bài giảng trị riêng véc tơ riêng

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 1 / 75 Bài toán thực tế Lĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính PQR → P  Q  R  bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 2 / 75 Bài toán thực tế A =  1 0 0 −1  là ma trận của phép biến đổi. Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ (x 1 , x 2 ) qua phép biến đổi này ta sẽ thu được một điểm mới có tọa độ (y 1 , y 2 )  y 1 y 2  =  1 0 0 −1  .  x 1 x 2  =  x 1 −x 2  Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên tiếp đối với điểm (x 1 , x 2 ) có nghĩa là A k .  x 1 x 2  thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 3 / 75 Bài toán thực tế Nội dung 1 Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận 2 Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực 3 Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính 4 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 4 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận A =  1 0 0 −1  , u =  −1 −1  , v =  0 1  . Ta thấy A  −1 −1  =  −1 1  và A  0 1  =  0 −1  = −1.  0 1  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 5 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận vuông A ∈ M n ×n (K ). Nếu tồn tại X ∈ K n , X = 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λ được gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A =  1 4 2 3  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 6 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Biểu thức AX = λX có dạng  1 4 2 3  x 1 x 2  =  λx 1 λx 2  ⇔  1 − λ 4 2 3 − λ  x 1 x 2  =  0 0  . Hệ phương trình thuần nhất này phải có nghiệm X = 0 nên     1 − λ 4 2 3 − λ     = 0 ⇔ λ 2 − 4λ − 5 = 0 ⇔ λ 1 = −1, λ 2 = 5. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 7 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ứng với λ 1 = −1. Ta có  2x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 + 4x 2 = 0 ⇔ x 1 = −2α, x 2 = α. Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α = 0. Ứng với λ 2 = 5. Ta có  −4x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 − 2x 2 = 0 ⇔ x 1 = β, x 2 = β. Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A =  1 2 −2 1  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 9 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Biểu thức AX = λX có dạng  1 2 −2 1  x 1 x 2  =  λx 1 λx 2  ⇔  1 − λ 2 −2 1 − λ  x 1 x 2  =  0 0  . Hệ phương trình thuần nhất này phải có nghiệm X = 0 nên     1 − λ 2 −2 1 − λ     = 0 ⇔ (1 − λ) 2 + 4 = 0 ⇔ λ 1,2 = 1 ± 2i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 10 / 75 [...]... (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 12 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng Tìm trị riêng- véc tơ riêng của ma trận vuông Bước 1 Lập phương trình đặc trưng det(A − λI ) = 0 Bước 2 Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng Bước 3 Với mỗi trị riêng λi , giải hệ (A − λi I )X = 0: Tìm véc tơ riêng X ứng với trị riêng λi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP... RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 15 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Ví dụ   3 1 1 Cho A =  2 4 2  1 1 3 Lập đa thức đặc trưng của A Tính det(A − 2013.I ) Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 2 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 16 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng 1 Đa thức đặc trưng của ma trận A.. .Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ứng với λ1 = 1 + 2i Ta có −2ix1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = α, x2 = αi −2x1 − 2ix2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng α(1, i), α = 0 Ứng với λ2 = 1 − 2i Ta có 2ix1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = β, x2 = −βi −2x1 + 2ix2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng β(1, −i), β = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 11 / 75 Trị riêng, véctơ... TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 17 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Ứng với λ1 = 2 ta xét hệ  x1 + x2 + x3 = 0  2x + 2x2 + 2x3 = 0  1 x1 + x2 + x3 = 0     −1 −1 ⇒ X1 = α  1  + β  0  , α2 + β 2 = 0 0 1 Bội đại số của λ1 = 2 là 2 Bội hình học của λ1 = 2 cũng là 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 18 / 75 Trị riêng, véctơ... chất của véctơ riêng Định nghĩa Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với λ Kí hiệu Eλ Định nghĩa Số chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng λ được gọi là bội hình học của trị riêng λ Còn bội đại số của λ là bội của nghiệm của phương trình đặc trưng χA(λ) = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP... λ1 S∗1 λ2 S∗2 λn S∗n TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 22 / 75 Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa Vậy (AS)∗i = AS∗i = (SD)∗i = λi S∗i , (i = 1, 2, , n) Vậy S∗i là véctơ riêng ứng với trị riêng λi (i = 1, 2, , n) của ma trận A Ma trận làm chéo hóa S có cấu trúc là: các cột của nó chính là các véctơ riêng của ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 23... — 2013 13 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng Định lý   a11 a12 a13 Cho A =  a21 a22 a23  ∈ M3(K ), khi đó a31 a32 a33 χA(λ) = |A − λI | = −λ3 + tr (A)λ2− − a11 a12 a a a a + 22 23 + 11 13 a21 a22 a32 a33 a31 a33 λ + det(A) ở đây tr (A) = a11 + a22 + a33−vết của ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 14 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận... trị riêng, véctơ riêng của A 15 − λ −18 −16 χA (λ) = |A − λI | = 9 −12 − λ −8 =0 4 −4 −6 − λ ⇔ −(λ + 3)(λ + 2)(λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 24 / 75 Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ1 = −3 ta xét hệ   18x1 − 18x2 − 16x3 = 0 9x1 − 9x2 − 8x3 = 0  4x1 − 4x2 − 3x3 = 0   1 ⇒ X1 = α  1  , α = 0 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG... 10.3k TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG  −(−2)k − 2k + 2.3k −(−2)k − 2.2k + 3.3k  −(−2)k − 3.2k + 5.3k TP HCM — 2013 35 / 75 Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Định lý Cho A ∈ Mn (K ) A chéo hóa được khi và chỉ khi bội đại số của trị riêng bất kỳ bằng bội hình học của nó Ví dụ   2 0 1 Cho ma trận A =  1 1 1  Hãy chéo hóa −2 0 −1 A nếu A chéo hóa được TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG...  S   0 0 λk n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 29 / 75 Chéo hóa ma trận Ví dụ Ví dụ   0 −8 6 Cho ma trận A =  −1 −8 7  Tính Ak , 1 −14 11 k ∈ N Xét −λ −8 6 =0 χA(λ) = |A − λI | = −1 −8 − λ 7 1 −14 11 − λ ⇔ −(λ − 2)(λ + 2)(λ − 3) = 0 ⇔ λ1 = −2, λ2 = 2, λ3 = 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 30 / 75 Chéo hóa ma trận Ví dụ . (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 14 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Định nghĩa Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ 0 tạo thành. Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A =  1. 2013.I ) 3 Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 16 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng 1. Đa thức