Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng docx

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng vớiTa phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D... Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ   K Khi đó, véctơ

-Đại số tuyến tính

Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (1/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung -

7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

7.2 – Chéo hóa ma trận.

7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.

7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.

7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.

7.6 – Dạng toàn phương

Av u

u      

v     

 

Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác



Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A

tương ứng với trị riêng 

Tính A u và A v Hãy cho biết nhận xét

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -

u      

 

3 2

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -

Hệ thuần nhất có nghiệm khác không

Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phươngtrình đặc trưng

Đa thức PA ( )   det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A

được gọi là phương trình đặc trưng của

ma trận vuông A

det( A   I )  0

Bước 1 Lập phương trình đặc trưng det( A   I )  0.

(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo  )

phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại

1( A   I X )  0.

bằng cách giải hệ phương trình

Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứngvới trị riêng 1.

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -

tương ứng với trị riêng đó

Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại sốcủa nó.

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -

1( A   I X )  0

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -

Xét phương trình đặc trưng: det( A   I )  0

Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng

1, ta có thừa số chung là ( n   ) suy ra 2  n là trị riêng thứ 2.Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng 1  0

Tương ứng với TR 1  0 xét hệ thuần nhất ( A  1I X )  0

Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của

TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của 1 lớn hơn hoặc bằng n -1.Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!

7.2 Chéo hóa ma trận -

Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức làcùng chung tập trị riêng)

  Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng

Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơriêng thì khác nhau

Chú ý

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với

Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D

Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D.

, , , n

Vậy A P*1  1 *1P Hay 1 là trị riêng của A.

là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng

*1

7.2 Chéo hóa ma trận

-Hoàn toàn tương tự ta thấy:

Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A

Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A

Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêngcủa A) độc lập tuyến tính

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n

véctơ riêng độc lập tuyến tính

Định lý

Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì

A chéo hóa được

Hệ quả 1

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình

học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng

Giả sử phương trình đặc trưng của A là (   2) (2   3)1  0

   Bội đại số = 1 Bội hình học = 1

  Bội đại số = 2 Bội hình học = ?

Để tìm BHH của TR ta tìm chiều của không gian conriêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ

7.2 Chéo hóa ma trận -

định bội đại số của từng trị riêng

Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n

riêng Tìm cơ sở của các không gian con riêng Xác địnhbội hình học của trị riêng

của TR này thì A không chéo hóa được

Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được Ma trận P có

Ví dụ Chéo hóa ma trận A (nếu được).

7.2 Chéo hóa ma trận -

Bước 2 Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A

1 1

 

1 1 1

sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột.

7.2 Chéo hóa ma trận -

Ví dụ 6 Chéo hóa ma trận A (nếu được)

BĐS của 2   2 là 2 lớn hơn BHH của 2

Suy ra A không chéo hóa được

Ví dụ a) Chéo hóa ma trận A nếu được.

7.2 Chéo hóa ma trận -

Ví dụ Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1

A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao

Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên

họ trực chuẩn

Hệ quả

Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau

Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại

ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho

A = PDP -1 =PDP T

Định nghĩa

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao

Chú ý: ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được

Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trựcgiao P

Bước 1 Lập phương trình đặc trưng Giải tìm trị riêng.

Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

riêng Tìm cơ sở TRỰC CHUẨN của các kgian con riêng

Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng

xác định bội đại số và bội hình học

Để tìm cơ sở trực chuẩn của một không gian con riêng nào đó tachọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần)

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao -

1 1

1

0 ; 1

0 ; 4 / 18 1/ 2 1/ 18

4 ( , )

Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giao

của không gian con riêng :

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao -

3

2

1 ; 2

18

2 3 1/ 3

2 3

Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 3, để tìm cơ sở trực giao (rồitrực chuẩn) của không gian con riêng có chiều bằng hai, ta cóthể không sử dụng quá trình Gram – Schmidt.

Trong ví dụ trước ta có thể tìm cơ sở trực giao của như sau:

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao -

Ví dụ Tìm ma trận đối xứng thực cấp 3 (khác với ma trậnchéo) sao cho có ba trị riêng là 1  2; 2   1; 3  1

A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trậntrực giao P và ma trận chéo D 2 0 0

Dùng quá trình Gram – Schmidt đưa E về cơ sở trực giao, sau

đó trực chuẩn hóa, ta được cơ sở trực chuẩn

Các cột của ma trận trực giao P là cơ sở trực chuẩn này

Kết luận Ma trận đối xứng thực cần tìm:A  PDP 1  PDPT

A là ma trận đối xứng thực nên trị riêng của A là những số thực.

