Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị Hamilton - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị Hamilton cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Định nghĩa (Đồ thị nửa Hamilton), định lý (Ore), chứng minh định lý Ore, định lý (Dirac), mã Gray. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

CuuDuongThanCong.com Đồ thị Hamilton Trần Vĩnh Đức Ngày 11 tháng năm 2016 https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Tài liệu tham khảo ▶ Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội, 2004 ▶ Douglas B West Introduction to Graph Theory 2nd Edition, 2000 ▶ K Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học (Bản dịch Tiếng Việt) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Đi vòng quanh giới CuuDuongThanCong.com 10.5 Euler (a) (b) FIGURE Hamilton’s “A Voyage Round the World” Puzzle FIGU the “A World Because the author cannot supply each reader with a wooden solid w will consider the equivalent question: Is there a circuit in the graph sho https://fb.com/tailieudientucntt passes through each vertex exactly once? This solves the puzzle because / 24 th Con Mã bàn cờ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Con Mã bàn cờ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Định nghĩa (Đồ thị nửa Hamilton) ▶ Một đường đồ thị G gọi đường Hamilton chứa tất đỉnh G ▶ Một đồ thị gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton Nói cách khác, đồ thị nửa Hamilton đồ thị có đường bao trùm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Solution: G1 has a Hamilton circuit: a, b, c, d, e, a There is no Hamilton circuit in G be seen by noting that any circuit containing every vertex must contain the edge {a but G2 does have a Hamilton path, namely, a, b, c, d G3 has neither a Hamilton c Hamilton Ví dụ path, because any path containing all vertices must contain one of the ed {e, f }, and {c, d} more than once Đồ thị nửa Hamilton? a b e a c d b a b c d c G2 G1 g e f G3 d FIGURE 10 Three Simple Graphs CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF HAMILTON CIRCUITS Is there a to determine whether a graph has a Hamilton circuit or path? At first, it might seem should be an easy way to determine this, because there is a simple way to answer question of whether a https://fb.com/tailieudientucntt graph has an Euler circuit Surprisingly, there are no kno CuuDuongThanCong.com / 24 Định nghĩa (Đồ thị Hamilton) ▶ Một chu trình đồ thị G gọi chu trình Hamilton chứa tất đỉnh G ▶ Một đồ thị gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton Nói cách khác, đồ thị Hamilton đồ thị có chu trình bao trùm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 24 Solution: G1 has a Hamilton circuit: a, b, c, d, e, a There is no Hamilton circuit in G be seen by noting that any circuit containing every vertex must contain the edge {a but G2 does have a Hamilton path, namely, a, b, c, d G3 has neither a Hamilton c Hamilton Ví dụ path, because any path containing all vertices must contain one of the ed {e, f }, and {c, d} more than once Đồ thị Hamilton? a b e a c d b a b c d c G2 G1 g e f G3 d FIGURE 10 Three Simple Graphs CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF HAMILTON CIRCUITS Is there a to determine whether a graph has a Hamilton circuit or path? At first, it might seem should be an easy way to determine this, because there is a simple way to answer question of whether a https://fb.com/tailieudientucntt graph has an Euler circuit Surprisingly, there are no kno CuuDuongThanCong.com / 24 raphs Ví dụ Đồ thị Hamilton? Nếu khơng, có nửa Hamilton? MPLE CuuDuongThanCong.com a d e a d c b c b G e H FIGURE 11 Two Graphs That Do Not Have a H Show that neither graph displayed in Figure 11 has a https://fb.com/tailieudientucntt 10 / 24 Ví dụ Chứng minh đồ thị đầy đủ Kn có chu trình Hamilton với n ≥ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 / 24 Mệnh đề Nếu G = (V, E) có chu trình Hamilton, với tập đỉnh khác rỗng S ⊆ V, đồ thị thu từ G cách xóa đỉnh thuộc S có nhiều |S| thành phần liên thông Chứng minh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 / 24 Ví dụ Đồ thị sau có phải Hamilton khơng? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 / 24 Ví dụ Đồ thị sau điều kiện cần trước điều kiện đủ Tại sao? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 14 / 24 Bài tập Alice Bob nhìn trộm đề thi Toán Rời Rạc thầy Đức Alice thấy thầy mô tả đồ thị với 17 đỉnh 129 cạnh; Bob thấy thầy hỏi xem đồ thị có chu trình Hamilton khơng - Bob nói rằng: ”không cần biết chi tiết đồ thị thầy vẽ nào, chắn đồ thị có chu trình Hamilton.” - Cịn Alice nói: ”Nếu khơng biết chi tiết khơng thể định đồ thị có chu trình Hamilton hay khơng.” Ai đúng, sai? Bạn giải thích CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 15 / 24 Định lý (Ore) Giả sử G đơn đồ thị với n ≥ đỉnh thỏa mãn: với cặp đỉnh khơng liền kề u v, ta có deg(u) + deg(v) ≥ n, G đồ thị Hamilton CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 16 / 24 Chứng minh định lý Ore ▶ Giả sử định lý không ▶ Tồn đồ thị G = (V, E) với n đỉnh có nhiều cạnh thỏa mãn điều kiện định lý Ore không Hamilton Tại sao? ▶ Vì G có nhiều cạnh nên đồ thị thu cách thêm cạnh nối hai đỉnh khơng kề phải có chu trình Hamilton chứa cạnh thêm Tại sao? ▶ Vậy hai đỉnh G nối với đường Hamilton CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 17 / 24 Chứng minh (tiếp) ▶ Vì đồ thị Kn có chu trình Hamilton nên G ̸= Kn ▶ Vậy tồn hai đỉnh v1 không kề G, ▶ tồn đường Hamilton: CuuDuongThanCong.com v1 v2 vn−1 https://fb.com/tailieudientucntt 18 / 24 Chứng minh (tiếp) ▶ Giả sử v1 kề với k đỉnh là: vi1 , vi2 , · · · , vik = i1 < i2 < · · · < ik ▶ Đỉnh kề với đỉnh vij −1 (2 ≤ j ≤ k) khơng tồn chu trình Hamilton: CuuDuongThanCong.com v1 v2 vij −1 vij https://fb.com/tailieudientucntt vn−1 19 / 24 Chứng minh (tiếp) v1 ▶ v2 vij −1 vij vn−1 Vậy khơng kề với k đỉnh {vi1 −1 , vi2 −1 , , vik −1 , } Tức deg(vn ) ≤ n − − k ▶ Nhưng CuuDuongThanCong.com n ≤ deg(v1 ) + deg(vn ) ≤ k + (n − − k) = n − https://fb.com/tailieudientucntt 20 / 24 ... Định nghĩa (Đồ thị nửa Hamilton) ▶ Một đường đồ thị G gọi đường Hamilton chứa tất đỉnh G ▶ Một đồ thị gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton Nói cách khác, đồ thị nửa Hamilton đồ thị có đường... Định nghĩa (Đồ thị Hamilton) ▶ Một chu trình đồ thị G gọi chu trình Hamilton chứa tất đỉnh G ▶ Một đồ thị gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton Nói cách khác, đồ thị Hamilton đồ thị có chu... https://fb.com/tailieudientucntt 14 / 24 Bài tập Alice Bob nhìn trộm đề thi Tốn Rời Rạc thầy Đức Alice thấy thầy mô tả đồ thị với 17 đỉnh 129 cạnh; Bob thấy thầy hỏi xem đồ thị có chu trình Hamilton khơng - Bob nói rằng: