Bài giảng trị riêng. Vectơ riêng chéo hóa ma trận

CHƯƠNG TRỊ RIÊNG VECTƠ RIÊNG CHÉO HÓA MA TRẬN -  Chương Nội dung Trị riêng Vectơ riêng Không gian đặc trưng Vấn đề chéo hóa ma trận vuông  Chương Trị riêng Vectơ riêng:  Chương  Chương  Chương  Chương Ví dụ: 12/197 Bước 1: Lập phương trình đặc trưng A- l I = 1- l Û - - 5- l - 3- l - = 3- l - 3- l 5- l - - - 3- l 3- l = 0 3- l - 3- l = ( 3- l ) - 3- l - 3- l = ( 3- l ) ( - 3- l ) =  Chương Bước 2: Giải pt đặc trưng: a) Phương trình đặc trưng: ( 3- l ) ( - 3- l ) = b) Trị riêng, vectơ riêng tương ứng: Bước 3: Trị riêng: l =3 Vectơ riêng ứng với trị riêng l =3 é- 2 - 2ù ê ú ú® é- 2 - 2ùÛ - 2x + 2x - 2x = Û ê 2 ê ú ê ú ë û ê- 6 - 6ú ê ú ë û T T T T ù =é ù = a é- 1,0,1ù + b é1,1,0ù " a,b Î R Þ v= é x , x , x b a , b , a ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û Chọn a=1 b=1 ta vectơ riêng ứng với trị riêng T T é- 1,0,1ù Ù é1,1,0ù ê ú ú ë û ê ë û  Chương Trị riêng: l =- Vectơ riêng ứng với trị riêngl =- é4 - 2ù é4 - 2ù ê ú d3- 3d2 ê ú é4 - 2ù d + d / ú¾¾ ê0 - 3ú® ê ú Û ê ¾ ¾ ® ê ú ê ú ê0 - 3ú ê- 6 ú ê0 - 18 ú ê ú ë û ê ú ê ú ë û ë û T T T ù = éa,a,3aù = a é1,1,3ù Þ v=é x , x , x " a Î R ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û Chọn a=1 ta vectơ riêng ứng với trị riêng T é1,1,3ù ê ú ë û  Chương Nội dung Trị riêng Vectơ riêng Không gian đặc trưng Vấn đề chéo hóa ma trận vuông  Chương Không gian đặc trưng:  Chương  Chương Ví dụ: 12/197 Không gian riêng ứng với trị riêng l { } { =3 T T ù + b é1,1,0ù E ( 3) = v Î R | Av = 3v = v Î R | a é ,0 ,1 ê ú ê ú ë û ë û = v Î R | av1T + bv2T { } Các vec tơ v1 v2 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành sở không gian riêng E(3) Do số chiều E(3) hay dim(E(3))=2 }  Chương Không gian riêng ứng với trị riêng { l =- } { T ù E ( - 3) = v Î R | Av = - 3v = v Î R | a é ,1 ,3 ê ú ë û = v Î R | av3T { } } Các vec tơ v3 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành sở không gian riêng E(-3) Do số chiều E(-3) hay dim(E(-3))=1 Có thể thấy vectơ v1, v2, v3 độc lập tuyến tính với Vì ba vectơ riêng A tạo nên sở KGVT R3  Chương Nội dung Trị riêng Vectơ riêng Không gian đặc trưng Vấn đề chéo hóa ma trận vuông  Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vuông:  Chương  Chương  Chương  Chương  Chương Ví dụ: 12/197 Các không gian đặc trưng: { E ( 3) = v Î R | av1T + bv2T có: dimE ( 3) = { E ( - 3) = v Î R | av3T có: Theo định lý 7: } dimE ( - 3) = dimE ( 3) + dimE ( - 3) = suy ma trận A chéo hóa }  Chương  Chéo hóa ma trận A: Vì A chéo hóa được, tức A đồng dạng với ma trận chéo D, nên tồn ma trận P khả nghịch, cho P- 1AP = D đó: é- 1 1ù ê ú ù= ê0 1ú P=é v , v , v ú ê ë1 3ú û ê ê1 3ú ê ú ë û é3 0 ù ê ú ù= ê0 ú D = diag é lê , l , l ú ë 1 2ú û ê ê0 - 3ú ê ú ë û  Chương  Tính Ak: ( ) P- 1AP P- 1APK P- 1AP = Dk 1444444444442444444444443 k - - - - k VT = P- 1A PP A PP K PP AP = P AP { { { ( I I k VP = diag l 1k, l 2k,K , l m I ) ( ) k Þ Ak = PDkP- = Pdiag l 1k, l 2k,K , l m P- Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ môn Đại Số C • Nội dung: Gồm chương Chương 2: Định thức hệ phương trình ĐSTT • Hạng ma trận • Hệ phương trình nhất: Tìm nghiệm tổng quát, nghiệm sở Chương 3: Không gian vectơ • Tổ hợp tuyến tính Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính • Không gian con, sở, số chiều không gian sinh hệ vectơ • Tọa độ vectơ sở Ma trận chuyển sở Hệ thức liên hệ tọa độ vectơ hai sở Chương 4: Trị riêng Vectơ riêng Vấn đề chéo hóa ma trận • Trị riêng Vectơ riêng Không gian đặc trưng • Sự chéo hóa ma trận Tìm ma trận chéo trường hợp chéo hóa • Hình thức thi:  Tự luận  Thi phần tập Cần nắm lý thuyết để giải tập  ... , l ú ë 1 2ú û ê ê0 - 3ú ê ú ë û  Chương  Tính Ak: ( ) P- 1AP P- 1APK P- 1AP = Dk 144 444 444 444 244 444 444 444 3 k - - - - k VT = P- 1A PP A PP K PP AP = P AP { { { ( I I k VP = diag l 1k, l 2k,K... é1,1,0ù ê ú ú ë û ê ë û  Chương Trị riêng: l =- Vectơ riêng ứng với trị riêngl =- 4 - 2ù 4 - 2ù ê ú d3- 3d2 ê ú 4 - 2ù d + d / ú¾¾ ê0 - 3ú® ê ú Û ê ¾ ¾ ® ê ú ê ú ê0 - 3ú ê- 6 ú ê0 - 18 ú ê ú ë... gian sinh hệ vectơ • Tọa độ vectơ sở Ma trận chuyển sở Hệ thức liên hệ tọa độ vectơ hai sở Chương 4: Trị riêng Vectơ riêng Vấn đề chéo hóa ma trận • Trị riêng Vectơ riêng Không gian đặc trưng •