Nếu , thì i là trị riêng của ma trận đối xứng A(điều không thể xảy ra)

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

-Trong chương ánh xạ tuyến tính ta biết: có thể coi ánh xạ tuyến

tuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận

Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ

  K

Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyến

tính f tương ứng với trị riêng 

Định nghĩa

Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính f V :  V

x  V

với véctơ ban đầu

Nếu xét trong không gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùng

Giả sử véctơ v 0  0; v 0  ( )  Khi đó: f v ( 0)  v 0  1.v 0

Suy ra v 0 là VTR của f và 0  1 là trị riêng của f

Khi đó: f v ( )1   v1   ( 1).v1

Suy ra v1 là VTR của f và 1   1 là trị riêng của f

Giả sử véctơ v1  0; v1  ( ) 

Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng

y = x trong hệ trục tọa độ 0xyz Tìm TR và VTR của f.

( ) 

Tất cả các vectơ khác không thuộc ( )  là VTR ứng với TR 0

Tất cả các vectơ  0 vuông góc với ( )  là VTR ứng TR 1

Không còn TR, VTR loại khác (tại sao?)

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Giả sử 0 là TR của axtt f   x0  0; x0  V : ( f x0)  0 0x

Cho V là K-kgvt, E là một cơ sở của V

Kết luận 1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại

2) Nếu véctơ x0 là VTR của ma trận A ứng với TR 0,

thì véctơ x sao cho[ ] x E  x0 là VTR của f ứng với TR 0.

Bước 1 Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V.

Tìm ma trận A của f trong cơ sở E

1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại

2) Nếu véctơ x0 là VTR của ma trận A ứng với TR 0,

thì véctơ x sao cho[ ] x E  x0 là VTR của f ứng với TR 0.

Chú ý VTR của ma trận không hẳn là VTR của axtt mà là tọa độ

của VTR của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.Cần đổi sang cơ sở chính tắc

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính -

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính -

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính -

vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A

Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong

Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính

1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: E  { (1,1,1),(1,2,1),(1,1,2) }

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính -

Để giải câu 1) và 2) ta sử dụng công thức  f x ( ) E  A x  E

Tuy nhiên theo ví dụ trước ta thấy véctơ (2,0,4) là VTR của ftương ứng với TR 1  3

Vậy f (2,0,4)  3 (2, 0, 4)  (6,0,12)

Theo định nghĩa của trị riêng, véctơ riêng của axtt ta có:

Biết ảnh của một cơ sở của R3, suy ra ta có thể tìm được f(x)

Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết f có 3 trị riêng là

7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

-Trong chương trước ta biết ánh xạ tuyến tính là một ma trận A

của ánh xạ trong một cơ sở E nào đó

Cho ánh xạ tuyến tính f V :  V

Khi làm việc với axtt f ta làm việc với ma trận A này

Trong không gian véctơ V có vô số cơ sở E, F, G,…

Tương ứng với các cơ sở đó có vô số ma trận của f trong các cơ

của f trong B là ma trận chéo D

Ánh xạ tuyến tính có thể coi là một ma trận nên chéo hóa ánh

xạ tuyến tính cũng là chéo hóa ma trận

Ánh xạ tt chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận chéo hóa được

Ma trận của ánh xạ tt trong các cơ sở khác nhau thì đồng dạngnên chúng có cùng đa thức đặc trưng, cùng tập trị riêng

Một ma trận của f trong cơ sở A chéo hóa được thì ma trận của

f trong các cơ sở khác cũng chéo hóa được và ngược lại

Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính gọi là chéo hóa được nếu tồn tại

cơ sở B của V, sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trậnchéo D

:

f V  V

7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

-Tìm ma trận A của f trong cơ sở E

Nếu A chéo hóa được, thì f chéo hóa được

Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận chéo D

Nếu A không chéo hóa được, thì f không chéo hóa được

Khi đó cơ sở B cần tìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở

Ma trận của f trong cơ sở B là ma trận chéo D

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B

là ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f nếu được)

2) Chéo hóa (nếu được) ma trận A (   3)(   6)2  0

Kiểm tra thấy BHH của 2  6 nhỏ hơn BĐS của nó

Vậy A không chéo hóa được, suy ra f không chéo hóa được

7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính -

Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết

Ví dụ

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B

là ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f nếu được)

7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính -

Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là:

1 4 2 1) 3 4 0 ; 1, 2,3.

