năm 2011 Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Mục đích Trang bị cho người học kiến thức lý thuyết sở phương trình vi phân , phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1, cấp n hệ phương trình vi phân Đánh giá môn học Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10 Điểm kiểm tra thường xuyên (trung bình cộng): 300/0 Điểm thi học phần: 700/0 Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Nội dung môn học Chương I: Phương trình vi phân cấp Chương II: Phương trình vi phân cấp cao Chương III: Hệ phương trình vi phân Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Tài liệu tham khảo Bài giảng Phương trình vi phân, Tài liệu lưu hành nội Khoa CNTT, 2009 Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn, Phương trình vi phân, Tập 1, 2, Hà nội, NXB ĐH THCN, 1970 Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập Phương trình vi phân, NXB ĐH THCN, 1979 Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, Tập 3, NXB Giáo dục, 2002 Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Chương I: Phương trình vi phân cấp 1.1 Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Chương I: Phương trình vi phân cấp 1.1 Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp 1.2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Chương I: Phương trình vi phân cấp 1.1 Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp 1.2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1.3 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Mở đầu Định lý tồn nghiệm Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp Bài toán mở đầu Cho mạch điện hình vẽ Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Mở đầu Định lý tồn nghiệm Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp Bài toán mở đầu Cho mạch điện hình vẽ Điện nguồn E thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua thời điểm t I(t) ampe Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Mở đầu Định lý tồn nghiệm Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp Bài toán mở đầu Cho mạch điện hình vẽ Điện nguồn E thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua thời điểm t I(t) ampe Theo định luật Ohm: dòng điện thời điểm t ta có L dI (t) + RI (t) = E (t) dt Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Lagrange Phương trình Lagrange phương trình vi phân có dạng y = ϕ y x + ψ y với ϕ y = y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = ϕ (p) x + ψ (p) suy dy = ϕ (p) dx + ϕ (p) x + ψ (p) dp, ta cần tìm hàm x theo p Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Lagrange Phương trình Lagrange phương trình vi phân có dạng y = ϕ y x + ψ y với ϕ y = y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = ϕ (p) x + ψ (p) suy dy = ϕ (p) dx + ϕ (p) x + ψ (p) dp, ta cần tìm hàm x theo p Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ ϕ (p) dx + ϕ (p) x + ψ (p) dp = pdx Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Lagrange Phương trình Lagrange phương trình vi phân có dạng y = ϕ y x + ψ y với ϕ y = y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = ϕ (p) x + ψ (p) suy dy = ϕ (p) dx + ϕ (p) x + ψ (p) dp, ta cần tìm hàm x theo p Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ ϕ (p) dx + ϕ (p) x + ψ (p) dp = pdx Nếu ϕ (p) − p = ta có ϕ (p) ψ (p) dx + x+ =0 dp ϕ (p) − p ϕ (p) − p phương trình tuyến tính x, giả sử có nghiệm tổng quát x = A (p) C + B (p) Khi phương trình có nghiệm tổng quát dạng tham số x = A (p) C + B (p) y = A1 (p) C + B1 (p) Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Lagrange Nếu ϕ (p) − p = nghiệm, ta xét nghiệm riêng hay nghiệm kỳ dị có dạng y = ϕ (pi ) x + ψ (pi ) pi nghiệm phương trình ϕ (p) − p = Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Lagrange Nếu ϕ (p) − p = nghiệm, ta xét nghiệm riêng hay nghiệm kỳ dị có dạng y = ϕ (pi ) x + ψ (pi ) pi nghiệm phương trình ϕ (p) − p = Ví dụ: Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình Lagrange Nếu ϕ (p) − p = nghiệm, ta xét nghiệm riêng hay nghiệm kỳ dị có dạng y = ϕ (pi ) x + ψ (pi ) pi nghiệm phương trình ϕ (p) − p = Ví dụ: Giải phương trình y = xy Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com +y Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ pdx = pdx + x + ψ (p) dp suy x + ψ (p) dp = Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ pdx = pdx + x + ψ (p) dp suy x + ψ (p) dp = Nếu x + ψ (p) = ⇒ dp = ⇒ p = C ta có nghiệm tổng quát phương trình y = Cx + K Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ pdx = pdx + x + ψ (p) dp suy x + ψ (p) dp = Nếu x + ψ (p) = ⇒ dp = ⇒ p = C ta có nghiệm tổng quát phương trình y = Cx + K Nếu x + ψ (p) = ⇒ x = ψ (p) phương trình có nghiệm x = −ψ (p) y = −pψ (p) + ψ (p) Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ pdx = pdx + x + ψ (p) dp suy x + ψ (p) dp = Nếu x + ψ (p) = ⇒ dp = ⇒ p = C ta có nghiệm tổng quát phương trình y = Cx + K Nếu x + ψ (p) = ⇒ x = ψ (p) phương trình có nghiệm x = −ψ (p) y = −pψ (p) + ψ (p) Ví dụ: Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát phương trình vi phân cấp Phương pháp giải số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo hàm Phương trình khuyết y , phương trình khuyết x Phương trình F x, y , y = Phương trình Lagrange Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut Phương trình Clairaut (Clerô) phương trình vi phân có dạng y =y x +ψ y Cách giải: Tương tự đặt u = x, v = p = y Khi phương trình có dạng y = px + ψ (p) suy dy = pdx + x + ψ (p) dp Do y = p ⇒ dy = pdx ⇔ pdx = pdx + x + ψ (p) dp suy x + ψ (p) dp = Nếu x + ψ (p) = ⇒ dp = ⇒ p = C ta có nghiệm tổng quát phương trình y = Cx + K Nếu x + ψ (p) = ⇒ x = ψ (p) phương trình có nghiệm x = −ψ (p) y = −pψ (p) + ψ (p) Ví dụ: Giải phương trình y = xy + y Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN [...]... trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Nghiệm của phương trình vi phân Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = φ (x) mà khi thay y = φ (x) , y = φ (x) , , y (n) = φ(n) (x) vào phương trình đã cho ta được một đồng nhất thức, tức là F x, φ (x) , φ (x) , , φ(n) (x) = 0 Ngô. .. phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là F (x, y , y ) = 0 hay dạng giải ra đối với đạo hàm y = f (x, y ) Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1 1 y − y = xe x Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân. .. của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân y y (x) + 3 = x sin x phương trình vi phân cấp 2 x d 3y d 2y + 3 2 = e 2x phương trình vi phân cấp 3 dx3 dx Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải... của phương trình vi phân cấp 1 Cấp của phương trình vi phân Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân y y (x) + 3 = x sin x phương trình vi phân cấp 2 x d 3y d 2y + 3 2 = e 2x phương trình vi phân cấp 3 dx3 dx ∂2u ∂2u + = 1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2 ∂x 2 ∂x∂y Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Cấp của phương trình vi phân Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân y y (x) +... http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Cấp của phương trình vi phân Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân Ngô Mạnh. .. hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình vi phân hay phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân Ta phân biệt phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phương trình vi phân thường Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng Ngô Mạnh. .. 2x phương trình vi phân cấp 3 dx3 dx ∂2u ∂2u + = 1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2 ∂x 2 ∂x∂y Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là F (x, y , y , , y (n) ) = 0 hay giải ra ta được y (n) = ϕ(x, y , y , , y (n− 1) ) Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình. .. Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu (hay điều kiện biên) y (x0 ) = y0 Ngô Mạnh Tưởng website: http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải... http://www.tuongnm.wordpress.com Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là F (x, y , y ) = 0 hay dạng giải ... M(x)N(y )dx + P(x)Q(y )dy = Giả sử N(y )P(x) = ta đưa dạng phương trình (1 ) cách Q(y ) M(x) dx + dy = P(x) N(y ) Q(y ) M(x) dx + dy = C P(x) N(y ) Ngoài ta phải xét thêm trường hợp N(y )P(x)... N(y )P(x) = ta đưa dạng phương trình (1 ) cách Q(y ) M(x) dx + dy = P(x) N(y ) Q(y ) M(x) dx + dy = C P(x) N(y ) Ngoài ta phải xét thêm trường hợp N(y )P(x) = Khi tích phân tổng quát có dạng Ngô. .. phương trình vi phân Nghiệm phương trình vi phân hàm số y = φ (x) mà thay y = φ (x) , y = φ (x) , , y (n) = φ(n) (x) vào phương trình cho ta đồng thức, tức F x, φ (x) , φ (x) , , φ(n) (x) = Ngô Mạnh