Về định lý Ramsey, các số Ramsey 2 màu và một số ứng dụng

Bài viết này nhằm mục đích tổng quan định lý Ramsey, các số Ramsey và một số vấn đề liên quan; Trên cơ sở đó xem xét ứng dụng của chúng vào trò chơi Ramsey và việc phát biểu một số bài toán sơ cấp hay và khó.

VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY MÀU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG NGUYỄN THÀNH THÁI Khoa Toán học GIỚI THIỆU Định lý Ramsey vấn đề liên quan đặt nhiều vấn đề thú vị phần lớn số vấn đề mở Bên cạnh đó, định lý Ramsey vấn đề liên quan có nhiều ứng dụng vào lĩnh vực khác Bài viết nhằm mục đích tổng quan định lý Ramsey, số Ramsey số vấn đề liên quan; sở xem xét ứng dụng chúng vào trị chơi Ramsey việc phát biểu số toán sơ cấp hay khó MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ Cho tập hợp V E tập hợp bao gồm tập phần tử V Khi đó, ta gọi cặp G = (V, E) đồ thị G với tập đỉnh V tập cạnh E Đồ thị đầy đủ đồ thị mà cặp đỉnh nối cạnh, kí hiệu Kn Đồ thị H gọi đồ thị đồ thị G V (H) ⊆ V (G) E(H) ⊆ E(G) Đồ thị H = (V (H), E(H)) G với V (H) = {x1 , x2 , xn } E(H) = {x1 x2 , x2 x3 xn−1 xn } gọi đường nối x1 với xn qua x2 , x3 , , xn−1 có độ dài n, kí hiệu P = x1 x2 xn Nếu tập E(H) có thêm cạnh xn x1 ta nói H n−chu trình qua x1 , x2 , , xn , kí hiệu C = x1 x2 xn x1 Đồ thị chu trình đồ thị mà có chu trình qua tất đỉnh ngồi khơng có cạnh khác, kí hiệu Cn Siêu đồ thị G = (V (H), E(H)) có tập đỉnh V (H) đồ thị thơng thường tập cạnh E(H) cạnh e ∈ E(H) tập V (H) (hay cạnh đường đi) Nếu tập cạnh siêu đồ thị G gồm đường độ dài n ta nói G siêu đồ thị n-đều Siêu đồ thị gọi n-đều đầy đủ tập cạnh chứa tất đường độ dài n Để biết thêm lý thuyết đồ thị người đọc tìm hiểu [1] Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013: tr 37-46 38 NGUYỄN THÀNH THÁI ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ CÁC SỐ RAMSEY Khi giảng lý thuyết Ramsey, Paul Erdos, nhà toán học lỗi lạc người đầu việc đề xuất vấn đề lý thuyết Ramsey, giới thiệu hai toán Bài toán thứ mang tên "Party problem" Nội dung toán người dự tiệc, liệu tìm người quen biết lẫn (đôi quen biết) người không quen biết lẫn hay không? Bài toán phát biểu tương đương với cách tô màu cạnh đồ thị đầy đủ đỉnh, liệu ta tìm tam giác màu? Và xa hơn, liệu với người dự tiệc, ta làm điều tương tự không? Lời giải câu hỏi đề cập tới số đỉnh nhỏ đồ thị đầy đủ mà với cách tô màu ln tìm tam giác màu, gọi số Ramsey, kí hiệu R(3, 3) Định lý Ramsey khẳng định với cách tô màu đồ thị (trong suốt viết này, nói đến tô màu đồ thị ta hiểu tô màu cạnh đồ thị) đầy đủ bậc đủ lớn, ta tìm đồ thị đầy đủ đồng màu Với số màu tô 2, định lý Ramsey phát biểu với số nguyên dương (m, n), tồn số nguyên dương nhỏ R(m, n) cho