Giá trị riêng, vết của ma trận và một số ứng dụng

Bài viết tập trung trình bày mối liên hệ giữa các khái niệm giá trị riêng và vết của ma trận (Định lí 3), đồng thời nêu một vài ứng dụng của các khái niệm này vào ma trận và định thức.

2012I )  , suy   2012 trị riêng A Xét đa thức f ( x)  x 2013  , theo định lý thì: f ( A)  ( A  I )( A2012  A2011  A2010   I ) = 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 f ( A) nhận f (2012) làm trị riêng, f (2012)  20122013   vơ lý Ví dụ Cho ma trận A,B vuông cấp n, đặt C  AB – BA Giả sử C giao hoán với ma trận A, B Chứng tỏ rằng: a) Trace (C m )  0, m  N * b) Tồn số nguyên dương m cho C m  0n (ma trận không cấp n) Giải a).Với m nguyên dương thì: C m   AB – BA C m –1  A  BC m –1  –  BC  A m –1 Vậy ta ln có trace(C m )  0, m  N * b).Ta chứng minh trị riêng C Thật vậy, giả sử C có trị riêng khác không phân biệt 1 , 2 , ,k  C với λi có bội si >0 Từ giả thiết ta suy ra: s11  s22  s112  s222  s11k  s22k   sk k   sk k2   sk kk   trace(C )  trace(C )  trace(C k ) Ta có: D 1 2 k 12 22 k2   k k kk  12 k 1 1 2  k 1 2k 1 k kk 1 D  định thức vế phải định thức Vandermonde cấp k, với giá trị i phân biệt (xem [1], chuyên đề 4, trang 29 30) Vậy s1  s2   sk  , vơ lí Do trị riêng C tức P     det  C –  I    –  Suy n C n  0n Liên quan đến khái niệm đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vết ma trận nhiều ứng dụng thú vị khác lĩnh vực đại số tuyến tính, phạm vi viết giới thiệu ứng dụng nhằm gợi ý cho bạn sinh viên tiếp tục tìm hiểu thêm TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 20 [1] [2] [3] [4] [5] TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2014), Bài giảng đại số, Chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển Olympic sinh viên, Trường Đại học Phú yên Lê Hào (2011), Đa thức đặc trưng giá trị riêng, áp dụng để tìm lũy thừa ma trận, Tạp chí thông tin khoa học số 05, Đại học Phú yên năm 2011 Hội Toán học Việt Nam, Các đề thi Olympic sinh viên từ 2006 đến 2016, Hà nội Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Olympic (2012), Các chuyên đề tính định thức, Trường Đại học Kinh tế quốc dân, Hà nội Trần Nam Dũng (2009), Một số chuyên đề ma trận, Đại học KHTN Thành phố Hồ Chí Minh Abstract Eigen values, trace of matrices and applications In this article we would present the relationship between the Eigen values and trace of matrices (Theorem 3), simultaneously mention some applications of these concepts into the matrices and determinants Keywords: Eigen value, trace of matrix, determinant  ... quan đến khái niệm đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vết ma trận nhiều ứng dụng thú vị khác lĩnh vực đại số tuyến tính, phạm vi viết chúng tơi giới thiệu ứng dụng nhằm gợi ý cho bạn sinh viên tiếp... CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 f ( A) nhận f (2012) làm trị riêng, f (2012)  20122013   vô lý Ví dụ Cho ma trận A,B vng cấp n, đặt C  AB – BA Giả sử C giao hoán với ma trận A, B Chứng tỏ rằng:... đại số, Chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển Olympic sinh viên, Trường Đại học Phú yên Lê Hào (2011), Đa thức đặc trưng giá trị riêng, áp dụng để tìm lũy thừa ma trận, Tạp chí thơng tin khoa học số 05,