Chương 2. Ma trận – Định thức potx

Chương Ma trận – Định thức Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1: Khái niệm ma trận phép toán ma trận Ma trận: 1.1 Định nghĩa: Ma trận m dòng, n cột trường số K ( ¡ , £ ) bảng số hình chữ nhật gồm m dịng, n cột, số ma trận thuộc trường gọi phần tử ma trận Ta ký hiệu tập ma trận M(m, n; K) ma trận thuộc M(m, n; K) viết chi tiết là:  a11 a12 a  21 a22  M M   am1 am  a11 a12 a1n    a21 a22 a2 n    M M O M    am1 am amn  O a1n  ÷ a2 n ÷ M÷ ÷ amn  Hay viết gọn A = ( aij )m×n A = [aij ]m×n i = 1, m số dòng j = 1, n số cột phần tử Hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n gọi aij = bij với i = 1, m j = 1, n 1 3  3   Ví dụ: Ma trận A =   ; B =  6  6 2x3 7 9 x3   1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.2.1 Ma trận vng: Trong trường hợp số dịng số cột hai ma trận ta có khái niệm ma trận vuông Ký hiệu tập ma trận vuông M(n; K), với n cấp ma trận vuông  a11 a12 a a22 21 A=   M M   an1 an a1n  a2 n   O M  ann  Trong ma trận vuông phần tử a11 , a22 , , ann phần tử nằm đường chéo chính, phần tử an1 , a( n −1)2 , , a1n phần tử nằm đường chéo phụ Ví dụ: 1  1    A=  ma trận vuông cấp hai B =   ma trận vuông cấp 3  7    Phần tử nằm đường chéo ma trận A 1; Phần tử nằm đường chó ma trận B 1, 5, Đại số tuyến tính 23 Chương Ma trận – Định thức 1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột: Nếu m = ma trận có dịng, gọi ma trận dòng Tương tự, n = ta có ma trận có cột, gọi ma trận cột Ma trận dòng ma trận cột thường gọi vectơ dòng vectơ cột Một số thuộc trường K gọi ma trận dịng, cột Ví dụ: 1    Ma trận dòng: A = [ 4] ma trận cột B =   7    1.2.3 Ma trận không Ma trận có tất phần tử gọi ma trận không Ta dùng số để biểu thị cho ma trận không cấp m x n Ví dụ: 0 0  Ma trận cấp 2x3:   0 0  1.2.4 Ma trận chéo Ma trận vng có phần tử ngồi đường chéo phần tử đường chéo khác khơng gọi ma trận chéo (hay ma trận đường chéo) Ma trận chéo cấp n có dạng  a11 0 a 22 A=  M M  0    O M  ann  (a ii ≠ 0, ∀i :1, n ) Ví dụ: 1  −1 C= 0  0 0 0 0  0  4 Nhận xét: Ma trận đường chéo thường ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) với phần tử đường chéo a1 , a2 , , an 1.2.5 Ma trận đơn vị: Ma trận chéo cấp n, có tất phần tử đường chéo 1, gọi ma trận đơn vị, ký hiệu I n 1.2.6 Ma trận tam giác Ma trận có phần tử (hoặc dưới) đường chéo gọi ma trận tam giác Đại số tuyến tính 24 Chương Ma trận – Định thức  a11 a12 0 a 22 A=  M M  0 a1n  a2 n   O M  ann  Trong aij = i> j gọi ma trận tam giác 1 0 Ví dụ: A =  0  0  b11 b b22 21 B = M M  bn1 bn 2 0 3 4 2  ma trận tam giác 2  5    Trong bij = i < j gọi ma trận tam giác O M  bnn  3 0   Ví dụ: B = 1  ma trận tam giác 0 1    Nhận xét: Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác 1.2.7 Ma trận chuyển vị a) Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị ma trận A, ký hiệu AT ma trận mà đó, vai trị dịng cột hốn chuyển cho giữ nguyên số chúng  a11 a12 a a22 21 Giả sử ta có ma trận A=   M M   am1 am a1n  a2 n   ma trận chuyển vị ma trận A O M  amn   a11 a21 am1  a  T  12 a22 am  A =  M M O M    a1n a2 n amn  Nếu ma trận A có cấp m x n ma trận AT có cấp n x m Trường hợp đặc biệt chuyển vị ma trận cột ma trận dòng ngược lại chuyển vị ma trận dịng ma trận cột Ví dụ: 1 1  2 5  T  Ma trận A =   ma trận chuyển vị ma trận A A =  9     4 Đại số tuyến tính 9 1  2  3 25 Chương Ma trận – Định thức b) Định lý: Cho ma trận A, B ∈ M mxn ( K ) Khi ta có khẳng định sau: (A ) T T = A AT = BT ⇔ A = B 