Tài liệu Toán ứng dụng - chương 1: Ma trận doc

Các khái niệm cơ bản và ví dụ ---Định nghĩa ma trận dạng bậc thang 1.. Các phép biến đổi sơ cấp.Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.. ---Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

NỘI DUNG -

I Định nghĩa ma trận và ví dụ

III Các phép toán đối với ma trận

II Các phép biến đổi sơ cấp

IV Hạng của ma trận

V Ma trận nghịch đảo

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

-Định nghĩa ma trận

Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có mhàng và n cột

m

in ij

i

n j

a a

a

a a

a

a a

11

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

-Ví dụ 1

32

5 0

2

1 4

; 2

; 1

; 4

3

2 1

i A

Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu

-Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không,

ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j)

0

0 0

0

A

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Định nghĩa ma trận dạng bậc thang

1 Hàng khơng cĩ phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng

2 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (khơng cùng

cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên

Phần tử khác khơng đầu tiên của một hàng kể từ bên trái

được gọi là phần tử cơ sở của hàng đĩ

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

0 0

3 0

0 0

2 1

1 2

Ví dụ

54

0 0

0 0

0

5 2

1 4

0

6 2

7 0

0

2 3

0 1

I Các khái niệm và ví dụ cơ bản.

-Là ma trận dạng bậc thang

Ví dụ

54

0 0

0 0

0

5 2

0 0

0

4 1

7 0

0

2 2

0 3

0 0

3 1

0 0

2 0

2 1

B

2 3

93

01

42

90

4

312

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

23

12

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu

Định nghĩa ma trận tam giác trên

0

63

0

31

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

0

03

0

00

2

D

Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là

ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i)

0

01

0

00

1

I

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài bađường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó mộtđường) đều bằng không

Định nghĩa ma trận ba đường chéo

00

18

40

07

13

00

21

A

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

3

74

1

312

II Các phép biến đổi sơ cấp.

Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột

Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,thường dùng nhất!!!

II Các phép biến đổi sơ cấp.

-Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Định lý 1

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được

nhiều ma trận bậc thang khác nhau

Chú ý

II Các phép biến đổi sơ cấp.

Bước Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những

hàng trên nó Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại

II Các phép biến đổi sơ cấp.

-Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang

U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A

III Các phép toán đối với ma trận

-Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những

vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j)

Sự bằng nhau của hai ma trận

Tổng A + B:

Cùng cởCác phần tử tương ứng cộng lại

1

6 2

3

; 5 0 3

4 2

4

100

2

B A

Ví dụ

III Các phép toán đối với ma trận

4 2

6

8 4

III Các phép toán đối với ma trận

c C

1 0

3

2 2 1

; 0 1

4

4 1

2

B A

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

-a A(BC) = (AB)C; b A(B + C) = AB + AC;

e k (AB) = (kA)B = A(kB)

III Các phép toán đối với ma trận

-n n ij

n n

n

n x a x a x a A a a

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

199 199 200

IV Hạng của ma trận

-Định nghĩa hạng của ma trận

Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang

E Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng kháckhông của ma trận bậc thang

r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

 

 

h h h 

h h h

V Ma trận nghịch đảo

-Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại

ma trận I sao cho AB = I =BA Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và ký hiệu là A -1

V Ma trận nghịch đảo

-Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch Có

rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

2 2

1

1 1

1

0 1

1

0 0

1

2 1

0

1 1

0

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

3 2

1

2 2

1

1 1

1 ]

|

[ A I

1 2

1

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 1

1

1 1

0

0 1

1

0 0

1

1 0

0

1 1

0

1 1

1

]

| [ 1

1 0

1 2

1

0 1

2

1 0

0

0 1

0

0 0

0

1 2

1

0 1

2

1

A

V Ma trận nghịch đảo

-Tính bằng các phép sơ cấp đối với hàng của ma trận [ A|I ] ta cần sử dụng

Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1

n3 phép nhân hoặc chia

(AB)-1 = B-1A-1(AT)-1 = (A-1)T

Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho trước?

Các phép toán đối với ma trận: Sự bằng nhau Phép cộngNhân ma trận với một số Nhân hai ma trận với nhau

Nghịch đảo của ma trận A là gì?

Nâng lên lũy thừa

Đưa ma trận sau về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp

Bài tập 9

Tìm các giá trị của s và t, sao cho ma trận sau là đối xứng

2

2 1

a) Mô tả PA theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với hàng

b) Mô tả BP theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với cột

Bài tập 11

Cho A, B, C là các ma trận, đơn giản biểu thức sau

A B C  A B C  B C  A

Bài tập 20

Giả sử A là ma trận khả nghịch cấp 5 Tìm r(A) và r (A-1)