Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
326,03 KB
Nội dung
Chương5.GIÁTRỊRIÊNG–VECTƠRIÊNG–CHÉOHÓAMA
TRẬN
5.1. Trịriêng–vectơriêng
5.2. Chéohóa ánh xạ tuyến tính, chéohóamatrận
5.3. Ánh xạ tự liên hợp và chéohóamatrận đối xứng thực
I. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa và ví dụ.
1.1. Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ
f :X Y
là ánh xạ
tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện:
1)
f(a + b) = f(a) +f(b) a,b X
2)
f(
αa) = αf(a) a X, α K
Chú ý: Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau:
3)
f(
αa + βb) = αf(a) βf (b) a,b X, α,β K
Một ánh xạ tuyến tính
f :X X
được gọi là một phép biến đổi tuyến tính của X.
Như vậy muốn chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính thì ta cần kiểm tra điều kiện 1
và 2 hoặc 3.
1.2. Các ví dụ.
1. Ánh xạ không
O:X Y
a O(a)
θ
là ánh xạ tuyến tính.
2. Ánh xạ đồng nhất
id:X Y
a id(a) a
là ánh xạ tuyến tính.
3. Ánh xạ
2
1 2 1 2 1 2
f :R R
(x ,x ) f (x ,x ) x 3x
là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh:
2
1 2 1 2
x (x ,x ),y (y ,y ) R
, ta có
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
f(x y) f(x y ,x y )
(x y ) 3(x y )
(x 3x ) (y 3y ) f(x) f(y)
2
1 2
x (x ,x ) R ,
α R
, ta có
1 2 1 2
1 2
f(
αx) f (αx ,αx ) αx 3αx
α(x 3x ) αf (x)
1.3. Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính.
Cho X, Y là hai K- không gian vectơ,
f :X Y
là ánh xạ tuyến, khi đó
1.
x y
f(
θ ) θ
2.
f(a) f(a)
3.
1 2 n 1 2 n
a ,a , ,a X,
α ,α , ,α K
ta có
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
f(
α a α a α a ) α f (a ) α f (a ) α f (a )
4. Ánh xạ tuyến tính biến một hệ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ phụ
thuộc tuyến tính.
5. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạn của một hệ vectơ.
2. Matrận của ánh xạ tuyến tính.
2.1. Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính.
Định lý 1: Cho X là không gian vectơ n chiều (dimX=n), E={e
1
, e
2
,…, e
n
} là một
cơ sở của X; Y là không gian vectơ tùy ý và b
1
, b
2
,…, b
n
là hệ các vectơ tùy ý trong
Y. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f :X Y
thỏa mãn
i i
f(e ) b , i 1,2, ,n.
Từ định lý trên ta thấy rằng một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định nếu như
ta biết được ảnh của một cơ sở của nó. Và để cho một ánh xạ ta chỉ cần cho ảnh của
một cơ sở là đủ.
2.2. Matrận của ánh xạ tuyến tính.
Giả sử X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m và ánh xạ tuyến tính
f :X Y
. Giả sử E={e
1
, e
2
,…, e
n
} - cơ sở của X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
} - cơ sở của Y.
Vì
i
f(e ) Y
nên f(e
i
) biểu thị tuyến tính được qua hệ các vectơ của F. Ta có
1 11 1 12 2 1m m
f(e ) a f a f a f
2 21 1 22 2 2m m
f(e ) a f a f a f
…
n n1 1 n2 2 nm m
f(e ) a f a f a f
Ma trận
11 21 n1
12 22 n2
1m 2m nm
a a a
a a a
A =
a a a
gọi là matrận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F. Ta kí hiệu A=A
f/E,F
.
Trường hợp đặc biệt khi f là phép biến đổi tuyến tính của X,
f :X X
và
F E
thì matrận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E được gọi là matrận
của f trong cơ sở E và kí hiệu là A
f/E
.
Định lý 2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f bằng hạng của matrận A của nó:
rankf r(A).