1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa AT = A ta nói A ma trận đối xứng 1 3   Ví dụ: Ma trận A =   ma trận đối xứng cấp3 3 1   1 4  −1   ma trận đối xứng cấp Ma trận A =   −1 −1     3 Nếu ma trận vuông A thỏa AT = − A A ma trận phản đối xứng Ví dụ: 0  −2 B= Ma trận  −3  4 −4  −5   ma trận phản đối xứng 3  −3  Định lý: Nếu A ma trận đối xứng aij = a ji , ∀i, j = 1, n Nếu A ma trận phản xứng aij = −a ji , ∀i, j = 1, n , từ suy aii = (các phần tử đường chéo 0) 1.2.9 Ma trận bậc thang: Nếu ma trận K có dịng khác nằm bên dòng 0, đồng thời hai dòng khác 0, ta có phần tử khác dịng nằm bên phải phần tử khác dịng ma trận gọi ma trận bậc thang K 0 −3 12  0   ma trận bậc thang có ba dịng khác B= Ví dụ: Ma trận 0 0    0 0 0  1.3 Các phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận: bao gồm phép biến đổi sau i Đổi chổ hai dòng i dòng j ma trận cho ii Nhân dòng thứ i với số khác khơng iii Cộng dịng thứ i với dòng thứ j nhân với số λ với i ≠ j Nếu thay từ dòng từ cột ta có phép biến đổi sơ cấp cột Ma trận B gọi tương đương dòng với ma trận A có số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B Nhận xét: - Các phép biến đổi sơ cấp dòng, cột gọi chung phép biến đổi sơ cấp Đại số tuyến tính 26 Chương Ma trận – Định thức - Quan hệ tương đương dòng quan hệ tương đương với tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu - Một ma trận vuông cấp n K nhận từ ma trận đơn vị I n qua phép biến đổi sơ cấp gọi ma trận sơ cấp Ví dụ: 1 0  I =   có ma trận sơ cấp nhận từ I qua phép biến đổi sơ cấp là:   0 1   0  d1 ↔ d S1 = 0  với I  S1 →   1 0    1 0  d3 → d3 S = 0  với I → S2    0    1  d1 → d1 + d S3 =   với I → S3   0    Các phép toán ma trận 2.1 Phép cộng ma trận 2.1.1 Định nghĩa: Tổng hai ma trận A = ( aij )m×n B = (bij ) m×n ma trận C = (cij ) m×n với cij = aij + bij Tổng hai ma trận ký hiệu C = A+B  a11 a12 a  21 a22  M M   am1 am a1n   b11 b12 a2 n   b21 b22 + O M  M M   amn  bm1 bm b1n   a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n  b2 n   a21 + b21 a22 + b22 a2 n + b2 n  =  O M  M M O M     bmn   am1 + bm1 am + bm amn + bmn  2.1.2 Ví dụ:  −2  0  1  A=  B = 1 −4  Khi đó, A + B = 3   −1      2.2 Phép nhân ma trận với số: 2.2.1 Định nghĩa: Tích ma trận A = (aij )m×n với số λ thu cách nhân phần tử ma trận A với số λ , ký hiệu λ A Ta có, λ A = (λ aij ) m×n 2.2.2 Ví dụ:  −2 −3  −8  −2  =   −3   −14 −4  Với A B hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi phép trừ hai ma trận Đại số tuyến tính 27 Chương Ma trận – Định thức  −5  −1  A= B =    4   −2   −8  A− B =    −3  2.2.3 Định lý: Với A, B, C ∈ M mxn ( K ) λ, µ ∈ K ta có: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) + A = A + = A d) A + (-A ) = (-A) + A = e) ( A + B ) = AT + BT T f) λ ( A + B) = λ A + λ B g) (λ + µ ) A = λ A + µ A 2.3 Phép nhân hai ma trận: 2.3.1 Định nghĩa: Cho hai ma trận A = (aij )m×r B = (bij )r×n , tích hai ma trận A B, ký hiệu AB ma trận C = (cij ) m×n với phần tử cij tổng tích phần tử tương ứng dòng i ma trận A với cột j ma trận B r Tức cij = ai1b1 j + 2b2 j + + air brj = ∑ aik bkj k =1  a11 a12 a  21 a22  M M   ai1  M M   am1 am  M a1r  a2 r   b11 b12   M b21 b22  air   M M  M  br1 br   amr   M b1 j b2 j M brj M b1n   c11 c12 b2 n   c21 c22 = M  M M   brn   cm1 cm  c1n  c2 n   cij M  cmn  Chú ý: Tích ma trận A ma trận B xác định số dòng ma trận B số cột ma trận A Tức A ma trận cấp m x p B ma trận cấp p x n AB ma trận cấp m x n Do đó, với A B hai ma trận có tích AB, ta khơng hẳn suy tích hai ma trận BA, nói cách khác, tích hai ma trận khơng giao hốn Ngồi ra, có ma trận khác tích chúng lại ma trận 2.3.2 Ví dụ: 1 2  1 2 3 1 7 a) Giả sử A =  −1  B =  1 đó; AB =  −2  BA =  −1  Vậy AB ≠ BA         Đại số tuyến tính 28 Chương Ma trận – Định thức 1  0 0 0  b) Với C =  0  ; D = 1  ta có CD = 0  C ≠ 0; D ≠       Nếu tồn hai ma trận A, B thỏa AB = BA ta nói ma trận A ma trận B hốn vị với Ma trận đơn vị hốn vị với ma trận cấp 1 −1 4  c) Cho A = 3   −2  1.( −2) + 2.4 + ( −1).2 1.5 + 2.( −3) + (−1).1  −2  B =  −3   AB =  = 3.5 + 1.( −3) + 4.1  6 16  2 1  3.( −2) + 1.4 + 4.2      2  x 3 12    d) Cho A =  −1 1 B =   Nếu AB =   tìm x y      y   Giải: 2  x 3    + x + y  12  Ta có AB =  −1 1   =  =6 y    y       Suy y = x = -2 ■ 2.3.4 Định lý: Cho A, A ' ∈ M mxn ( K ) B, B ' ∈ M nxp ( K ) C ∈ M pxq ( K ) ∀α ∈ K thì: A0nxp = 0mxp ; 0rxm A = rxn ; A( B ± B ') = AB ± AB '; ( AB ) T = BT AT ; α ( AB) = (α A) B = A(α B), ∀α ∈ K 2.3.5 Định lý: Với A = diag( a1 , a2 , , an ) B = diag(b1 , b2 , , bn ) A ± B = diag(a1 ± b1 , a2 ± b2 , , a1 ± b1 ) AB = diag(a1b1 , a2b2 , , a1b1 ) 2.3.6 Nhận xét: Cho ma trận A1 , A2 , , An ma trận có số cột ma trận liền trước số dòng ma trận liền sau Khi tích n ma trận định nghĩa theo cách quy nạp sau: A1 A2 A3 = ( A1 A2 ) A3 A1 A2 A3 A4 = ( A1 A2 A3 ) A4 M A1 A2 A3 A4 An −1 An = ( A1 A2 An −1 ) An Hơn cách chứng minh quy nạp ta có: Đại số tuyến tính 29 Chương Ma trận – Định thức T T T ( A1 A2 An )T = An An −1 A2 A1T 2.4 Lũy thừa ma trận: 2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k ma trận A là: Ak = A AA3 k lân k −1 Cụ thể, A = I n ; A = A; A = A A; , A = A A k 0  0 1 0 0  ÷  ÷ 0  2.4.2 Ví dụ: Cho A =   ta A =  0 ÷ A =  0 ÷ 0 0÷ 0 0÷ 0 0        Nhận xét: Có ma trận khác ma trận khơng lũy thừa k lần với k ∈ ¥ thành ma trận không Một ma trận A ∈ M (n; K ) thỏa tính chất tồn số k ∈ ¥ , cho Ak = ma trận A gọi ma trận lũy linh Một ma trận A ∈ M (n; K ) thỏa tính chất A2 = ma trận A gọi ma trận lũy đẳng 2.4.3 Tính chất: Cho A ∈ M (n; K ) r , s ∈¥ , đó:  ( 0)  ( In ) r = 0; r = In  A r + s = Ar A s rs r  A =( A ) s 2.4.5 Định lý: Giả sử A, B hai ma trận giao hoán M(n;K) (nghĩa AB = BA) k ∈ ¥ , ta có: k k k  ( AB) = A B ; k k k −1 k −2 k −1  A − B = ( A − B)( A + A B + + B ) ; i k i i k −i  ( A + B ) = ∑ Ck A B k 2.5 Đa thức ma trận: Cho f đa thức bậc n K có dạng f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 n n −1 Giả sử A ∈ M (n; K ) ta gọi f ( A) = an A + an−1 A + + a1 A + a0 I n đa thức ma trận A Ví dụ: Cho f ( x) = x − 3x + Hãy tính f (A) với 1 3 2 0 A= ; B = 5 6   3    7   8 0 4 0 1 0 1  Ta có f ( A) = A − A + 5I =  27  −   +   =           Đại số tuyến tính 30 Chương Ma trận – Định thức (Sinh viên tự giải f (B )như tập nhỏ) Bài 2: Định thức - Định nghĩa, tính chất, cách tính định thức Định nghĩa: Định thức ma trận A, ký hiệu detA hay |A| tính det A = ∑ sign π a1π (1) a2π (2) anπ ( n ) , Sn tập tất phép tập hợp gồm n số tự π ∈S n nhiên {1, 2,…, n} Nhận xét: Định thức ma trận vuông cấp n trường K thường gọi định thức cấp n Ví dụ: Khi n = 1     Ta có nhóm phép S = 1 ÷;  ÷     a a 11 12 Suy biểu thức tính định thức cấp là: a a = a11a22 − a12 a21 21 22 Khi n = Ta có nhóm phép     1         S3 =  ÷;  ÷;  ÷;  ÷;  ÷;  ÷              Suy ra: a11 A = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 − a12 a21a33 − a23a32 a11 − a13 a22 a31 + a12 a23a31 + a13a21a32 = a33 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a12 a21a33 − a23 a32 a11 − a13a22 a31 Cách tính định thức