Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị phẳng - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị phẳng cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Định nghĩa đồ thị phẳng, định lý (Công thức Euler), chứng minh công thức Euler, định lý (Bất đẳng thức cạnh đỉnh), chứng minh bất đẳng thức cạnh đỉnh,… Mời các bạn cùng tham khảo.

CuuDuongThanCong.com Đồ thị phẳng Trần Vĩnh Đức HUST Ngày tháng năm 2016 https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Tài liệu tham khảo ▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer, Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí) ▶ K Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học (Bản dịch Tiếng Việt) ▶ Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội, 2004 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Giới thiệu CuuDuongThanCong.com way to represent this graph in a plane without any edges crossing? FIGURE Three Houses and Three Utilities https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Định nghĩa Một đồ thị gọi phẳng ta vẽ mặt phẳng mà khơng có cạnh cắt Hình vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị FIGURE The FIGURE The Graph K Graph K4 CuuDuongThanCong.com FIGURE K4 Drawn FIGURE K4 Drawn with No Crossings with No Crossings https://fb.com/tailieudientucntt / 36 wn Ví dụ 10.7 Planar Graphs 719 10.7 Planar Graphs 719 FIGURE The FIGURE The Graph Q3 Graph Q3 CuuDuongThanCong.com FIGURE A Planar FIGURE A Planar Representation of Q3 Representation of Q3 https://fb.com/tailieudientucntt / 36 R22in, an as shown in Figure R21beand anar We will give an example to showsubregions, how this can done ad develop some general results that can be used to this Ví dụ v , planar? Đồ thị K3,3 : v1 v2 v3 draw K3,3 in the plane with no edges crossing is doomed We now presentation of K3,3 , the vertices v1 and v2 must be connected to both s form a closed curve that splits the plane into two regions, R1 and a) The vertex v3 is in either R1 or R2 When v3 is in R2 , the inside ges between v3 and v4 and between v3 and v5 separate R2 into two v4 v5 v6 s shown in Figure 7(b) khơng phẳng FIGURE The Graph K CuuDuongThanCong.com v F 3,3 v1 v5 v1 v5 R21 R2 R1 v3 R1 R22 v4 v2 v4 (a) v2 (b) https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Proof: First, we specify a planar representati a sequence of subgraphs G1 , G2 , , Ge = is done using the following inductive defini Euler chứng minh G biểu diễn phẳngby củaarbitrarily đồ thị Gn−1 adding a Obtain n from chia mặt phẳng thành số miền CuuDuongThanCong.com R4 R2 R6 R3 R1 R5 FIGURE The Regions of the Planar R https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Định lý (Công thức Euler) Cho G đồ thị phẳng liên thông với e cạnh v đỉnh Gọi r số miền biểu diễn phẳng G Khi CuuDuongThanCong.com r = e − v + https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Ví dụ Xét đồ thị phẳng liên thơng có 20 đỉnh, đỉnh có bậc Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền? ▶ Tổng bậc 3v = × 20 = 60 ▶ Số cạnh e = 30 ▶ Theo công thức Euler CuuDuongThanCong.com r = e − v + = 30 − 20 + = 12 https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Chứng minh công thức Euler ▶ Ta chứng minh quy nạp theo số miền r ▶ Nếu r = đồ thị khơng có chu trình Tại sao? ▶ Vậy e = v − ▶ Giả sử định lý với r > CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 / 36 ... https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Định nghĩa Một đồ thị gọi phẳng ta vẽ mặt phẳng mà khơng có cạnh cắt Hình vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị FIGURE The FIGURE The Graph K Graph K4 CuuDuongThanCong.com... Euler) Cho G đồ thị phẳng liên thông với e cạnh v đỉnh Gọi r số miền biểu diễn phẳng G Khi CuuDuongThanCong.com r = e − v + https://fb.com/tailieudientucntt / 36 Ví dụ Xét đồ thị phẳng liên thơng... ngắn đồ thị gọi chu vi nhỏ đồ thị Nếu đồ thị khơng tồn chu trình, chu vi nhỏ G định nghĩa ∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18 / 36 Định lý (Bất đẳng thức cạnh đỉnh) Trong đồ