Ví dụ 1: Cho ánh xạ tuyến tính
2 3
f :R R
1 2 1 2 1 2 2
f(x ,x ) (x 2x ,x x , x )
Tìm matrận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F với các cơ sở E, F cho
như sau:
E={e
1
=(1,1), e
2
=(1,0)}, F={f
1
=(1,1,1), f
2
=(-1,2,1),f
3
=(1,3,2)}.
Giải: Ta có
1 1 1 2 2 3 3
f(e ) a f a f a f (3,0, 1) (1)
2 1 1 2 2 3 3
f(e ) b f b f b f (1,1,0) (2)
Theo định nghĩa thì matrận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở E, F là
1 1
f /E,F 2 2
3 3
a b
A a b
a b
.
Giải các phương trình (1) và (2) để tìm a
1
, a
2
, a
3
và b
1
, b
2
, b
3
. Các phương trình (1), (2)
tương đương với các hệ phương trình tuyến tính có matrận bổ sung tương ứng như sau:
2 2 3 3 3 2
2 2 1
3 3 1
h h h h h 2h
h h h
h h h
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1
1 2 3 0 1 0 3 2 3 0 0 1 1 1 1
1 1 3 10 0 2 1 4 1 0 2 1 4 1
1 1 1 3 1
0 1 1 1 1
0 0 1 6 3
Hệ (1): a
3
=6; a
2
=1- a
3
=-5; a
1
=3- a
3
+ a
2
=-8
Hệ (2): b
3
=3; b
2
=1- b
3
=-2; b
1
=1- b
3
+ b
2
=-4
Vậy
1 1
f /E,F 2 2
3 3
a b 8 4
A a b 5 2
a b 6 3
.
Bài tập: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
f :R R
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3
f(x ,x ,x ) (x 2x x ,x x ,x x 2x )
Tìm matrận của f đối với cơ sở chính tắc.
2.3. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.
Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m, E={e
1
, e
2
,…, e
n
} - cơ sở của
X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
} - cơ sở của Y. Cho
f :X Y
là ánh xạ tuyến tính. Đặt A=A
f/E,F
-
là matrận của f trong cặp cơ sở E, F.
x E,
giả sử
1 1
2 2
E F
n n
x y
x y
[x] , [f(x)]
x y
Khi đó công thức sau gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f
1 1
2 2
n n
y x
y x
A
y x
.
2.4. Matrận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau.
Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX = n, dimY = m, E={e
1
, e
2
,…, e
n
},
' ' ' '
1 2 n
E {e ,e , ,e }
- hai cơ sở của X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
},
' ' ' '
1 2 n
F {f ,f , ,f }
- hai cơ sở của
Y. Cho ánh xạ tuyến tính
f :X Y
, khi đó ta có công thức liên hệ giữa matrận của f
trong cặp cơ sở E
’
, F
’
với matrận của f trong cơ sở E, F như sau:
' ' ' '
1
f /E,F
f /E,F FF EE
A T .A .T
,
trong đó
'
EE
T
là matrận chuyển cơ sở từ E sang E
’
.
Nếu
f :X X
là phép biến đổi tuyến tính và E={e
1
, e
2
,…, e
n
},
' ' ' '
1 2 n
E {e ,e , ,e }
- hai
cơ sở của X, ta có
' ' '
1
f /E
f /E EE EE
A T .A .T
3. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.
3.1. Định nghĩa, tính chất, định lý.
Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ (không gian tuyến tính),
f :X Y
là ánh xạ tuyến tính (axtt)
Kí hiệu
Kerf {x X |f (x)
θ}
gọi là hạt nhân của axtt f.
Kí hiệu
Imf f(X) {f(x) | x X}
gọi là ảnh của axtt f.
Tính chất: Cho
f :X Y
là axtt, khi đó
a) Kerf là không gian con của X.
b) Imf là không gian con của X.
c) Nếu dimX = n thì dimImf + dimKerf = dimX = n.
Định lý 3: Hạng của axtt f là số chiều của Imf : rankf = dimImf
3.2. Cách tìm hạt nhân và ảnh.
Cho ánh xạ tuyến tính
f :X Y
, dimX = n, dimY = m.