bậc bậc 3: Theo ta có a a  11 12 Cho A =  a a ÷ ta có định thức ma trận A detA hay |A|, tính  21 22  det A = ∑ signπ a π ∈S  a11  Cho A =  a21  a31  Đại số tuyến tính a 1π (1) 2π (2) a12 a22 a32 = a11a22 + ( −1) a12 a21 = a11a22 − a12 a21 a13  a23  ta có  a33   31 Chương Ma trận – Định thức det A = ∑ signπ a a a 1π (1) 2π (2) 3π (3) π ∈S3 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12a21a33 Công thức thường nhớ theo quy tắc Sarrus sau: Ta viết them cột thứ thứ hai vào bên phải định thức ta a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a11 a23 a21 a33 a31 a12 a22 a31 Thì tích phần tử ba đường chấm chấm có dấu sau Ví dụ: 3 = 1.1.2 + 2.1.3 + 2.3.3 − 3.1.3 − 3.1.1 − 2.2.2 = 2 = 2.3 − = 3 Các tính chất 3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức det A = det AT Chú ý: Từ tính chất mệnh đề định thức với dịng với cột ngược lại Ví dụ: 2 = =6 3 3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng (i ≠ j ) (hoặc hai cột khác nhau) định thức định thức đổi dấu Ví dụ: = − 3.3 Tính chất 3: Nếu tất phần tử dòng (hoặc cột) định thức nhân với λ định thức định thức ban đầu nhân với λ 3 Ví dụ: = 2 9 n Nhận xét: Từ tính chất suy A ma trận vng cấp n det(λ A) = λ det( A) Đại số tuyến tính 32 Chương Ma trận – Định thức − am1  Ta nhân dòng (1) với a cộng vào dòng (m) 11  a11 0  A1 =  Khi ta nhận ma trận  M 0  a12 b22 b32 M bm a1n  b2 n   b3n   O O M bmn   Nhận xét: ma trận A1 có giá trị a11 ≠ cịn tất phần tử khác cột Chú ý: Nếu ma trận A ban đầu phần tử cột ta bỏ qua cột mà thực bước cột  b22 b23 b b33 B =  32 Bước 2: Xét ma trận  M M  bm bm b2 n  b3n   O M  bmn  Nếu ma trận B có dạng bậc thang, ma trận B = suy ma trận A1 có dạng bậc thang thuật tốn kết thúc Trong trường hợp ngược lại, thực bước cho ma trận B Vì ma trận B có ma trận A1 dòng cột, nên thuật toán kết thúc sau số hữu hạn bước lặp b) Ví dụ: 0 6  −3   A= Tính hạng ma trận  − −2 − −4     −2  Giải:  −3  1 −3 0 6  d1 ↔ d2 d3 →3 d1 + d3  → 0 A   →  −3 −2 −3 −4  d4 → d1 + d4 0 −4 10 12     −2  0 −3 13 16 2 6  2  8  −3   −3  0    d3 → d + d3 d → d − d3      → → d →3 d2 + d  0 22 28 26   0 22 28 26       0 22 28 26  0 0 0  Vậy rankA = 3■ Ví dụ 2: Tính hạng ma trận sau: Đại số tuyến tính 49 Chương Ma trận – Định thức a 1 B= M  1 a M 1 M     O M  a  Giải:  a + (n − 1) 1   a + (n − 1)  a + (n − 1) a  d2 →d2 − d1  a −1 c1 → c2 + c3 + + cn d3 → d3 − d1    B →  →   M M M O M dn →dn − d1  M M    0  a + (n − 1) 1 a   M O   =C M  a − 1 Nếu a ≠ (1 − n), a ≠ ma trận C ma trận bậc thang cấp n Khi đó, rankB = rankC = n Nếu a = ma trận C ma trận bậc thang Khi rank B = rankC = Nếu a = – n 0 0 C= M  0 1 − n M M O 0 −n 0 −n định thức M M 0 1 0  M Khi C ma trận bậc thang có định thức cấp n – khác 0,  −n  0 0 = (− n) n −1 ≠ det C = O M −n Do đó, rankB = rank C = n – ■ Ví dụ Tìm điều kiện m để hạng ma trận sau 1  A = 2 m     12    Giải Nhận thấy ma trận A có hai dịng tỉ lệ với nhau, để ma trận có hạng m = Nhận xét: Do rank ( A) = rank ( A ) nên ta thay phép biến đổi dòng phép biến đổi cột để đưa ma trận A dạng bậc thang từ suy hạng ma trận A T Đại số tuyến tính 50 Chương Ma trận – Định thức Bài 4: Ma trận nghịch đảo Các khái niệm: Cho A ∈ M n ( K ) , ma trận A gọi khả nghịch trái tồn ma trận B ∈ M n ( K ) cho B A = I n Tương tự ma trận A gọi khả nghịch phải tồn ma trận C ∈ M n ( K ) cho A.C = I n Ma trận A gọi ma trận khả nghịch A ma trận khả nghịch trái khả nghịch phải tức tồn ma trận B vuông cấp n cho AB = BA = In (1), với In ma trận đơn vị Nếu A ma trận khả nghịch ma trận B thỏa điều kiện (1) ma trận B -1 gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, ký hiệu A −1 −1 Vậy AA = A A = I n Ví dụ:  −3  1 2  ÷   Cho ma trận A =  1 ÷ B =  −2 −3  −3 −4 ÷ 2 3     Ta kiểm tra AB = BA = I n Do ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo ma trận B Các tính chất: - A khả nghịch ⇔ A ma trận không suy biến, tức det A ≠ - Nếu A B hai ma trận khả nghịch tích AB ma trận khả nghịch ( AB )−1 = B −1 A−1 Đại số tuyến tính 51 Chương Ma trận – Định thức Nhận xét: Cho A ∈ M n ( K ) đó, i) A khả nghịch trái ⇔ A khả nghịch phải ⇔ A khả nghịch ii) −1 −1 Nếu A khả nghịch | A |=| A | iii) Nếu A có dịng (hoặc cột ) A khơng khả nghịch −1 T Nếu A khả nghịch A , A , α A(α ∈ K , α ≠ 0) khả nghịch iv) (A ) −1 −1 = A;( AT ) −1 = ( A−1 ) ;(α A−1 ) = T −1 A α Định lý: Nếu A1 , A2 , , Ak ∈ M n ( K ) khả nghịch tích A1 A2 Ak khả nghịch ( A1 A2 Ak ) −1 = Ak−1 Ak−−1 A2−1 A1−1 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 5.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo cách sử dụng định thức 5.1.1 Phần bù đại số - Ma trận phụ hợp ma trận Cho A ma trận vng cấp n, ta bỏ dịng i cột j ma trận A ta ma trận i+ j cấp n-1 ma trận A ký hiệu M ij Khi đó, Aij = (−1) det( M ij ) gọi phần bù đại số phần tử nằm dòng i cột j ma trận A  A11 A21 A A22 PA =  12 Ma trận  M M O   A1n A2 n An1   A11 A12 An   A21 A22 = M  M M O   Ann   An1 An T A1n  A2 n   gọi ma trận phụ hợp M  Ann  ma trận A Ví dụ: 1 1    Cho A = 1 3 1    A11 = ( −1)1+1 3 = ; A12 = (−1)1+ = −6 ; A13 = ( −1)1+3 =2 9 A21 = (−1) 2+1 1 1 1 = −5 ; A22 = (−1) 2+ = ; A23 = (−1) 2+3 = −3 9 A31 = (−1)3+1 1 1 1 = ; A32 = (−1)3+ = −2 ; A33 = (−1)3+3 =1 3  −5    Suy ma trận phụ hợp PA =  −6 −2   −3    5.1.2Thuật tốn tìm ma trận nghịch đảo ma trận A: Nếu det A = A khơng khả nghịch, tức A khơng có ma trận nghịch đảo Đại số tuyến tính 52 Chương Ma trận – Định thức −1 Nếu det A ≠ A khả nghịch A = PA det A 5.1.3 Ví dụ: a) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1  A = 0 1    3   Giải: Ta có detA = Vậy A khả nghịch Tìm ma trận phụ hợp PA A A11 = (−1)1+1 1 1 = , A12 = ( −1)1+ = , A13 = ( −1)1+3 = −1 , 3 A21 = (−1) 2+1 1 1 = −4 , A22 = (−1) 2+ = , A23 = (−1) 2+3 =0 3 A31 = (−1)3+1 1 1 = , A32 = (−1)3+ = −1 , A33 = (−1)3+3 =1 1 1  −4   −4   1/ −2 1/  1  −1   −1 −1/  Suy ra, PA =   Do đó, A =  −1 =  1/   −1   −1   −1/ 1/  ■       2  1  −2 m − m −  b) Cho ma trận A =   Tìm điều kiện m để A khả nghịch m m + 1   Giải: Để A khả nghịch det A ≠ ⇔ ( m − 1)( m − 3) ≠ Vậy A khả nghịch m ≠ m ≠ Nhận xét: Đối với việc tìm ma trận nghịch đảo định thức A có cấp n > ta phải tính định thức cấp n n định thức cấp n – Do đó, phương pháp khơng hiệu định thức cấp lớn Do với định thức cấp n >3 ta thường sử dụng phương pháp sau: 5.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo dựa vào phép biến đổi sơ cấp (pp Gauss) Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A cấp n ta lập ma trận có cấp nx2n sau đây:  a11 a12  a a22  A I n  =  21    M M   an1 an  Đại số tuyến tính O a1n   a2 n   MM M O M  ann 0   53 Chương Ma trận – Định thức Sau ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận [ A | I n ] dạng [ I n | B ] Khi đó, ma trận B ma trận nghịch đảo ma trận A Chú ý: Nếu trình biến đổi vế bên trái ma trận xuất tồn số ma trận A khơng khả nghịch Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 0 1 A= 1  1 1 1 1 1 1  1  0 Giải: Xét ma trận sau: 0  1 1  1  1 1 0 0 3   1 0  d1 = d1 + d2 + d3 + d4 1  → 1 1 0 0   1 0 0 1 1   3 1 1 1   1 0  d1 → d1 1 → 1 1 0 0   1 0 0 1 1   1 1/ 1/ 1/ 1/ 3  1 0  1 0   1 0 0   1 1 1/ 1/ 1/ 1/  1 0 −2 / 1/ 1/ 1/      −1 0 −1/ / −1/ −1/ 3 d1 →d1 + d +d3 + d 0 −1 0 −1/ / −1/ −1/  d → d − d1   →  → d3 → d3 − d1 0 −1 −1/ −1/ / −1/ 3 0 −1 −1/ −1/ / −1/  d → d − d1     0 −1 −1/ −1/ −1/ /      0 0 −1 −1/ −1/ −1/ /   1    → 0  0  d →− d d3 →− d3 d →− d 0 −2 / 1/ 0 1/ −2 / 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/   1/  −2 / 1/   1/ −2 / 3  1/ 1/ Vậy ma trận nghịch đảo ma trận A 1/ 1/   −2 / 1/  1/ −2 / 1/ 1/  −1   A =  1/ 1/ −2 / 1/   ■ 1/ 1/ −2 / 3  1/ (Sinh viên dùng phương pháp để tính lại ma trận nghịch đảo ma trận A) 4.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo cách giải hệ phương trình Cho ma trận vng A cấp n ta có:  a11 a12 a a22 A =  21  M M   an1 an a1n  a2 n   O M  ann  Để tìm ma trận nghịch đảo A−1 , ta lập hệ phương trình Đại số tuyến tính 54 Chương Ma trận – Định thức  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = y1  a x + a x + + a x = y  21 22 2n n (1)  M   an1 x1 + an x2 + + ann xn = yn  Trong x1 , x2 , , xn biến y1 , y2 , , yn tham số - Nếu với tham số y1 , y2 , , yn hệ (1) ln có nghiệm  x1 = b11 y1 + b12 y2 + + b1n yn  x = b y + b y + + b y  21 22 2n n  M  xn = bn1 y1 + bn y2 + + bnn yn   b11 b12 b b A−1 =  21 22 Khi đó, M M  bn1 bn b1n  b2 n   O M  bnn  - Nếu tồn y1 , y2 , , yn để hệ (1) vơ nghiệm hay có vơ số nghiệm ma trận A khơng khả nghịch Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận a 1 A= 1  1 a 1 1 a 1 1  1  a Giải Ta lập hệ phương trình sau: ax1 + x2 + x3 + x4  x + ax + x + x   x1 + x2 + ax3 + x4   x1 + x2 + x3 + ax4  = y1 (1) = y2 (2) = y3 (3) = y4 (4) Cộng hai vế hệ phương trình ta có (a + 3)( x1 + x2 + x3 + x4 ) = ( y1 + y2 + y3 + y4 ) (*) Nếu a = -3 ta chọn tham số y1 , y2 , y3 , y4 cho y1 + y2 + y3 + y4 ≠ Khi (*) vơ nghiệm nên hệ phương trình vơ nghiệm suy ma trận A khơng khả nghịch Nếu a ≠ −3 từ (*) ta có x1 + x2 + x3 + x4 = (a − 3) y1 + y2 + y3 + y4 (**) Ta lấy dòng (1), (2), (3), (4) trừ cho (**) Đại số tuyến tính 55 Chương Ma trận – Định thức ( (a + 2) y1 − y2 − y3 − y4 ) a+3 (a − 1) x2 = ( − y1 + (a + 2) y2 − y3 − y4 ) a+3 (a − 1) x3 = ( − y1 − y2 + (a + 2) y3 − y4 ) a+3 (a − 1) x4 = ( − y1 − y2 − y3 + (a + 2) y4 ) a+3 (a − 1) x1 = Nhận xét: - Nếu a = ta chọn giá trị tham số y1 , y2 , y3 , y4 cho ( a + 2) y1 − y2 − y3 − y4 ≠ hệ phương trình vơ nghiệm A khơng khả nghịch - Nếu a ≠ ( (a + 2) y1 − y2 − y3 − y4 ) (a − 1)( a + 3) x2 = ( − y1 + (a + 2) y2 − y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) x3 = ( − y1 − y2 + (a + 2) y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) x4 = ( − y1 − y2 − y3 + (a + 2) y4 ) (a − 1)(a + 3) x1 = Khi đó, chọn giá trị cho tham số y1 , y2 , y3 , y4 ta có ma trận nghịch đảo ma trận A là: −1 −1 −1   (a + 2)  −1 (a + 2) −1 −1  −1   A = −1 (a + 2) −1  (a − 1)(a + 3)  −1   −1 −1 (a + 2)   −1 Kết luận: Nếu a = -3, a = ma trận A không khả nghịch Nếu a ≠ 1, a ≠ −3 ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A xác định công thức −1 −1 −1   (a + 2)  −1 (a + 2) −1 −1  −1   A = −1 (a + 2) −1  (a − 1)(a + 3)  −1  ■ −1 −1 (a + 2)   −1 Ứng dụng vận dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận: Xét phương trình ma trận AX = B Nếu A khả nghịch X = A−1B Ví dụ 1: Đại số tuyến tính 56 Chương Ma trận – Định thức  1 x x  1  Cho ma trận A =  3 ; X =  x x  ; B = 3  Hãy giải pt AX = B     4  Giải 3 −1 Vì det A ≠ nên A khả nghịch A =  −5  −1 2  0  X = A−1 B =    −2  Ví dụ 2: 1 −2  