Bài giảng Toán rời rạc: Định lý Ramsey - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Định lý Ramsey cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Lý thuyết Ramsey, chứng minh định lý Ramsey, cận trên của số Ramsey, ví dụ và Tổng quát hoá. Mời các bạn cùng tham khảo.

CuuDuongThanCong.com Định lý Ramsey Trần Vĩnh Đức HUST https://fb.com/tailieudientucntt which often first manifest themselves inconspicuously, as seemingly irrelevant curiosities In this chapter we discuss one such peculiarity, concerning graphs with a mere vertices We begin with the following popular form of the result Six people Khẳng định Some of them know each other, some of them don’t, meet at a party perhaps another for the Trong because số ngườithey lnsee có one ba người đơi quenfirst nhautime The ba party may lookđôi according to one of the following schemes, for example: người lạ party 50 years after graduation CuuDuongThanCong.com lonely hearts party https://fb.com/tailieudientucntt party of admirers meeting of two mafia bosses Bài tập Hãy chứng minh người ln có người đôi quen người đôi không quen CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lý thuyết Ramsey Lý thuyết Ramsey, theo tên nhà toán học người Anh, Frank Plumpton Ramsey Hình: F P Ramsey (1903-1930) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khẳng định Trong sáu người tồn ba người cho họ quen đôi họ không quen đôi Viết lại khẳng định cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũi tên” sau: K6 → K3 , K3 với ý nghĩa ▶ K6 = “6 đối tượng 15 cặp không thứ tự để thể quan hệ (quen lạ) đối tượng này” ▶ K3 , K3 = “Ba đối tượng quen đôi một”, “Ba đối tượng không quen đôi một” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu Kn Kn = “một tập n đối tượng cặp không thứ tự (cạnh) đối tượng này” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu mũi tên ▶ Nếu ta xem cặp không thứ tự cạnh Cặp đối tượng quen xem cạnh tô màu xanh Cặp đối tượng không quen cạnh tô màu đỏ ▶ Vậy K6 → K3 , K3 có nghĩa “Dù có tơ xanh đỏ cạnh K6 ta ln tìm K3 có tồn cạnh đỏ K3 toàn cạnh xanh” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chứng minh K6 → K3 , K3 ▶ Xét đối tượng p K6 Vì có cạnh liên quan đến p có mầu đỏ xanh nên có cạnh màu Ta giả sử cạnh màu đỏ (Nếu màu xanh ta lập luận tương tự.) Có ba đối tượng a, b, c nối với p qua ba cạnh đỏ ▶ ▶ CuuDuongThanCong.com Bây giờ, tồn cạnh nối a − b a − c b − c có màu đỏ, p ta K3 đỏ Nếu khơng ta K3 xanh liên quan đến a, b, c https://fb.com/tailieudientucntt a b c K5 ̸→ K3 , K3 Khẳng định K5 → K3 , K3 sai có cách tơ màu cạnh K5 không tạo K3 đỏ K3 xanh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Câu hỏi Giả sử Kn → Ka , Kb Giải thích Kp → Ka , Kb với p > n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (Ramsey) Với hai số nguyên m ≥ n ≥ 2, tồn số nguyên dương p cho Kp → Km , Kn Cho trước số nguyên m n, ln có số ngun dương p cho, tô màu xanh đỏ lên cạnh Kp ln tìm Km đỏ Kn xanh Rõ ràng, với q ≥ p ta ln có CuuDuongThanCong.com Kp → Km , Kn ⇒ Kq → Km , Kn https://fb.com/tailieudientucntt Số Ramsey ▶ Số nguyên p nhỏ cho Kp → Km , Kn gọi số Ramsey ▶ Số Ramsey p ký hiệu r(m, n) Ví dụ Ta có r(3, 3) = CuuDuongThanCong.com K6 → K3 , K3 K5 ̸→ K3 , K3 https://fb.com/tailieudientucntt Câu hỏi Giải thích ta ln có r(a, b) = r(b, a) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Tính số Ramsey sau r(2, n) = r(n, 2) r(3, 4) = r(4, 3) r(3, 5) = r(5, 3) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (Ramsey, dạng đơn giản) Với hai số nguyên m ≥ n ≥ 2, tồn số nguyên dương p cho Kp → Km , Kn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chứng minh định lý Ramsey ▶ ▶ Ta tồn r(m, n) quy nạp theo m n Bước sở: ▶ ▶ CuuDuongThanCong.com Nếu m = r(2, n) = n, n = r(m, 2) = m https://fb.com/tailieudientucntt Bước quy nạp ▶ Giả sử m ≥ n ≥ tồn r(m, n − 1) r(m − 1, n) ▶ Đặt p = r(m − 1, n) + r(m, n − 1) ▶ Ta Kp → Km , Kn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chứng minh Kp → Km , Kn ▶ Xét điểm x Kp Đăt Rx tập điểm nối với x cạnh màu đỏ, Bx tập điểm nối với x cạnh màu xanh ▶ Vậy |Rx | + |Bx | = p − = r(m − 1, n) + r(m, n − 1) − |Rx | ≥ r(m − 1, n), |Bx | ≥ r(m, n − 1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... mafia bosses Bài tập Hãy chứng minh người ln có người đôi quen người đôi không quen CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lý thuyết Ramsey Lý thuyết Ramsey, theo tên nhà toán học... Plumpton Ramsey Hình: F P Ramsey (190 3-1 930) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khẳng định Trong sáu người tồn ba người cho họ quen đôi họ không quen đôi Viết lại khẳng định cách... https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Tính số Ramsey sau r(2, n) = r(n, 2) r(3, 4) = r(4, 3) r(3, 5) = r(5, 3) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (Ramsey, dạng đơn giản) Với