3.2.1. Cách tìm hạt nhân.
Chọn E={e
1
, e
2
,…, e
n
} là một cơ sở của X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
} là một cơ sở của Y.
Ta có:
F E
[f(x)] A[x]
. Theo định nghĩa:
F
E
x Kerf f(x)
θ
[f(x)] θ
A[x]
θ ( )
Như vậy
x Kerf
khi và chỉ khi tọa độ của x trong cơ sở E là nghiệm của hệ phương
trình thuần nhất (*). Từ đó để tìm Kerf ta làm như sau:
1. Tìm A=A
f/E,F
–matrận của f đối với cơ sở E, F.
2. Giải hệ phương trình thuần nhất
1
2
n
x
0
x
0
A
x
0
.
3. Kerf là tập tất cả các vectơ có tọa độ trong cơ sở E là nghiệm của (*). Hệ nghiệm
cơ bản của (*) chính là cơ sở của Kerf trong cơ sở E.
Chú ý: Ta thường lấy E, F là cơ sở chính tắc của X, Y.
3.2.3. Cách tìm ảnh.
Vì e
1
, e
2
,…, e
n
là hệ sinh của X nên f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
) là hệ sinh của Imf, hay
Imf = span{ f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
)}. Ta tìm một hệ con độc lập tuyến tính (đltt) tối đại của
f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
), đó là cơ sở của Imf (Số vectơ đltt tối đại bằng hạng của các vectơ
f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
)).
Ví dụ 2: Cho axtt
3 3
f :R R
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3
f(x ,x ,x ) (x 2x x ,x x ,x x 2x )
.
a) Tìm Kerf, cơ sở Kerf và dimKerf.
b) Tìm cơ sở của Imf và dimImf.
Giải: a)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(x ,x ,x ) Kerf f(x ,x ,x )
θ (x ,x ,x )
là nghiệm của hệ pt:
1 2 3
2 3
1 2 3
x 2x x 0
x x 0
x x 2x 0
.
Ta biến đổi matrận hệ số:
3 3 2 3 3 2
h h h h h h
1 2 1 1 2 1 1 2 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 2 0 1 1 0 0 0
.
3
2
1
x t
x t, t R
x 3t
Vậy:
3
Kerf {x R | x t(3, 1,1),t R}
{(3,-1,1)} là cơ sở của Kerf và dimKerf =1.
b) Ta tìm ảnh của f đối với cơ sở chính tắc E={e
1
=(1,0,0), e
2
=(0,1,0), e
3
=(0,0,1)}.
Ta có: f(e
1
)=(1,0,1), f(e
2
)=(2,1,1), f(e
3
)=(-1,1,-2),
Imf = span{f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
)}.
Tìm hệ con đltt cực đại của hệ {f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
)} bằng cách tìm hạng của nó:
3 3 22 2 1
3 3 1
h h h
h h 2h
h h h
1 0 1 1 0 1 1 0 1
2 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 2 0 1 1 0 0 0
.
Vậy cơ sở của Imf là {f(e
1
), f(e
2
)} và dimImf =2.
Chú ý: Trong trường hợp này ta cũng hiểu rằng Imf = span{f(e
1
), f(e
2
)}. Nếu hạng của
hệ {f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
)} bằng 3 thì ta có Imf =
3
R
(?).
4. Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
4.1. Các định nghĩa.
Cho
f :X Y
là axtt, khi đó
f gọi là đơn cấu nếu f đơn ánh.
f gọi là toàn cấu nếu f toàn ánh.
f gọi là đẳng cấu nếu f song ánh.
4.2. Các định lý.
Định lý 4: Cho
f :X Y
là axtt, khi đó
1) f đơn cấu
Kerf {
θ}
2) f toàn cấu
Imf Y
Định lý 5: Cho X, Y là các không gian tuyến tính hữu hạn chiều và axtt
f :X Y
. Khi
đó f là đẳng cấu khi và chỉ khi dimX = dimY.
II. GIÁTRỊRIÊNG–VECTƠRIÊNG–CHÉOHÓAMA TRẬN, ÁNH XẠ
TUYẾN TÍNH
1. Giátrị riêng, vectơriêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính.
1.1. Giátrị riêng, giátrịriêng của ma trận.
1.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Số
λ K
gọi là giátrịriêng (GTR) của A nếu tồn tại
vectơ
τ n
1 2 n
x (x ,x , ,x ) K ,x
θ
sao cho:
1 1
2 2
n n
x x
x x
Ax
λx ( ) (A λ ).
x x
Khi đó vectơ x gọi là vectơriêng (VTR) của A ứng với GTR
λ
.
Nhận xét: Từ
( )
ta có:
(A
λI)x θ (x θ).
Định nghĩa 2: Cho
ij n
A (a ) M (K),
λ K.
a) Đa thức
11 21 n1
12 22 n2
A
1n 2n nn
a λ a a
a a λ a
P (λ) det(A λI)
a a a
λ
gọi là đa thức đặc trưng của A.
b) Phương trình
A
P (
λ) 0
gọi là phương trình đặc trưng của A.
Định nghĩa 3: Tập hợp tất cả các VTR của A ứng với GTR
λ
và bổ sung vectơ
θ
gọi
là không gian riêng (KGR) của A ứng với GTR
λ
.
Nhận xét: KGR của A ứng với GTR
λ
là không gian nghiệm của hệ phương trinh:
(A
λI)x θ.
Định nghĩa 4: Hai matrận
n
A,B M (K)
gọi là đồng dạng nếu tồn tại matrận P
không suy biến (
detP 0
) sao cho:
1
B P AP.
1.1.2. Tính chất.
Định lý 1: Nếu x là VTR của A ứng với GTR
λ
, thì
αx
(
α 0)
cũng là VTR của A
ứng với GTR
λ
.
Định lý 2: Hai matrận đồng dạng có cùng GTR.
1.1.3. Cách tìm GTR, VTR của matrận vuông A.
Ta tiến hành các bước sau:
1) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) det(A λI) 0 ( )
.
Nghiệm của
( )
là GTR của A.
2) Giả sử
k
λ
là một nghiệm của
( )
. Ta giải hệ phương trình thuần nhất sau:
k
(A
λ I)x θ (3 ).
Nghiệm không tầm thường của
(3 )
là VTR của A ứng với GTR
k
λ
.
Chú ý:
k
r r(A
λ I) n
(vì
k
det(A
λ I) 0
) nên KGR
k
S
của A ứng với GTR
k
λ
(tức là không gian nghiệm
k
S
của
(3 )
) có
k
dimS n r
(hay nói cách khác,
KGR
k
S
của A ứng với GTR
k
λ
có (
n r
) VTR độc lập tuyến tính).
Ví dụ 1. Tìm GTR, VTR, cơ sở của KGR và các KGR của matrận A
a)
0 0 1
A 0 1 0
1 0 0
b)
1 4 6
A 3 7 7
4 8 7
Giải: a) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) 0
.
Ta có:
2 2
A
λ 0 1
P (
λ) 0 1 λ 0 λ (1 λ) (1 λ) (λ 1) (λ 1)
1 0 λ
.
1 1
A
2 2
λ 1 (m 1)
P (λ) 0
λ 1 (m 2)
.
1 1
λ 1(m 1)
Giải hệ phương trình
(A I)x
θ.
3 3 1
h h h
1 0 1 1 0 1
0 2 0 0 2 0
1 0 1 0 0 0
1
1 3
2
2
3
x t
x x 0
(A I)x
θ x 0 , t R \ {0}.
2x 0
x t
Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
1
λ 1
có dạng:
x ( t,0,t) t( 1,0,1), t R \ {0}.
- Một cơ sở của KGR
1 1
S (dimS 1)
của A ứng với GTR
1
λ 1
:
1
a ( 1,0,1).
- KGR
3
1 1
S span{a } {x R | x t( 1,0,1), t R}
2 2
λ 1(m 2)
Giải hệ phương trình
(A I)x
θ.
Ta có:
3 3 1
h h h
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1
2 2
1 3 2
3
x t
(A I)x
θ x x 0 x v, t,v R : t v 0.
x t
Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
2
λ 1
có dạng:
2 2
x (t,v,t) t(1,0,1) v(0,1,0), t,v R :t v 0.
- Một cơ sở của KGR
2 2
S (dimS 2)
của A ứng với GTR
2
λ 1
:
2 3
a (1,0,1),a (0,1,0).
- KGR
3
2 2 3
S span{a ,a } {x R |x t(1,0,1) v(0,1,0), t,v R}
b) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) 0
.
Ta có:
2
A
1 λ 4 6
P (
λ) 3 7 λ 7 (λ 1) (λ 3)
4 8 7 λ
.
1 1
A
2 2
λ 1 (m 2)
P (λ) 0
λ 3 (m 1)
.
1 1
λ 1(m 2)
Giải hệ phương trình
(A I)x
θ.
Ta có:
1
1 1
2 2 32 2 2 1
1
3 3 1 2 3
3 3
4
h h
h h 2h
h h 3h
h h h h hh h
2 4 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 6 7 3 6 7 0 0 2 0 0 1
4 8 8 1 2 2 0 0 1 0 0 0
1
1 2 3
2
3
3
x 2t
x 2x x 0
(A I)x
θ x t , t R \ {0}.
x 0
x 0
Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
1
λ 1
có dạng:
x ( 2t,t,0) t( 2,1,0), t R \{0}.
- Một cơ sở của KGR
1 1
S (dimS 1)
của A ứng với GTR
1
λ 1
:
1
a ( 2,1,0).
- KGR
3
1 1
S span{a } {x R | x t( 2,1,0), t R}
2 2
λ 3 (m 1)
Giải hệ phương trình
(A 3I)x
θ.
11
2 2
1 1
162 2 2 1
1
3 3 1 3 3 2
3 3
4
h hh h
h h 3h
h h h h h 4hh h
2 4 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 10 7 3 10 7 0 16 16 0 1 1
4 8 4 1 2 1 0 4 4 0 0 0
1
1 2 3
2
2 3
3
x t
x 2x 3x 0
(A 3I)x
θ x t, t R \{0}.
x x 0
x t
Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
2
λ 3
có dạng:
x (t, t,t) t(1, 1,1), t R \{0}.
- Một cơ sở của KGR
2 2
S (dimS 1)
của A ứng với GTR
2
λ 3
:
2
a (1, 1,1).
[...]... 2 Chéohóama trận, ánh xạ tuyến tính 2.1 Chéohóamatrận 2.1.1 Định nghĩa 7: Cho matrận vuông A, nếu tồn tại matrận khả đảo T sao cho T-1AT là matrận đường chéo thì ta nói rằng matrận A chéohóa được và matrận T làm chéohóamatrận A hay matrận A đưa được về dạng chéohóa nhờ matrận T 2.1.2 Điều kiện chéohóa được của một matrận Trong các định lý sau đây, ta luôn giả thiết rằng A ma trận. .. (1) 1 2.2 Chéohóa phép biến đổi tuyến tính Cho phép biến đổi tuyến tính f : X X, dim X n Lấy E là một cơ sơ bất kì của X, khi đó ta có matrận của f là A A f /E Ta tiến hành chéohóamatrận A Nếu A là ma trậnchéohóa được thì ta có n VTR đltt Chọn n vectơ này lập thành cơ sở của X, khi đó matrận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở vừa lập được chính là matrậnchéo B=T-1AT 3... bao gồm các VTR Lập matrận T | | | | p p T a 1 a 1 1 a 1 a mp 1 m | | | | là matrậnmà có cột thứ j là vectơ thứ j trong cơ sở (a) 0 0 1 Ví dụ 8: Chéo hóamatrận A 0 1 0 1 0 0 Giải: Trong ví dụ 4 đã chỉ ra rằng matrận A chéohóa được Ví dụ 1 đưa ra một cơ sở mới bao gồm các VTR a1 (1,0,1), a 2 (1,0,1), a 3 (0,1,0), Lập matrận T 1 1 0 ... span{a 2 } {x R 3 | x t(1, 1,1), t R} 1.2 Giátrị riêng, giátrịriêng của ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 5: Cho X là một K-không gian vectơ, dim X n , f L(X,X) Số λ K được gọi là giátrịriêng (GTR) của f, nếu tồn tại vectơ x (x1 , x 2 , , x n ) τ K n , x θ sao cho: f (x) λx Khi đó vectơ x được gọi là vectơriêng (VTR) của f ứng với GTR λ Định nghĩa 6: Tập... sở vừa lập được chính là matrậnchéo B=T-1AT 3 Ánh xạ tự liên hợp và chéo hóamatrận đối xứng thực 3.1 Matrận trực giao Định nghĩa 8.1: Matrận trực giao la matrận vuông có tổng bình phương các phần tử của mỗi hàng bằng 1, còn tổng các tích các phần tử tương ứng của hai hàng khác nhau thì bằng 0 Ví dụ: Các matrận sau đây là matrận trưc giao: 2 2 1 3 3 3 cosφ sin φ 2 1 2 ... 0 2 0 *Chú ý: Nếu A là matrậnchéohóa được thì ta luôn tìm được matrận T và matrậnchéo B như trong phương pháp trên: A TBT 1 Khi đó A 2 A.A (TBT 1 ).(TBT 1 ) TB(T 1T)BT 1 TB2T 1 A3 A 2 A (TB2 T 1 ).(TBT 1 ) TB3 T 1 … A n A n 1 A TBn 1T 1 TBT 1 TBn T 1 Đây là một trong những lợi ích của việc chéo hóamatrận 0 0 1 Ví dụ 9: Cho A 0 1 0 ... vectơ nghiệm sau trực giao với mọi vectơ nghiệm đã chọn trước đó và có chuẩn bằng 1 Cuối cùng ta được cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với λ k , k Và ghép chúng lại ta được cơ sở trực chuẩn gồm các VTR 1 2 2 Ví dụ 10: Cho matrận A 2 1 2 Hãy tìm matrận trực giao Q để đưa A về 2 2 1 -1 dạng chéo B = Q A.Q Tìm matrậnchéo B Giải: Trước hết ta nhận xét A là matrận đối xứng nên A chéo. .. kiện chéohóa Thực vậy đối với GTR λ 0(m 3) , ta có: 0 0 0 r(A λI) r 0 0 0 0 3 3 0 0 0 2.1.3 Cách chéo hóamatrận 1) Giải phương trình đặc trưng PA (λ) det(A λI) 0 để tìm các GTR của A: λ1 , λ 2 , , λ p với bội tương ứng m1 ,m 2 , , mp 2) Kiểm tra điều kiện chéohóa a) Nếu p n thì A chéohóa được b) Nếu k (k 1, 2, , p) : r(A λ k I) n m k thì A chéo hóa. .. Định lý 8: Matrận vuông A cấp n chéohóa được khi và chỉ khi với mỗi GTR λ k bội m k của A (m1 m 2 m p n), có r(A λ k I) n m k (k 1,2, ,p) Chú ý: Nếu matrận vuông A cấp n có n GTR phân biệt thì A chéohóa được 0 0 1 Ví dụ 4: Cho A 0 1 0 1 0 0 Từ kết quả của ví dụ 1, ta có: r(A λ1I) 1 3 2, r(A λ 2 I) 2 3 1 Vậy (theo định lý 8) A chéohóa được 1... λ k I) n m k thì A chéohóa được c) Nếu k : r(A λ k I) n m k thì A không chéohóa được Chú ý: Nếu A chéohóa được thì A được đưa về matrậnchéo B có dạng: λ1 λ2 a) B λn λ1 m1 λ1 b) B λp mp λp Để tìm matrận T không suy biến (det T 0) : B=T-1AT ta tiến hành bước tiếp sau: 3) Ứng với . Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA
TRẬN
5. 1. Trị riêng – vectơ riêng
5. 2. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận
5. 3. Ánh. RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN, ÁNH XẠ
TUYẾN TÍNH
1. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính.
1.1. Giá trị riêng, giá trị riêng của ma trận.