Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 8: Dạng toàn phương doc

---Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc.. Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắckhác nhau: ví dụ phép biến đổi

Bộ môn Toán Ứng dụng

-Đại số tuyến tính

Chương 8: Dạng toàn phương

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (1/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận củadạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

-Cho dạng toàn phương f x ( )  x AxT , với x  ( x x1, 2, x3)T

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trậntrực giao P và ma trận chéo D: A  PDPT

Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương trong

cơ sở chính tắc

f x  x A x

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương

trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P

-Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc

dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao

Dạng toàn phương f x ( )  x A xT luôn luôn có thể đưa về

( ) T

f y  y Dy

ma trận A của dạng toàn phương

Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắckhác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi

sơ cấp)

Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn cònlàm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)

Bước 1 Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc)

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

Bước 2 Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D

2 Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)

2 18

4 0

18

2 18

2 3 1/ 3

2 3

-Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biếnđổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạngchính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn

Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến

nếu ma trận P là ma trận không suy biến

Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biếnđổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận

Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.

Bước 2 Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương

Bước 1 Chọn một thừa số khác không của hệ số x k2

Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa ,nhóm còn lại không chứa số hạng này

kx

Ta có một tổng bình phương và một dạng toàn phương khôngchứa hệ số x k

Bước 3 Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng toàn phương khôngchứa hệ số x k

Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x k2

đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số x xi j

(   k i j , ) : y k  x k ; x i  y i  y j ; x j  y i  y j

Đổi biến:

-Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến

đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

2 3

3 x

Lập 2 nhóm: 14 22 28 2 3 32

3

7 3

7 3

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi.

Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là:

-Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

1 Nếu (   k 1, , ) : n k  0, thì dạng toàn phương xđ dương

1 1 2 2

f y   y   y    y

2 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 , thì dạng toàn phương xđ âm

3 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 và  k  0, thì nửa xđ dương

4 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 và  k  0, thì nửa xđ âm

5 Nếu  1  0; 2  0, thì dạng toàn phương không xác định dấu

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

1 1 2 2

f y   y   y    y

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính

Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính

Luật quán tính

Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toànphương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cáchđưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạngchính tắc Các dạng chính tắc này thường khác nhau

Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm

và số lượng các hệ số dương là không thay đổi

Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx.

Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)

1 xác định dương khi và chỉ khi (   i 1, ) : n  i 0

Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu

Đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Dạng toàn phương không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhấtmột hệ số âm và một hệ số dương

Xét dạng toàn phương f x y ( , )  3 x2  2 xy  3 y2

Vẽ đường cong trong hệ trục 0xy là

làm việc với cơ sở chính tắc của R2

Đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy

Nếu đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì

ta chỉ có thể nhận dạng được đường cong này, còn khó vẽ hình được

vì lúc đó ta sẽ làm việc với cơ sở (thường là) không trực chuẩn

Có nghĩa là vẽ hình trong hệ trục tọa độ không vuông góc!

Vì vậy ta cần phép biến đổi trực giao để có cơ sở trực chuẩn:

I) Số phức: Dạng đại số; dạng lượng giác; nâng lên lũy thừa;khai căn số phức; giải phương trình trong C.

II) Ma trận: 1) Các phép toán: bằng nhau, cộng, trừ, nhân,biến đổi sơ cấp; nâng lên lũy thừa

2) Tìm hạng của ma trận; 3) Tìm ma trận nghịch đảo

III) Định thức: 1) Cách tính định thức cấp 4,5 (dùng BĐSC)

2) Tính định thức cấp n bằng đệ qui; 3) Khai triển Laplace

IV) Hệ phương trình: Cách giải hệ phương trình AX = b

2) Tìm tổng, giao của hai không gian con, tổng trực tiếp

V) Không gian véctơ: 1) Tìm cơ sở chiều của không gian con

3) Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất

-VI) Ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f V :  W

Có 3 cách cho: 1) biết f(x)

2) biết ảnh của cơ sở (tập sinh) của V

3) biết ma trận của f trong cặp cơ sở E, F

Trong khi ôn tập chúng ta phải biết cách làm các câu hỏi sau:

1) Tìm ảnh của một phần tử cho trước f v ( 0).

2) Tìm f x ( ).

3) Tìm cơ sở và chiều của nhân ker f của ánh xạ tuyến tính

4) Tìm cơ sở và chiều của ảnh Im f của ánh xạ tuyến tính

5) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở cho trước.6) Giả sử V = W Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.7) Giả sử V = W Chéo hóa ánh xạ tuyến tính (nếu được)

VII) Dạng toàn phương:

1) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai cách:

a) Biến đổi trực giao; b) Biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp)

2) Phân loại dạng toàn phương: có 5 loại Cách phân loại: đưa vềdạng chính tắc hoặc dùng tiêu chuẩn Sylvester

3) Sử dụng vẽ đường cong bậc hai, mặt cong bậc hai

Chú ý: Trên đây là những phần chính Ngoài ra các em phải biếtcách giải một số bài toán dạng khác

Nói chung 8 phần trên là toàn bộ các kiến thức yêu cầu trongmôn học toán 2 này Tuy nhiên để được điểm tối đa các em phảibiết cách giải thêm một số dạng bài tập khác

-Câu 1 Tính 10 z , biết 1

i z

Câu 3 Trong không gian R3 cho hai không gian con

Tìm cơ sở và chiều của

Câu 4 Trong không gian1 P2[x] , với tích vô hướng

0

( , ) p q   p x q x dx ( ) ( )

cho khgian con F  { p x ( ) | (1) p  0 }

Tìm cơ sở và chiều của F 

Câu 5 Cho ánh xạ tuyến tính , biết

Với giá trị nào của m thì véctơ là VTR của f.

Câu 3 Cơ sở: {(1,0,-1); (0,1,0)}; chiều: 2

Câu 4 Cơ sở:{p(x) = 10x2 - 8x + 1}; chiều: 1

Câu 5 m = 0 HD.f ( 2,1,0)    ( 2,1,0)  suy ra hệ pt

Câu 6 TR: 1  2  3  0 Cơ sở của

1 :

E { p x ( ) 1  }