Bài tập -

2 Chứng minh rằng nếu A chéo hóa và khả nghịch thì A-1

cũng chéo hóa và khả nghịch

3 Chứng tỏ nếu ma trận vuông A cấp n có n VTR độc lậptuyến tính thì ma trận AT cũng có n VTR độc lập tuyến tính

4 Chứng tỏ nếu B đồng dạng với A và A chéo hóa được thì

B cũng chéo hóa được

5 Chứng tỏ nếu B = P-1AP và x là VTR của A tương ứng với

TR , thì P -1x là VTR của B ứng với TR này

6 Chứng tỏ nếu A đồng dạng với B, thì rank(A) = rank(B)

7 Chứng tỏ nếu A chéo hóa được, thì A và AT đồng dạng

8 Chứng tỏ nếu A đồng dạng B, thì A2 và B2 đồng dạng

trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận củadạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

Định nghĩa

Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  R

1 2( , , , n )T n :

7.6 Dạng Toàn phương -

Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng

7.6 Dạng Toàn phương -

Cho dạng toàn phương f x ( )  x AxT , với x  ( x x1, 2, x3)T

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trậntrực giao P và ma trận chéo D: A  PDPT

Dạng toàn phương f y ( )  y DyT được gọi là dạng chính

( ) T

f x  x A x

tắc của dạng toàn phương

Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bìnhphương

Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương trong

cơ sở chính tắc

( ) T

f x  x A x

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương

trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P

7.6 Dạng Toàn phương -

Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc

dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao

Dạng toàn phương f x ( )  x A xT luôn luôn có thể đưa về

( ) T

f y  y Dy

ma trận A của dạng toàn phương

Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắckhác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi

sơ cấp)

Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn cònlàm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)

Bước 1 Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc)

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

7.6 Dạng Toàn phương -

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi

1 1

4 0

18

2 3 1/ 3

2 3

7.6 Dạng Toàn phương -

Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến

Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạngchính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn

Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến

nếu ma trận P là ma trận không suy biến

Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biếnđổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận

Bước 2 Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương.

Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa ,nhóm còn lại không chứa số hạng này

đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số x xi j

(   k i j , ) : y k  x k ; x i  y i  y j ; x j  y i  y j

Đổi biến:

7.6 Dạng Toàn phương

-Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến

đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

2 3

7 3

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi.

Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là:

7.6 Dạng Toàn phương -

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

1 Nếu (   k 1, , ) : n k  0, thì dạng toàn phương xđ dương

f y   y   y    y

2 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 , thì dạng toàn phương xđ âm

3 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 và  k  0, thì nửa xđ dương

4 Nếu (   k 1, , ) : n k  0 và  k  0, thì nửa xđ âm

5 Nếu  1  0; 2  0, thì dạng toàn phương không xác định dấu

2 2 2

f y   y   y    y

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính

Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính

Luật quán tính

Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toànphương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cáchđưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạngchính tắc Các dạng chính tắc này thường khác nhau

Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm

và số lượng các hệ số dương là không thay đổi

Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx.

Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)

1 xác định dương khi và chỉ khi (   i 1, ) : n  i 0

Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu

Đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Dạng toàn phương không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhấtmột hệ số âm và một hệ số dương

Xét dạng toàn phương f x y ( , )  3 x2  2 xy  3 y2

Vẽ đường cong trong hệ trục 0xy là

làm việc với cơ sở chính tắc của R2

Đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy

Nếu đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì

ta chỉ có thể nhận dạng được đường cong này, còn khó vẽ hình được

vì lúc đó ta sẽ làm việc với cơ sở (thường là) không trực chuẩn

Có nghĩa là vẽ hình trong hệ trục tọa độ không vuông góc!