bài giảng dạng toàn phương

DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43 Nội dung 1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2 Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester 3 Nhận dạng đường và mặt bậc hai TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Định nghĩa Dạng toàn phương trong R n là một hàm thực f : R n → R, ∀x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) T ∈ R n : f (x) = x T .M.x, trong đó M là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc). Ví dụ f (x) = f (x 1 , x 2 ) = 2x 2 1 + 3x 2 2 −6x 1 x 2 là dạng toàn phương. Ma trận M có dạng M =  2 −3 −3 3  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng toàn phương trong R 3 thường được ghi ở dạng f (x) = f (x 1 , x 2 , x 3 ) = Ax 2 1 + Bx 2 2 + Cx 2 3 + 2Dx 1 x 2 + 2Ex 1 x 3 + 2Fx 2 x 3 . Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng M =   A D E D B F E F C   f (x 1 , x 2 , x 3 ) = x T .M.x = (x 1 x 2 x 3 ).M.   x 1 x 2 x 3   TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ f (x) = f (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 2 1 − 2x 1 x 2 + 4x 1 x 3 + 2x 2 x 3 − x 2 3 là 1 dạng toàn phương. Ma trận của dạng toàn phương là M =   1 −1 2 −1 0 1 2 1 −1   TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Cho dạng toàn phương f (x) = x T .M.x, với x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T . Vì M là ma trận đối xứng thực nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T . Khi đó f (x) = x T .P.D.P T .x = (P T .x) T .D.(P T .x). Đặt y = P T .x = P −1 x ⇔ x = Py. Ta có g(y) = y T Dy = (y 1 , y 2 , y 3 )   λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3     y 1 y 2 y 3   . Vậy f (x) = g(y) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 2 3 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Định nghĩa Dạng toàn phương g(y) = y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f (x) = x T Mx. Định lý Dạng toàn phương f (x) = x T Mx luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc g(y) = y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn phương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc) Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D. Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là g(y) = y T Dy. Phép biến đổi cần tìm x = Py. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao f (x 1 , x 2 , x 3 ) = −4x 1 x 2 −4x 1 x 3 + 3x 2 2 −2x 2 x 3 + 3x 2 3 Ma trận của dạng toàn phương M =   0 −2 −2 −2 3 −1 −2 −1 3   TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ det(M − λI ) =       −λ −2 −2 −2 3 − λ −1 −2 −1 3 − λ       = 0 ⇔ −λ 3 + 6λ 2 −32 = 0 ⇔ λ 1 = −2, λ 2 = λ 3 = 4. Xác định ma trận trực giao. Với λ 1 = −2, ta có P ∗1 =    2 √ 6 1 √ 6 1 √ 6    . Với λ 2 = λ 3 = 4, ta có P ∗2 =    − 1 √ 5 2 √ 5 0    , P ∗3 =    − 2 √ 30 − 1 √ 30 5 √ 30    . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 10 / 43 [...]... Sylvester dạng toàn phương đã cho xác định dương TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 29 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Cho dạng toàn phương f (x1, x2, x3) = 2 2 2 −5x1 − x2 − mx3 − 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương f xác định âm Ta có ma trận của dạng toàn phương f là   −5 −2 1 A =  −2 −1 1  1 1 −m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG... không đổi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 23 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính Luật quán tính Định lý Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 24 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn... Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 27 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương sau 2 2 2 f (x1, x2, x3) = 5x1 +x2 +5x3 +4x1x2 −8x1x3 −4x2x3 Ta có trận của dạng toàn phương f là ma  5 2 −4 M =  2 1 −2  Vì ∆1 = 5 > 0, −4 −2 5 5 2 = 1 > 0, ∆2 = 2 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 28 / 43 Dạng toàn phương xác định... Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương Như vậy, ta sẽ được 1 tổng bình phương và 1 dạng toàn phương không chứa xk Bước 3 Sử dụng bước 1, 2 cho dạng toàn phương không chứa xk TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 13 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Chú ý Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất 2 cả các hệ số xk đều... TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 20 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương 2 2 2 f = x1 + 5x2 + 4x3 − 4x1x2 − 2x2x3 f có thể đưa về dạng 2 f = (x1 − 2x2)2 + (x2 − x3)2 + 3x3 Rõ ràng f  0, f = 0 khi và chỉ khi  x1 − 2x2 = 0 x − x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 nên dạng  2 x3 = 0 toàn phương này xác định dương TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG... không suy biến Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 12 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange 2 Bước 1 Chọn 1 thừa số khác 0 của hệ số của xk , lập thành... Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 25 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester Các định thức con chính ∆1 = |a11|, ∆2 = a11 a12 , a21 a22 a11 a12 a13 ∆3 = a21 a22 a23 , , ∆n = det(A) a31 a32 a33 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 26 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester Tiêu chuẩn Sylvester Định lý Cho dạng toàn phương f (x) = x... TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 22 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc 2 2 2 g (y ) = λ1y1 + λ2y2 + + λn yn Định nghĩa Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính Có nhiều phương pháp khác nhau để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Đặc điểm chung của các phương pháp này là: số lượng các... 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Vì (−1)1∆1 = −(−5) > 0, −5 −2 (−1)2∆2 = (−1)2 = 1 > 0, −2 −1 −5 −2 1 (−1)3∆3 = (−1)3 −2 −1 1 = −2 + m Để 1 1 −m dạng toàn phương đã cho xác định âm thì m − 2 > 0 hay m > 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 31 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Định nghĩa Nhận dạng đường và mặt bậc hai Định nghĩa Đường bậc hai là đường có phương trình dạng. .. (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T sẽ đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc 2 2 2 f = −2y1 + 4y2 + 4y3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 11 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Định nghĩa Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến nếu P là ma trận không suy biến Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các . TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43 Nội dung 1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2 Dạng toàn. TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Định nghĩa Dạng toàn phương g(y) = y T Dy được gọi là dạng chính. Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép