Chương 4: Chéo hoá ma trận potx

3 BÀI GIẢNG TÓM TẮT MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) CHƯƠNG 4 CHÉO HÓA MA TRẬN §1. TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 4.1. Đònh nghóa: Cho ma trận A ∈ M n (R) và véctơ u = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , ta đònh nghóa: 11 12 1n 21 22 2n 1 2 n n1 n2 nn 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n n1 1 n2 2 nn n a a a a a a Au (x , x , , x ) a a a (a x a x a x ,a x a x a x , , a x a x a x ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + + + + + + + + + Ta nói số thực λ là một trò riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ u = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n \{0} sao cho: Au = λu. Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của A ứng với trò riêng λ. 1.2. Ví dụ: 1) Cho 3 0 A 0 1 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ta có: 3 0 A (1, 0) (1, 0) (3,0) 3(1,0) 0 1 ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Do đó λ = 3 là một trò riêng của A và u = (1,0) là một vectơ riêng ứng với trò riêng λ = 3. 2) Ma trận không 0 ∈ M n (R) chỉ có trò riêng λ = 0 và mọi u ∈ R n \{0} đều là vectơ riêng của 0. 3) Ma trận đơn vò I ∈ M n (R) chỉ có trò riêng λ = 1 và mọi vectơ u ∈ R n \{0} đều là vectơ riêng của I. 1.3. Nhận xét: 1) Vectơ riêng phải là vectơ khác 0. 4 2) Nếu u là vectơ riêng của A thì trò riêng tương ứng với nó là duy nhất. 3) Nếu u và v là các vectơ riêng ứng với trò riêng λ thì αu + v cũng là vectơ riêng ứng với trò riêng λ (α ∈ R). 1.4. Không gian riêng: Cho ma trận A ∈ M n (R) và λ ∈ R là một trò riêng của A. Đặt: V(λ) = n 1 2 n {u (x ,x , , x ) F A u u}= ∈ = λ , nghóa là V(λ) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của A ứng với trò riêng λ. Khi đó, theo Nhận xét 1.3, V(λ) là một không gian con của R n . Ta gọi V(λ) là không gian riêng của A ứng với trò riêng λ. 1.5. Đònh nghóa: Cho ma trận A ∈ M n (R). Đa thức bậc n theo λ đònh bởi: 11 12 1n 22 22 2n A nn nn nn a a a a a a ( ) det(A I) aa a −λ −λ ϕ λ = − λ = −λ được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. 1.6. Đònh lý: Số thực λ là trò riêng của A ∈ M n (R) khi và chỉ khi λ là nghiệm của đa thức đặc trưng ϕ A (λ). Nhận xét: Không gian riêng V(λ) của ma trận A ứng với trò riêng λ chính là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1). Từ đònh lý trên ta suy ra thuật toán sau: 1.7. Thuật toán tìm trò riêng, vectơ riêng và không gian riêng của ma trận: 1) Lập đa thức đặc trưng ϕ A (λ) = |A – λI|. 2) Giải phương trình ϕ A (λ) = 0 để tìm các trò riêng của ma trận A. 3) Ứng với mỗi trò riêng λ, không gian riêng V(λ) là không gian nghiệm của phương trình Au = λu, nghóa là của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1). Ví dụ: Cho ma trận thực A = 3 3 2 1 1 2 3 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ .Tìm trò riêng và vectơ riêng của A. Xác đònh cơ sở, số chiều của các không gian riêng tương ứng. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vuihoc24h.vn 5 Giải. - Đa thức đặc trưng: 2 A () (4 )( 4)ϕλ= −λλ+ - Trò riêng: Ma trận A chỉ có một trò riêng λ 1 = 4. - Không gian riêng V(λ 1 ) ứng với trò riêng λ 1 = 4 là không gian nghiệm của hệ: 123 1123 12 3 x3x2x 0 Au u x 3x 2x 0 (1) 3x x 4x 0 −+ + = ⎧ ⎪ =λ ⇔ − − = ⎨ ⎪ −−− = ⎩ Giải hệ (1), ta tìm được nghiệm tổng quát (x 1 , x 2 , x 3 ) =(-α, -α, α) với α ∈ R tùy ý. Vậy: V(λ 1 )= = < (-1, -1, 1) >. Suy ra V(λ 1 ) có dim V(λ 1 ) = 1 với cơ sở {(-1, -1, 1)}. §2. CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. Đònh nghóa: Ma trận A ∈ M n (R) gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghòch P ∈ M n (R) sao cho P -1 AP = D với D là một ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A. 2.2. Đònh lý: Ma trận A ∈ M n (R) chéo hóa được khi và chỉ khi hai tính chất sau được thỏa: 1) Đa thức đặc trưng ϕ A (λ) được phân tích thành tích các đa thức bậc 1: 12 k rr r n A12k ( ) = (-1) ( - ) ( - ) ( - )ϕλ λλ λλ λλ . 2) Với mỗi trò riêng λ i (1 ≤ i ≤ k), không gian riêng i V ()λ có dim i V ()λ = r i (= số bội của λ i trong ϕ A (λ)). Hơn nữa, khi đó gọi B i là cơ sở của V(λ i ) (1 ≤ i ≤ k) và đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong B 1 , B 2 , , B k thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và: 6 1.3. Hệ quả: Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trò riêng phân biệt thì A chéo hóa được. 1.4. Thuật toán chéo hóa ma trận: Cho A ∈ M n (R). Thuật toán khảo sát tính chéo hóa được của A và xác đònh ma trận P làm chéo hóa A cũng như dạng chéo của A (trường hợp A chéo hóa được) gồm các bước sau: Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng ϕ A (λ). • Nếu ϕ A (λ) không thể phân tích được thành tích các đa thức bậc 1 thì A không chéo hóa được và thuật toán kết thúc. • Trường hợp ngược lại, phân tích ϕ A (λ) thành tích các đa thức bậc 1: 12 k rr r n A12k ( ) = (-1) ( - ) ( - ) ( - )ϕλ λλ λλ λλ và chuyển sang Bước 2. Bước 2: Tìm các trò riêng λ i cùng với các số bội r i tương ứng (1 ≤ i ≤ k). Bước 3: Với mỗi 1 ≤ i ≤ k, tìm cơ sở B i và số chiều dimV(λ i ) của các không gian riêng V(λ i ): • Nếu tồn tại 1 ≤ i ≤ k sao cho dimV(λ i ) < r i thì A không chéo hóa được và thuật toán kết thúc. • Trường hợp ngược lại, ta có dimV(λ i ) = r i với mọi 1 ≤ i ≤ k và A chéo hóa được, sau đó chuyển sang Bước 4. Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong B 1 , B 2 , , B k thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P -1 AP có dạng chéo như trong Đònh lý 5.2. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vuihoc24h.vn 7 Nhận xét: Do mỗi không gian riêng đều có số chiều dương nên nếu λ i là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì luôn luôn có dimV(λ i ) = 1(= r i ). Do đó, nếu chỉ cần biết A có chéo hóa được hay không (mà không cần tìm ma trận P làm chéo hóa A cũng như dạng chéo của A) thì ở Bước 3 ta chỉ cần so sánh các số chiều dimV(λ i ) với các số bội r i ứng với các trò riêng λ i có số bội r i > 1. Ví dụ 1: Các ma trận sau đây có chéo hóa được không? a) 34 2 A 24 2 211 −− ⎛⎞ ⎜⎟ =− − ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ b) 300 A020 012 ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ c) 20 2 A 03 0 00 3 − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ d) 332 A112 310 ⎛⎞ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ −− ⎝⎠ Giải: a) ϕ A (λ) = |A – λI| = - (λ 2 – 1)(λ - 2). Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm phân biệt, tức ma trận A có 3 trò riêng phân biệt. Vì A là ma trận vuông cấp 3 và có 3 trò riêng phân biệt nên A chéo hóa được. b) ϕ A (λ) = |A – λI| = -(λ-3)(λ-2) 2 . A có 2 trò riêng λ 1 = 3 (bội 1), λ 2 = 2 (bội 2). Để khảo sát tính chéo hóa của A ta chỉ cần xét dimV(λ 2 ) ứng với trò riêng λ 2 = 2 (bội 2) (không cần xét dimV(λ 1 ) vì trò riêng λ 1 = 3 là nghiệm bội 1). Qua tính toán ta thấy dimV(λ 2 ) = 1 < 2 (= số bội của λ 2 ). Do đó A không chéo hóa được. c) ϕ A (λ) = |A – λI| = -(λ-2)(λ-3) 2 A có 2 trò riêng λ 1 = 2 (bội 1), λ 2 = 3 (bội 2). Để khảo sát tính chéo hóa của A ta chỉ cần xét dimV(λ 2 ) ứng với trò riêng λ 2 = 3 (bội 2). Qua tính toán ta thấy dimV(λ 2 ) = 2 (= số bội của λ 2 ). Do đó A chéo hóa được. d) ϕ A (λ) = |A – λI| = -(λ-4)(λ 2 + 4). Do đó A không chéo hóa được. 8 Ví dụ 2: Chéo hóa ma trận thực A sau đây: 320 A230 005 − ⎛⎞ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Tính A n với n là số tự nhiên. Giải tóm tắt - Đa thức đặc trưng: ϕ A (λ) = |A – λI| = - (λ – 5) 2 (λ-1). - Trò riêng: ϕ(λ) = 0 ⇔ λ = 5 (bội 2), λ = 1 (bội 1). Vậy A có 2 trò riêng λ 1 = 5(bội 2), λ 2 = 1(bội 1). - Không gian riêng: - Không gian riêng V(λ 1 ) ứng với trò riêng λ 1 = 5 có dim V(λ 1 ) = 2 (= số bội của λ 1 ) với cơ sở B 1 = {(-1, 1,0); (0, 0,1)}. - Không gian riêng V(λ 2 ) ứng với trò riêng λ 2 = 1 có dim V(λ 2 ) = 1 với cơ sở B 2 = {(1, 1, 0)}. Vì các không gian riêng của A đều có số chiều bằng số bội của các trò riêng tương ứng nên A chéo hóa được. Lập ma trận 101 P101 010 − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ . Khi đó ta có: 1 500 PAP 050 001 − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (3) Để tìm A n , ta lũy thừa n hai vế của (3) từ đó: n nn1 500 A P0 5 0P 001 − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vuihoc24h.vn 9 Suy ra: nn n nn nn1 n 15 15 0 22 500 15 15 A P0 5 0P 0 22 001 005 − ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎛⎞ ⎜⎟ −+ ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ . Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vuihoc24h.vn . = D với D là một ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A. 2.2. Đònh lý: Ma trận A ∈ M n (R) chéo hóa được khi. cơ sở {(-1, -1, 1)}. §2. CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. Đònh nghóa: Ma trận A ∈ M n (R) gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghòch P ∈ M n (R) sao