với cách tô màu cạnh đồ thị đầy đủ có R(m, n) đỉnh màu xanh đỏ, ln tồn đồ thị đầy đủ với m đỉnh màu xanh đồ thị đầy đủ với n đỉnh màu đỏ Định lý 3.1 Với số tự nhiên m, n > số R(m, n) tồn hữu hạn Định lý Ramsey trường hợp mở rộng cho nhiều màu Với số tự nhiên r > n1 , n2 , , nr > 1, số Ramsey R(n1 , n2 , , nr ) số tự nhiên n nhỏ cho với cách tô Kn (đồ thị đầy đủ bậc n) r màu (được đánh số [r] = {1, 2, , r}), tồn số m cho Kn có đồ thị Kim đồng màu m Định lý 3.2 Với n1 , n2 , , nr > 1, R(n1 , n2 , , nr ) tồn hữu hạn Thực chất định lý trường hợp đặc biệt định lý Ramsey cho siêu đồ thị Hai định lý Frank Plumpton Ramsey đưa báo "On a problem of formal logic" Proceedings London Mathematical Society năm 1928 (được đăng năm 1930) ngơn ngữ tập hợp, định lý cho siêu đồ thị vô hạn tổng quát Định lý 3.3 Cho số tự nhiên n1 , n2 , , nr , k > Khi đó, tồn số tự nhiên n thỏa mãn với cách tô màu đồ thị k-đều đầy đủ với n đỉnh r màu đánh số [r], tồn số i cho siêu đồ thị k-đều đầy đủ với ni đỉnh đồng màu i Số n nhỏ định lý gọi số Ramsey cho siêu đồ thị, kí hiệu Rk (n1 , n2 , , nr ) VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY MÀU 39 Định lý 3.4 Cho số tự nhiên n > G siêu đồ thị n-đều đầy đủ với số đỉnh vô hạn đếm Khi đó, tơ màu G hữu hạn màu tồn đồ thị n-đều đầy đủ với số đỉnh vô hạn đồng màu Bài toán thứ hai Erdos đặt giả sử phải trả lời xác giá trị R(5, 5) cho người hành tinh họ hủy diệt trái đất nên làm gì? Và thay R(5, 5) R(6, 6) sao? Với R(5, 5), Erdos nói tất nhà tốn học với máy tính trái đất cần làm việc để tìm lời giải Còn với R(6, 6), Erdos khuyên ta nên giành thời gian để nghĩ cách hủy diệt người hành tinh trước muộn! Bởi thực tế người ta 102 ≤ R(6, 6) ≤ 165 Việc nghiên cứu tất đồ thị tô màu với số đỉnh từ 102 đến 165 điều khơng tưởng Bằng phép tính đơn giản, số đồ thị 102 đỉnh cần nghiên cứu 2102 - số có 30 chữ số! Những nỗ lực khơng biết mệt mỏi nhà tốn học suốt gần kỉ qua mang lại hoi kết giá trị số Ramsey (xem [2], [7]) R(m, n) = R(n, m) với số nguyên m, n > R(2, n) = n với số nguyên n > R(3, 3) = 6, R(3, 4) = 9, R(3, 5) = 14, R(3, 6) = 18, R(4, 4) = 18 R(4, 5) = 25, R(3, 7) = 23, R(3, 8) = 28, R(3, 9) = 36 R(3, 3, 3) = 17 R3 (4, 4) = 13 Bản thân số Ramsey mục phía tìm nhờ hỗ trợ máy tính Sự khó khăn q lớn việc tìm giá trị số Ramsey cổ điển khiến số nhà toán học chuyển sang nghiên cứu số Ramsey cho loại đồ thị đặc biệt khác (thay đổi điều kiện phải tìm Km đồng màu thành tìm đồ thị G đồng màu) đem lại nhiều kết đáng ý (xem [7]) Những nhà toán học tiếp tục với số Ramsey cổ điển chuyển sang nghiên cứu chặn chặn số Ramsey (trong trường hợp tổng quát cụ thể) để tiến tới tìm giá trị xác chúng Định lý 3.5 (Erdos) Với số nguyên n > 1, n2n/2 √ ≤ R(n, n) e Dạng chung chặn Erdos với số c R(n, n) ≥ cn2n/2 Hằng số tốt √ e2 Theo chúng tơi biết dạng chặn tốt (xem [7],[6],[3]) c4k Định lý 3.6 R(n, n) ≤ √ với số c k 40 NGUYỄN THÀNH THÁI √ 1 Từ định lý 1.12 1.13 ta có ≤ lim inf R(n, n) n ≤ lim sup R(n, n) n ≤ Kết chặn tốt coi David Conlon (xem [8]) log(n−1) −c log log(n−1) R(n, n) ≤ (n − 1) 2n − n−1 Ngoài chặn chặn dưới, việc nghiên cứu chặn đệ quy (xem [6], [7]) cách xây dựng loại đồ thị phản ví dụ (đồ thị tồn cách tơ màu mà khơng tìm đồ thị đồng màu) đóng vai trị quan trọng Định lý sau Turan phát biểu năm 1941 (xem [3]) ví dụ việc xây dựng loại đồ thị nói Định lý 3.7 (Turan) Một đồ thị đầy đủ bậc n tô màu xanh đỏ không chứa (r − 2)n2 đồ thị Kr màu đỏ có số cạnh màu đỏ không vượt 2(r − 1) Với r = 3, số cạnh xanh không n4 x số ngun lớn khơng vượt x Các đồ thị phản ví dụ chặn liên quan đến R(3, n) nghiên cứu nhiều (xem [3]) ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ RAMSEY 4.1 Trò chơi Ramsey Trò chơi Ramsey phân chia thành loại: trò chơi Ramsey, trò chơi Sim trò chơi Pekec loại trò chơi bắt đầu với đồ thị Kn , đồ thị Km người chơi (hoặc nhiều người chơi trò chơi Ramsey) Mỗi người chơi với màu riêng (các màu đơi khơng trùng nhau) tô màu cạnh chưa tô Kn với điều kiện lượt tô cạnh Ở trò chơi Ramsey, người chơi cố gắng tạo đồ thị Km đồng màu Ở trị chơi Sim, người chơi cố gắng buộc đối thủ phải tạo Km đồng màu trước Và trò chơi Pekec, người cố gắng tạo Km đồng màu người cịn lại cố gắng ngăn chặn khơng cho người đạt mục đích Trị chơi kết thúc có người thắng khơng cịn nước Một số loại biến thể khác dạng trò chơi thay đổi Km đồ thị G (xét đến đẳng cấu), người cố gắng tạo đồ thị đồng màu người cố gắng ngăn chặn điều đó, người chơi cố gắng tạo dạng đồ thị khác (quy định trước xét đẳng cấu), trò chơi On-line Ramsey Một số kết tổng quát trò chơi (xem [4], [5]) Trong trò chơi Ramsey, tồn chiến lược để thắng người chơi thứ giành chiến thắng VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY MÀU 41 Trong trò chơi Pekec, n ≥ 2R(m, m) người chơi thứ (cố gắng tạo Km đồng màu) giành chiến thắng Ngoài ra, trò chơi Sim, người ta với n = người thứ hai thắng (xem [4]) Tuy nhiên, phát biểu chiến lược chơi cụ thể để thắng trị chơi tốn mở Sau đây, xem xét trường hợp với đồ thị cần tạo đơn giản, trị chơi Ramsey Pekec giống 1/ Đồ thị cần tạo K3 Trong trường hợp này, định lý Ramsey đồ thị đầy đủ bậc (hoặc bậc cao hơn) đảm bảo trò chơi kết thúc với người thắng Tuy nhiên, ta rằng, chơi với đồ thị K5 người thứ thắng với chiến lược thích hợp Người chơi thứ cần tơ màu cạnh Hình 1, nước sau Hình người thứ Hình 1: Người thứ tô màu cạnh liền nét Rõ ràng sau tơ màu cạnh với dạng Hình 1, người thứ chiến thắng lượt cho dù người chơi thứ chơi tiếp Với trường hợp đồ thị K5 cao hơn, sau lượt đi, người chơi thứ tơ màu cạnh Thật vậy, xét đỉnh bắt nguồn từ đỉnh bất kì, có cạnh Người chơi thứ tô màu cạnh Trước người thứ tô màu cạnh số cạnh này, người chơi thứ tạo K3 đồng màu (ở trò chơi Ramsey) lượt chơi thứ hai, người thứ hai cần phải chặn không cho người thứ tạo K3 Và vậy, trường hợp Hình khơng thể xảy ra, nước Hình người thứ Như vậy, sau nhiều lượt chơi (có thể người thứ hai chơi sai), người thứ thắng Điều đảm bảo sau lượt, số cạnh tô màu 42 NGUYỄN THÀNH THÁI Hình 2: Cách tơ màu sai người thứ hai số cạnh tơ 10 (ứng với K5 ) 2/ Đồ thị cần tạo C4 Định lý Ramsey với đồ thị K6 cao đảm bảo chiến thắng cho người trò chơi kết thúc Chiến lược người chơi thứ tô màu để tạo đỉnh bậc với màu (để tạo nên chu trình) Đầu tiên, ta thấy rằng, người thứ tạo dạng đồ thị sau, nước người thứ 2, lượt chơi tiếp theo, người thứ thắng Dĩ nhiên, dạng hình trên, có thêm cạnh tơ màu người thứ việc chiến thắng dễ dàng Để tạo dạng trên, trước hết người thứ cần tạo tam giác đồng màu Đối với đồ thị K6 bậc cao hơn, việc diễn vòng tối đa lượt chơi Thật vậy, sau lượt chơi đầu tiên, có trường hợp xảy Người chơi thứ tô màu cạnh ij jk mà cạnh ki chưa người thứ hai tô Trong trường hợp này, người thứ tiếp tục tô màu cạnh kl để buộc người thứ hai phải tô màu cạnh li nước (lượt thứ người thứ hai) Điều giúp người thứ chủ động nước (nếu khơng lượt thứ người thứ phải chặn việc tạo C4 người thứ hai Trong lượt thứ 4, người chơi thứ việc tô màu cạnh ki Người chơi thứ tô màu cạnh ij jk mà cạnh ki người thứ hai tô (ở lượt chơi thứ mình) Khi người chơi thứ tiếp tục tô màu cạnh jl Như vậy, nước người thứ hai nào, người thứ tạo tam giác đồng màu VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY MÀU 43 Hình 3: Lượt chơi trước thắng Sau tạo tam giác đồng màu ijki, có đỉnh l ngồi i, j, k mà cạnh nối với đỉnh i, j, k chưa người thứ tơ, người thứ tô màu cạnh il, jl, kl tạo dạng hình (trường hợp bên phải) Do đó, trường hợp này, sau tối đa lượt chơi, người thứ thắng Điều đảm bảo có tối đa 11 cạnh tơ số 15 cạnh tơ Trường hợp ngược lại diễn đồ thị K6 nghĩa người thứ tạo tam giác ijk người thứ hai tô màu cạnh ii , jj , kk Lúc người thứ việc tô màu cạnh ij nước tiếp theo, buộc người thứ hai phải tô màu cạnh j k Người chơi thứ tiếp tục tô màu cạnh jk để tạo dạng hình chiến thắng lượt chơi Điều đảm bảo sau tối đa lượt chơi, số cạnh tô 13 số 15 cạnh tơ 4.2 Các tốn sơ cấp Trong mục giới thiệu số toán sơ cấp phát biểu từ kết chứng minh định lý Ramsey Đầu tiên số toán mà chứng minh suy trực tiếp từ kết số Ramsey Bài toán (Trung Quốc 2005 ) Có n học sinh nhập học Cứ người có người quen Cứ người có người khơng quen Giá trị lớn n bao nhiêu? 44 NGUYỄN THÀNH THÁI HD: n = R(3, 4) − = Bài toán (IMO 1964 ) Có 17 nhà bác học trao đổi thư từ với người trao đổi thư với tất người lại Họ trao đổi với vấn đề thư cặp trao đổi vấn đề Chứng minh có nhà bác học trao đổi vấn đề HD: R(3, 3, 3) = 17 Bài toán Người ta xây dựng số đường giao thông thành phố cho thành phố có không đường giao thông Chứng minh tìm thành phố cho từ thành phố số thành phố có đường qua thành phố cịn lại trở mà khơng cần qua thành phố khác, tìm thành phố mà số đường trực tiếp chúng khơng có thành phố có đường Nếu thay điều xảy khơng? HD: R(C4 , C4 ) = Sử dụng kĩ thuật chứng minh định lý Ramsey vấn đề liên quan, ta xây dựng toán hay khó Bài tốn (IMO 1992 ) Trong khơng gian cho điểm khơng có điểm đồng phẳng Giữa điểm ta nối n cạnh (n ≤ 36) tơ màu xanh đỏ Tìm n nhỏ để tồn tam giác đồng màu HD: n = 33 Sử dụng kĩ thuật chứng minh xây dựng đồ thị phản ví dụ với R(3, 3) = Bài tốn Có 18 đội bóng tham gia vào giải đấu vòng tròn lượt (2 đội gặp trận) Chứng minh sau vịng đấu tìm đội bóng mà khơng có đội gặp HD: Lập luận tương tự chứng minh R(3, 3) = Bài toán (Nhật Bản 1998 ) Trong đất nước có 1998 thành phố người ta xây dựng đường giao thông nối thành phố cho thành phố có nhiều đường giao thông (nối trực tiếp) thành phố có thành phố khơng có đường giao thơng Số đường giao thơng lớn bao nhiêu? HD: 998001 Sử dụng định lý Turan Bài toán Cho số thực x1 , x2 , , xn Chứng minh có khơng q cho a < |xi − xj | < 2a với a > cho trước n2 cặp (i, j) VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY MÀU 45 HD: Xét đồ thị n đỉnh đánh số x1 , x2 , , xn Một cạnh nối đỉnh thỏa mãn a < |xi − xj | < 2a Bài tốn (Mỹ 1978 ) Có n nhà khoa học tham dự hội nghị Mỗi nhà khoa học biết nhiều k ngôn ngữ Cứ nhà khoa học có người nói chuyện với (biết chung ngơn ngữ) Tìm n nhỏ theo k cho ta ln tìm ngôn ngữ mà ngôn ngữ ngôn ngữ chung nhà khoa học HD: n = 2k + Xét đồ thị có đỉnh tương ứng với nhà khoa học cạnh nối đỉnh ứng với nhà khoa học khơng có ngơn ngữ chung Một ý tưởng tự nhiên khác là: ta biết với cách tô màu đồ thị K6 , ln tìm K3 đồng màu Vậy tìm K3 đồng màu? Câu trả lời có đồ thị K3 đồng màu Tổng quát câu hỏi ta kết quả: Với cách tô màu đồ thị Kn ln tìm n(n − 1)(n − 5) đồ thị K3 đồng màu Một toán sử dụng ý tưởng 24 Bài tốn (Tạp chí AMM ) Chứng minh đồ thị bù đồ thị không chứa K3 với n đỉnh m cạnh có n(n − 1)(n − 5) n2 − n + (m − ) 24 n tam giác HD: Số tam giác m = n − n di (n − di − 1) với di bậc đỉnh i i=1 Bài tốn 10 Có 2013 nhà khoa học từ quốc gia đến tham dự hội nghị xếp ngồi theo ghế có đánh số thứ tự từ đến 2013 Chứng minh tìm nhà khoa học đến từ quốc gia cho số ghế người tổng số ghế người cịn lại, tìm nhà khoa học đến từ quốc gia mà số ghế người gấp đôi số ghế người lại HD: Đặt nk = k!(1 + 1!1 + 2!1 + + k! ) + Chứng minh với cách tô k màu đồ thị Knk ta ln tìm tam giác đồng màu Dựa ý tưởng ma trận kề (liên kết) với đồ thị (ma trận vuông có aij = đỉnh i, j đồ thị nối, ngược lại aij = 0) Bài tốn 11 Hãy tìm ma trận vng A cấp 17, có giá trị riêng gồm phần tử 0, cho không tồn i, j, k, l mà aij = ajk = akl = ali = 46 NGUYỄN THÀNH THÁI HD: Xây dựng ma trận kề với đồ thị phản ví dụ R(4, 4) (đồ thị Paley) Bài toán 12 Cho ma trận vng A cấp 18, đối xứng có phần tử thỏa mãn đường chéo tồn số khơng tồn i, j, k cho aij = ajk = aki = Chứng minh A có giá trị riêng giá trị riêng lớn Chứng minh tồn i, j, k, l cho aij = ajk = akl = ali = nữa, tồn i1 , i2 , , i6 cho aij ik = với j, k ∈ {1, 2, , 6} HD: Dùng kết chứng minh R(3, 6) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Reinhard Diestel (2005), Graph Theory, Electronic Edition, Springer-Verlag Heidelberg, New York [2] Bruce M.Landman Aaron Robertson (2003), Ramsey Theory on the Integers, Student Mathematical Library Volume 24, American Mathematical Society [3] Alexander Soifer (2010), Ramsey Theory: Yesterday, Today and Tomorrow, Springer [4] Wolfgang Slany (1999), Graph Ramsey games, DBAI Technical Report [5] Aleksandar Pekec (1996), A winning strategy for the Ramsey graph game, Combinatorics, Probability and Computing, 5(3), 267-276 [6] F.R.K.Chung C.M.Grinstead (1983), A Survey of Bounds for Classical Ramsey Numbers, Journal of Graph Theory, 7, 25-37 [7] Stanislaw P.Radziszowski (2006), Small Ramsey Numbers, The Electronic Journal of Combinatorics [8] David Conlon (2009), A New Upper Bound for Diagonal Ramsey Numbers, Annals of Mathematics, 170(2), 941-960 [9] Titu Andreescu, Zuming Feng George Lee Jr (1996-2001), Mathematical Olympiads - Problems and Solutions From Around the World, The Mathematical Association of America [10] Các đề thi từ http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php NGUYỄN THÀNH THÁI SV lớp Toán 3B, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 01677391898, Email: sala_inception_sala@yahoo.com ... đỉnh r màu đánh số [r], tồn số i cho siêu đồ thị k-đều đầy đủ với ni đỉnh đồng màu i Số n nhỏ định lý gọi số Ramsey cho siêu đồ thị, kí hiệu Rk (n1 , n2 , , nr ) VỀ ĐỊNH LÝ RAMSEY, CÁC SỐ RAMSEY. .. mà với cách tơ màu ln tìm tam giác màu, gọi số Ramsey, kí hiệu R(3, 3) Định lý Ramsey khẳng định với cách tô màu đồ thị (trong suốt viết này, nói đến tơ màu đồ thị ta hiểu tô màu cạnh đồ thị)... màu xanh đồ thị đầy đủ với n đỉnh màu đỏ Định lý 3.1 Với số tự nhiên m, n > số R(m, n) tồn hữu hạn Định lý Ramsey trường hợp mở rộng cho nhiều màu Với số tự nhiên r > n1 , n2 , , nr > 1, số