Tài liệu Toán ứng dụng - chương 4: Không gian vecto pdf

Trường ĐH Bách khoa Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giảng viên TS Đặng Vaên Vinh www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung - I – Định nghóa Ví dụ II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính III – Hạng họ véctơ IV – Cơ sở số chiều V – Không gian I Định nghóa ví dụ - Tập khác rỗng V Hai phép toán Cộng Nhân véctơ với số x + y = y + x; (x + y) + z = x + (y + z) tiên đề Tồn véc tơ không, ký hiệu cho x + = x Mọi x thuộc V, tồn vectơ, ký hiệu –x cho x + (-x) = KHÔNGGIAN VÉCTƠV  x Với số  ,  K vector x: (    ) x  x  Với số   K , với x , y V :  ( x  y )   x   y (  ) x   (  x ) 1x = x I Định nghĩa ví dụ - Tính chất không gian véctơ 1) Véctơ không 2) Phần tử đối xứng véctơ x 3) 0x = Với vectơ x thuộc V số   K : 4)   5) -x = (-1)x I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ V1  ( x1 , x2 , x3 ) xi  R Định nghĩa phép cộng hai véctơ sau: x  y  ( x1 , x2 , x3 )  ( y1 , y2 , y3 )  ( x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) Định nghĩa phép nhân véctơ với số thực sau:   x   ( x1 , x2 , x3 )  (x1 ,x2 ,x3 ) Định nghĩa nhau:  x1  y1  x  y   x2  y x  y  3 V1 - Không gian véctơ R3 trường số thực I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ V2  ax  bx  c a, b, c  R Định nghĩa phép cộng hai véctơ: phép cộng hai đa thức thông thường, biết phổ thông Định nghĩa phép nhân véctơ với số: phép nhân đa thức với số thực thông thường, biết phổ thông Định nghĩa nhau: hai véc tơ hai đa thức nhau, tức hệ số tương ứng nhau) V2 - Không gian véctơ P2 [ x] I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ  a b   V3    a , b, c , d  R    c d  Định nghĩa phép cộng hai véctơ: phép cộng hai ma trận biết chương ma trận Định nghĩa phép nhân véctơ với số: phép nhân ma trận với số biết Định nghĩa hai véctơ: hai véc tơ hai ma trận V3 - Không gian véctơ M [ R] I Định nghĩa ví dụ Ví dụ - V  (x , x , x ) x i  R  2x  3x  x  0 Phép cộng hai véctơ nhân véctơ với số giống ví dụ V4 - KGVT CHÚ Ý: Có nhiều cách khác để định nghĩa hai phép toán V1, ( V2, V3 ) cho V1 ( V2, V3 ) không gian véctơ I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ V  ( x ,x ,x ) x i  R  x  x  2x  1 Phép cộng hai véctơ nhân véctơ với số giống ví dụ V4 - KHÔNG KGVT x  (1, 2,1)  V4 , y  (2,3, 2) V4 x  y  (3,5,3)  V4 II Độc lập tuyến tính - V- KGVT K Tập M  {x1 , x2 , , xm } 1 , , , m  K không đồng thời 1 x1   x2     m xm  M– PTTT 1x1   x2     m xm   1     m  M – độc lập tuyến tính IV Cơ sở chiều - Ví dụ 12 Kiểm tra tập sau có tập sinh không gian R3 M  {(1,1,1);(1,2,1);(2,3,1)} x  (x 1, x , x )  R Giả sử x  (x 1, x , x )  1(1,1,1)   (1, 2,1)   (2, 3,1)  1    2   1  2  3      x1  x2  x3  Hệ có nghiệm Khi x tổ hợp tt M, hay M sinh R3 IV Cơ sở chiều - Ví dụ 13 Kiểm tra tập sau có tập sinh không gian R3 M  {(1,1, 1);(2,3,1);(3, 4,0)} x  (x 1, x , x )  R x  (x 1, x , x )  1(1,1, 1)   (2, 3,1)   (3, 4, 0) 1  2  3  x   1  3  4  x      x3  Tồn x để hệ vơ nghiệm, ví dụ: v  (1, 2,1) Hay v không tổ hợp M M không sinh R3 IV Cơ sở chiều - Ví dụ 14 M  {x  x  1;2 x  3x  1; x  x} M có tập sinh không gian P2[x]? p (x )  ax  bx  c  P2 [x] 2 p (x )  1(x  x  1)   (2x  3x  1)   (x  2x )  1  2    a   1  3  2  b     c  2 Tồn p(x) để hệ vơ nghiệm, ví dụ: p  2x  x Suy M không tập sinh II Độc lập tuyến tính - Ví dụ Trong không gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z} Hỏi M1 = {2x, x + y, z} có tập sinh V? v  V  v tổ hợp tuyến tính M ( M tập sinh)  v x  y  z    v   ( x  y)  2x   z  Có nghĩa v tổ hợp tuyến tính M1 Hay M1 sinh vectơ v, mà v tùy ý nên M1 sinh kgian V II Độc lập tuyến tính - Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z} Hỏi M2 = {x, x+y, x - y} có tập sinh V? Trường hợp z tổ hợp tuyến tính x y Khi ta chứng minh M2 tập sinh không gian véctơ V Trường hợp z khơng tổ hợp tuyến tính x y Khi ta chứng minh M2 không tập sinh không gian véctơ V Thật vậy, ta chứng minh M2 không sinh véctơ z IV Cơ sở chiều - M  {x1, x2 ,, xm ,}  V M sinh V M- độc lập TT M- sở V M sở hữu hạn V – không gian hữu hạn chiều dim V = Số véctơ sở V Nếu V không sinh tập hữu hạn, V gọi khơng gian vơ hạn chiều II Độc lập tuyến tính - Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} sở V Hỏi M1 = {2x + y + z, x + 2y + z, x + y + z} có sở V? Chứng minh M1 tập sinh V Chứng minh M1 độc lập tuyến tính định nghĩa II Độc lập tuyến tính - Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} sở V Hỏi M1 = {2x, 3y, z, x + y + z} có tập sinh V? Đáp án M1 sở V Thật cần chứng tỏ 2x, 3y, z tập sinh V IV Cơ sở chiều - Định lý Giả sử V không gian hữu hạn chiều Tồn vô số sở không gian vectơ V Số lượng vectơ sở Chứng minh IV Cơ sở chiều - dim( Rn )  n Dễ dàng chứng tỏ tập E sau sở E  {(1,0,0, ,0),(0,1,0, ,0), ,(0,0,0, ,1)} dim( Pn [x])  n  Chứng tỏ tập E sau sở E  {x n , x n 1, , x,1} dim( M n [R])  n Chứng tỏ tập E sau sở        ,  0 0  ,  E 0 0      0 0   0 0       IV Cơ sở chiều - dim(V) =n  Mọi tập V chứa nhiều n véctơ phụ thuộc tuyến tính  Mọi tập V chứa n véctơ không sinh V   Mọi tập độc lập tuyến tính có n véctơ sở V Mọi tập sinh V có n véctơ sở V IV Cơ sở chiều - Cho S  {v1 , v2 , , v p } - tập V , H = Span {v1 , v2 , , v p } a Nếu S tập phụ thuộc tuyến tính, bỏ phần tử S ta tập sinh H b Nếu S tập độc lập tuyến tính, khơng thể bỏ phần tử S để tập sinh H IV Cơ sở chiều - Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau có sở R3 M  {(1,1,1);(2,3,1);(3,1,0)} IV Cơ sở chiều - Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau có tập sinh R3 M  {(1,1,1);(2,0,1);(1,1,0),(1, 2,1)} IV Cơ sở chiều - Ví dụ 15 Tập hợp sau có sở không gian P2[x]? M  {x  x  1;2 x  x  1; x  x  2} ... tính x y Khi ta chứng minh M2 tập sinh không gian véctơ V Trường hợp z khơng tổ hợp tuyến tính x y Khi ta chứng minh M2 khơng tập sinh không gian véctơ V Thật vậy, ta chứng minh M2 không sinh véctơ... - M  {x1, x2 ,, xm ,}  V M sinh V M- độc lập TT M- sở V M sở hữu hạn V – không gian hữu hạn chiều dim V = Số véctơ sở V Nếu V không sinh tập hữu hạn, V gọi khơng gian vơ hạn chiều... - Định lý Giả sử V không gian hữu hạn chiều Tồn vô số sở không gian vectơ V Số lượng vectơ sở Chứng minh IV Cơ sở chiều - dim(