Chương 2. Ma trận – Định thức potx

Khi đó ta có các khẳng định sau: Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bê

cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận

Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi

Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận

vuông Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của ma trận vuông

1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột:

Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng Tương tự, nếu n = 1 thì ta

có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột

Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột

Ví dụ:

Ma trận dòng: A 1 2 3 4 và ma trận cột

157

Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không Ta dùng số 0 để biểu

thị cho mọi ma trận không cấp m x n

Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên

đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo) Ma trận

chéo cấp n có dạng

A=

11 22

a a

là ma trận tam giác dưới

Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam

b) Định lý: Cho các ma trận A B M,  m nx ( )K Khi đó ta có các khẳng định sau:

Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai

dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu

tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi sau

i Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau

ii Nhân dòng thứ i với một số khác không

iii Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số  với ij

Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột

Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B

Nhận xét:

- Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp

- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu

- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị I nqua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp

2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận A( )a ij m n và B( )b ij m n là một ma trận C( )c ij m n

với c ij a ijb ij Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B

2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận A( )a ij m n với số thu được bằng cách nhân các phần

tử của ma trận A với số  , ký hiệu A Ta có, A(a ij m n) 

Cho hai ma trận A( )a ij m r và B( )b ij r n , khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB

là một ma trận C( )c ij m n với các phần tử c ijlà tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i

của ma trận A với cột j của ma trận B.

hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán

Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0

Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị

với nhau Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp

B y

Cho các ma trận A A1, 2, ,A nlà các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của

ma trận liền sau Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau:

Một ma trận A M n K ( ; )thỏa tính chất tồn tại một số k  , sao cho A  k 0thì khi đó ma

trận A được gọi là ma trận lũy linh

Một ma trận A M n K ( ; )thỏa tính chất A 2 0thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy

Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định

3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là detA detA T.

Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với

3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được

nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với 

Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det(A)ndet( ).A

3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu

diễn dưới dạng a ij a ij' a ij'' với j = 1, 2, …,n Khi đó ta có:

Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột

Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức Từ

các tính chất trên ta có các kết quả sau:

3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

 Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,

 Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,

 Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác Tức là tồn tại dòng d imà

d a d a d  a d  a d   a d  với a  i K.

3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:

 Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng

 Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác

Nhận xét:

- Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng

- Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định

nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên của địnhthức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây

4 Định lý Laplace:

4.1 Định thức con và phần bù đại số:

Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa 1 k n  Các phần tử nằm trên

giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của A Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A

Đặc biệt, khi cho trước 1 i j n,  , nếu ta xóa đi dòng i, cột j của ma trận A ta sẽ được ma trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là M ij Khi đó, A ij  ( 1)i j M ij được gọi là phần bù đại

số của phần tử a ij(với a ij là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A)

Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng i i1, , ,2 i k và j j1, , ,2 j kthì phần bù đại số của

M Ký hiệu là M’ được xác định như sau:

c d

Từ định lý Laplace ta có thể chứng minh được hai tính chất quan trọng sau của định thức

4.3 Tính chất 1: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác dưới) thì định thức của

ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính (đường chéo phụ) Tức là nếu

4.4 Tính chất 2: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det(A.B) = detA det B.

 Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định thức theo dòng (cột)

đó

 Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng (cột) đã chọn thành dòng

(cột) chỉ có một số khác 0

 Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó Khi đó, việc tính một định thức cấp n

quy về việc tính định thức cấp n-1 Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3

4.6 Các ví dụ:

1) Tính detA với

Ta chọn cột 2 để khai triển Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3

và nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 5 Khi đó

4.7 Nhận xét: Trong thực tế ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng

(cột) để đưa ma trận A về dạng tam giác trên (hoặc tam giác dưới), sau đó áp dụng công thức Laplace để tính det A

5 Các phương pháp tính định thức cấp n:

Đối với các định thức có cấp n khá lớn (n>3), thì người ta thường không sử dụng định nghĩa

để tính định thức đó mà sử dụng một trong các phương pháp sau:

5.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma trận và sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác Định thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Ví dụ: Tính định thức cấp n với (n 2)sau đây

ta sẽ nhận được công thức truy hồi

Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2 để suy rađịnh thức cần tính

Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng D n1.

Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với (b i) rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận các giá trị từ 1, 2, …., n-1 Ta có

1 2

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

n n

a a

a a

5.3 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức

Nhiều định thức cấp n có thể tính được bằng cách tách định thức theo các dòng (hoặc theo các cột) thành tổng các định thức cùng cấp Các định thức mới này thường bằng 0 hoặc tính được dễ dàng

Dạng 1: Bao gồm các định thức có từ 2 cột loại 2 trở lên, do các cột loại 2 tỉ lệ nên tất cả

các định thức dạng này đều bằng 0

Dạng 2: Bao gồm các định thức có đúng 1 cột loại 2 còn các cột khác là cột loại 1 Giả sử

cột thứ i của định thức này là cột loại 2 Khi đó ta có định thức dạng này

1 2 ,

n i

n i

a b

a b D

Vì có tất cả n định thức dạng 2 nên tổng các định thức dạng 2 là

1

n

i i i

5.4 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức:

Giả sử cần tính định thức D cấp n Ta sẽ biểu diễn ma trận tương ứng A của D thành tích các

ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C Khi đó, ta có D = detA = det(B.C)=detB det C Tìm được detB và detC ta sẽ tính được D.

n n

Nếu nhân cột thứ ba và thứ tư với (-1) rồi cộng cả ba cột còn lại vào cột (1) ta thấy định thức

chia hết cho y + z - x, thật vậy

Bài 3: Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận

_

1 Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không Hạng của ma trận A là số tự nhiên r,

1  r min{ , }m n thỏa mãn các điều kiện sau:

 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.

 Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.

Nói cách khác hạng của ma trận A 0chính là cấp cao nhất của các định thức con khác

không của ma trận A Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).

Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.

3.1 Tính chất 1: Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:

 Phép chuyển vị ma trận Tức là rank A( )rank A( T)

 Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột

 Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0

 Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác

Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến.

3.3 Tính chất 3:

 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì rank A B(  ) rankA rankB

 Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB Khi đó, rank AB( ) min{  rankA rankB, }

 Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B )

Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức D k Xảy ra 3 khả năng sau:

1 Không có một định thức con cấp k+1 nào của A Khả năng này xảy ra khi k =min{m, n}

Khi đó rankA = k Thuật toán kết thúc

2 Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức D kđều bằng 0 Khi đó rankA = k và thuật toán kết thúc

3 Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là D k1 chứa định thức con D k khác 0 Khi

đó ta lập lại bước 2 với D k1 thay cho vị trí của D k Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp

1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc

Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B1 và B2

Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức tạp nên trong thực tế ta thường ít

sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương trên ma trận

4.2 Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP Gauss)

4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại

một số tự nhiên r thỏa 1  r min{ , }m n thỏa các điều kiện sau:

(1) r dòng đầu khác 0 Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0

(2) Xét dòng thứ k với 1 k r  Nếu a ki klà phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có i1i2  i r

Các phần tử a ki k được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A Các cột chứa các phần tử

được đánh dấu { , , , }i i1 2 i r gọi là cột đánh dấu của ma trận A

Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải lùi dần về bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:

1

2

1 2

ri

a a

Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B).

4.2.4 Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:

 Đổi chổ hai dòng cho nhau;

 Nhân một dòng cho một số khác 0;

 Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

 Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột

4.2 5 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp

Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:

 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận;

 Một ma trận khác ma trận 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Vậy muốn tìm hạng của ma trận A, ta sẽ dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bậc thang và bằng đúng



rồi cộng vào dòng (3)

…

 Ta nhân dòng (1) với 1

11

m a a

Chú ý: Nếu ở ma trận A ban đầu mọi phần tử ở cột 1 đều bằng 0 thì ta có thể bỏ qua cột 1

mà thực hiện bước 1 đối với cột kế tiếp

1 1 1

1 1 1

a a B

Nếu a  (1 n a),  1 thì ma trận C là ma trận bậc thang cấp n Khi đó, rankB = rankC = n

Nếu a = 1 thì ma trận C là ma trận bậc thang Khi đó rank B = rankC = 1

Nhận xét: Do rank A( )rank A( T)nên ta có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bởi các

phép biến đổi trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của ma trận A

5.1.2Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A:

Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch, tức là A sẽ không có ma trận nghịch đảo.

Nếu detA 0thì A khả nghịch và A 1 det1 P A

Đối với việc tìm ma trận nghịch đảo của một định thức A có cấp n > 3 ta sẽ phải tính một

định thức cấp n và n2 định thức cấp n – 1 Do đó, phương pháp này không hiệu quả đối với những định thức cấp lớn Do đó với những định thức cấp n >3 ta thường sử dụng phương pháp sau:

5.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (pp Gauss)

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấp nx2n sau đây:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

n n n

Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A I| nvề dạng I B n | .

Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A.

Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi nếu vế bên trái của ma trận xuất hiện toàn số 0 thì ma

(Sinh viên có thể dùng phương pháp 1 để tính lại ma trận nghịch đảo của ma trận A).

4.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình

Trong đó x x1, , ,2 x nlà các biến và y y1, , ,2 y nlà các tham số.

- Nếu với mọi tham số y y1, , ,2 y nthì hệ (1) luôn có nghiệm duy nhất

Nếu a = -3 ta có thể chọn các tham số y y y y1, , ,2 3 4sao cho y1y2y3y4 0 Khi đó (*) vô

nghiệm nên hệ phương trình trên vô nghiệm suy ra ma trận A không khả nghịch.

Nếu a 3thì từ (*) ta có 1 2 3 4 1 2 3 4

1( 3)

31

1

( 2)( 1)( 3)

1

( 2)( 1)( 3)

1

( 2)( 1)( 3)

Trong chương này, chúng ta làm quen với một số khái niệm mới trong đại số tuyến tính, đó

là ma trận, định thức và những kiến thức liên quan như: hạng ma trận, ma trận nghịch đảo Đây

là nội dung cơ bản làm nền tảng để học tốt các chương sau như: giải hệ phương trình tuyếntính, không gian vector

Học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:

1 Ma trận là gì? Nó khác với một số như thế nào? Có những phép biến đổi nào trên matrận? Những phép toán trên ma trận như: phép cộng hai ma trận, phép nhân ma trận với một số,phép nhân hai ma trận được thực hiện như thế nào?

2 Định thức là gì? Có những tính chất gì? Cách tính định thức cấp n?

3 Hạng của ma trận là gì? Các phương pháp tìm hạng của ma trận?

4 Ma trận nghịch đảo là gì? Điều kiện để một ma trận có ma trận nghịch đảo? Các phươngpháp tìm ma trận nghịch đảo?

BÀI TẬP