7      Giải phương trình ma trận sau:  −4  X = 6   −1  1      Sinh viên tự làm tập nhỏ Tóm tắt Chương Trong chương này, làm quen với số khái niệm đại số tuyến tính, ma trận, định thức kiến thức liên quan như: hạng ma trận, ma trận nghịch đảo Đây nội dung làm tảng để học tốt chương sau như: giải hệ phương trình tuyến tính, khơng gian vector Học xong chương này, sinh viên cần trả lời câu hỏi sau: Ma trận gì? Nó khác với số nào? Có phép biến đổi ma trận? Những phép toán ma trận như: phép cộng hai ma trận, phép nhân ma trận với số, phép nhân hai ma trận thực nào? Định thức gì? Có tính chất gì? Cách tính định thức cấp n? Hạng ma trận gì? Các phương pháp tìm hạng ma trận? Ma trận nghịch đảo gì? Điều kiện để ma trận có ma trận nghịch đảo? Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo? BÀI TẬP  −1  −2  Cho ma trận A =  −4 B =  −3 2  Tính     Đại số tuyến tính 57 Chương Ma trận – Định thức a) 3A + 2B; b) 4A – 3B; c) AT ; T T d) A A, AA Tính tích ma trận sau: 7 5 3     −3 b)     ;    −1        1 −3  1     a)  −4  0  ;  −5       0 i c)  2i   3 1  −1 −2  2   2i     7  3     i  4  k Tính A , k ∈ ¥ với A ma trận sau:  − 1 1 α  a) A =  −2  ; b) A = 0  ;     α β  c) A =  α  ;   1 1 α 0 1  e) A =   ; f) A =  0 1 0    1 1   d) A = 1 1 ; 1 1   1    g) A = 0 1  0    β 0 0  γ  Cho f ( x) = x − x + g ( x ) = x + x − Hãy tính f(A), g(A) f(A).g(A) với A ma trận tập Tính AB – BA trường hợp sau: 1 2 2 a) A =  −1 ; B =  −4    −3 1   3−i  1 2i + 1 i −  ; B = 0   b) A =     3 i +  i − 1     1 1 7   1 , B = 0  c) A =      0 1 0      1  a) Tìm tất ma trận vng cấp giao hốn với ma trận A = 0  ;   1    b) Tìm tất ma trận vng cấp giao hốn với ma trận B = 0 −2  0    Cho A ∈ M (n; K ) ta gọi tổng n ∑a i =1 ii vết ma trận A, ký hiệu Tr(A) Chứng minh ∀A, B ∈ M (n; K ) a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B); Đại số tuyến tính 58 Chương Ma trận – Định thức b) Tr(AB) = Tr(BA) Từ suy khơng tồn A, B ∈ M (n; K ) cho AB – BA = In Cho A ∈ M (n; K ) cho A2 = , đặt B = A + I n Với k ∈ ¥ , tính biểu thức sau theo A In k a) B ; k b) Sk = I n + B + B + + B ;  −4  c) Tính Sk B = 9 −5    10 Tính định thức sau: a) ; −3 −1 b) ; 2 + i + i + i    c)  + i + i + i  ; 8 + i + i + i    2+i 3−i 4+i 1+ i d) 2−i α β γ 11 Tính β γ α α , β , γ nghiệm phương trình x + px + q = γ α β 12 Tính định thức sau: a) 1 1 1 x y z t 1 b) 1 1 10 20 a −1 1 a −1 c) −1 a 1 −1 a d) 1 a b a c b c 1 e) 0 1 0 1 0 1 f) 4 1 g) a h) b b a b a 1 b a 4 1 1 1 1 13 Giải phương trình 1 1 x x x3 =0 27 16 64 14 A Chứng minh định thức sau a+b c a) b + c a c+a b sin α b) sin β sin γ + 2a + 2b d) + 2c + 2d x x x x a b c d Đại số tuyến tính cos α cos β cos γ sin(α + θ ) sin( β + θ ) sin(α + θ ) x e) y z p ax + bp q ay + bq r az + br ab a + b 2 c) bc b + c ac c + a ( a + b) (b + c ) (c + a ) a b c b c a f) c a b c+b b+a a +c 1 59 Chương Ma trận – Định thức a2 b2 h) c d2 ( a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) (a + 2) (b + 2)2 (c + 2) (d + 2) a1 + b1 B Chứng minh a2 + b2 a3 + b3 b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3 (a + 3) (b + 3) (c + 3) (d + 3)2 c1 + a1 a1 c2 + a2 = a2 c3 + a3 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 15 Cho A ∈ M (n; K ) , n lẻ Chứng minh A ma trận phản xứng detA = 16 Chứng minh: a−b−c 2a 2a a) 2b b−c−a 2b = (a + b + c)3 2c 2c c−a−b (b + c) 2 b) a a2 b2 (c + a ) b2 c2 c2 = 2abc( a + b + c )3 (a + b) 17 Tính định thức sau: + a1 a2 a3 an a1 + a2 a3 an a2 + a3 an a) a1 M M M O M a1 a2 a3 + an b) M 1 x M x 0 0 d) 0 0 0 0 a1 x e) M x x a2 M x 0 0 0 cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β ) cos(α − β1 ) cos(α − β ) f) M M cos(α n − β1 ) cos(α n − β ) x1 i ) x12 M x1n−1 x2 x2 M O n x2 −1 Đại số tuyến tính 1 xn xn M n xn −1 x M x x x O M −1 c) −1 −2 −1 −2 −3 n n n x x O M an cos(α1 − β n ) cos(α − β n ) O M cos(α n − β n ) −1 k) M 1 −1 M 0 1 M 0 M O M −1 0 M −4 −4 l) 0 0 60 Chương Ma trận – Định thức m) n n − n n n − n − 18 Tính định thức cấp 2n sau a a) 0 b a 0 0 a b 0 b a 0 0 a b 0 a Chú ý: tất phần tử đường chéo a, tất phần tử đường chéo phụ b tất phần tử lại a1 b1 0 a2 b) 0 b2 c1 d1 0 0 an bn 0 c2 d 0 cn d n 19) Tìm hạng ma trận sau: 4 8 a)  4  8 6 −5 −7 −8 −1 2 1  1 d)  1 1  1 1 1 3 2  7  −6  1 1  1  5 4  1 Đại số tuyến tính 3 a e)  1  2 3 5 b)  1  7 −1 −3 −3 −5 1 4 10   17   3 5 4  7  1  −1  a −1 f ) 1 a  1 2 1 c)  3  5 1 2  4  5 −1   11  −1 −1  −1  g)   1  11 56     −1   −1  61 Chương Ma trận – Định thức  10   18   h)  10 18 40 17     17  1 1  1 −1 1   k)  1 −1    1 1 −1 2 1 −2 l)   −2   −2 −1 −3  −4   −5  20) Tìm hạng ma trận vuông cấp n sau đây: 0 1  b)   M 1  a a  1 + a  a + a a   a)      a + a   a x M x x M x  x   x   O M    a b c)    b b a b b b    a 21) Với giá trị λ ∈ ¡ hạng ma trận sau 1:  −1    a)  λ −2   −6 −3   3 1 3 − λ  b)    − λ 12     1  12 λ +  c)    15 λ + 10   22) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau nhiều cách:  5 a)    3 1 3   b)  1  3 2   1 2   c)   2 3   1    d)  −1  4 8   1 −2    e)  −3  1    2    f)    −2 −3    −2    g)  −1  7 6    −1 1   −1 1   h)   1 −1     1 −1 0 0 k)  2  1 −1 4  −1  −1  sin α cos α  o)    − cos α sin α  0 1  −1 l)   −1 −1   −1 −1 −1 1 0 p)  1  2 1 1 0  0 1 m)  2 1   0 1 −1 4  −1  −1 1 1  1 −1 −1  n)  1 −1 0    0 −1 − 3 0  − 3  −5  23) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông cấp n sau: a 1 + a  a 1+ a a)    a  a a  a     + a  Đại số tuyến tính 0 1  b) 1  M 1  x M x x M x M 1 x  x  (với n ≥ )  M  0  a b  c)  b   b  b a b b b b a b b b  b   a  62 Chương Ma trận – Định thức 1  1 + a  1+ a     1 + a  d)   M M O M  M  1 + a    1 0 e)  M  0 M M n − n  n − n − 1  O M M   1 1  f) 1  M 1  1 M 1 M O 1 1  1  M  0  24) Tìm điều kiện tham số để ma trận sau khả nghịch, sau tìm ma trận nghịch đảo tương ứng: 1 a bc  a ) 1 b ca  ;   1 c ab      −3  −7 m +  ; b)    − m 2m    1 1 2 1 a b    c)  ab  ; 1 b a    − i 5i − m   i +1  2i + 1 − i 2i +  d)   3m − i m + 3i + 3i    25) Cho A =  B =  Tính ( B −1 AB ) , k ∈ ¥ 1 2     26) Chứng minh f đa thức K B ∈ M (n; K ) ma trận khả nghịch với A ∈ M (n; K ) ta có f ( B −1 AB ) = B −1 f ( A) B Từ suy ra, cách để tính lũy thừa ma trận vuông? 27) Cho A ∈ M (n; K ) ma trận lũy linh, chứng tỏ I n − A I n + A ma trận khả nghịch Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận 28) Ma trận nghịch đảo A−1 thay đổi a) Hốn vị hai dịng A b) Nhân dòng với số khác c) Thêm vào dịng thứ i tích dịng j ≠ i với số α Đại số tuyến tính k 63 .. .Chương Ma trận – Định thức 1 .2.2 Ma trận dịng, ma trận cột: Nếu m = ma trận có dịng, gọi ma trận dịng Tương tự, n = ta có ma trận có cột, gọi ma trận cột Ma trận dòng ma trận cột thường... B = 1  ma trận tam giác 0 1    Nhận xét: Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác 1 .2.7 Ma trận chuyển vị a) Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị ma trận A, ký...  cmn  Chú ý: Tích ma trận A ma trận B xác định số dòng ma trận B số cột ma trận A Tức A ma trận cấp m x p B ma trận cấp p x n AB ma trận cấp m x n Do đó, với A B hai ma trận có tích AB, ta