2 ma trận, định thức kho tài liệu bách khoa

Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n, ‡nh th˘c (Dành cho Toán cao còp A2, C1) ThS Trản BÊo Ngc Bẻ mụn Toỏn, Khoa Khoa hÂc, §i hÂc Nơng Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n NỴi dung Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n 1.1 ‡nh nghæa ma tr™n ‡nh nghỉa ma tr™n MỴt b£ng sË gÁm m ⇥ n sậ thác ềc cẻt nh sau a11 a12 a21 a22 6 am1 am2 s≠p x∏p thành m hàng n a1n a2n amn 7 ˜Ịc gÂi mỴt ma trn, ú mẩi sậ thác aij l mẻt phản t hng th i v cẻt th j cıa ma tr™n ∫ ng≠n gÂn ta th˜Ìng k˛ hiªu A = [aij ]m⇥n  Ví dˆ: A = có m = hàng n = cẻt 2 ThS Trản B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n 1.1 ‡nh nghæa ma tr™n Ai⇤ = {ai10 ai2 a1j B a2j B A⇤j = B @ ain } ∫ chø hàng th˘ i gÁm n ph¶n t˚ C C C cẻt th j gm m phản t A amj An k hiêu cho ma trn vuụng còp n cú sậ hng băng sậ cẻt ậi vểi ma tr™n vng, ˜Ìng chéo ˜Ìng chéo gÁm ph¶n t˚ a11 , a22 , , ann Ma tr™n ˜Ìng chéo ma tr™n vng m cỏc phản t khụng năm trờn èng chộo chớnh u băng 0 0 7 ma tr™n ˜Ìng chéo Ví dˆ: Ma tr™n 0 0 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n 1.2 Các phép toán ma tr™n Cho A = [aij ]m⇥n B = [bij ]m⇥n Khi ó A = B , aij = bij vÓi mÂi i = 1, 2, , n j = 1, 2, , n N∏u C = A + B vĨi C = [cij ]m⇥n cij = aij + bij vÓi mÂi i = 1, 2, , n j = 1, 2, , n Ma tr™n Ëi cıa ma tr™n A ˜Ịc k˛ hiªu A A = [ aij ]m⇥n k.A = [k.aij ]m⇥n Ma tr™n chuy∫n v‡ ( ˜Ịc k˛ hiªu bi) AT = [cij ]n⇥m cıa A ma tr™n xác ‡nh bi cij = aji ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n 1.2 Các phép toán ma tr™n Cho A = [aij ]m⇥n B = [bij ]n⇥p Khi ó phép nhân hai ma tr™n C = A.B ˜Òc xác ‡nh bi cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + ain bnj ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n 1.2 Các phép tốn ma tr™n Ví dˆ: Th¸c a) 3 hiªn phép tốn 3T 2 7 5 7   b) Dùng qui n§p tính vĨi A =   c) Cho A = B = Ch˘ng minh AB 6= BA An ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n NỴi dung Ma tr™n ‡nh th˘c Ma trn nghch Êo HĐng ca ma trn ThS Trản B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ‡nh th˘c 2.1 ‡nh nghỉa ‡nh th˘c cßp 1, 2, cßp n ‡nh th˘c cßp 1, cßp cßp Cßp Cßp ‡nh th˘c cıa ma tr™n cßp A = [a11 ] |A| = a11  a11 a12 ‡nh th˘c cıa ma tr™n cßp A = a21 a22 |A| = Cßp a11 a12 a21 a22 = a11 a22 a21 a12 ‡nh th˘c cßp xác ‡nh bi a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = +a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ‡nh th˘c 2.1 ‡nh nghæa ‡nh th˘c cßp 1, 2, cßp n Cách nhĨ qui t≠c Sarius tính ‡nh th˘c cßp Ví dˆ: 2 = + 1.( 5).( 9) + ( 2).6.7 + 3.( 4).8 3.( 5).7 = 1.6.8 ( 2).( 4).( 9) 2[2.( 2) 3.( 1)] ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ‡nh th˘c 2.2 Tính chßt cıa ‡nh th˘c TC det(AB) = det(A).det(B) Ví dˆ: Cho ma tr™n A4⇥4 có det(A) = Tính det(AT ), det(A2 ), det(2A) Rút k∏t lu™n? Ví dˆ: Tính ‡nh th˘c cıa ma tr™n sau 2 1 1 1 b) a) 4 x x x +1 băng nh nghổa (cú th kt hềp cỏc tớnh chòt) ThS Trản BÊo Ngc Ma trn, ‡nh th˘c 1 7 4x ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o HĐng ca ma trn nh thc 2.2 Tớnh chòt ca ‡nh th˘c TC N∏u B ma tr™n thu ềc băng phộp bin i còp hi ! hi + ↵hj (ho∞c ci ! ci + ↵cj ) cıa ma tr™n A a11 a12 a22 TC 0 Ví dˆ: Tính c = |B| = |A| a1n a2n = a11 a22 ann ann 2 1 3 1 ThS Tr¶n B£o NgÂc ,d= Ma tr™n, 1 ‡nh th˘c 3 1 ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ‡nh th˘c 2.2 Tính chßt cıa ‡nh th˘c Ví dˆ: Tính a = x 1 1 x 1 1 x 1 1 x b = 1 1 x x2 16 x3 27 64 x x +1 x +2 x +1 x +3 x +5 x + x + x + 14 3 2 Ví dˆ: Cho ma tr™n A = 5 B = 5 Tính 4 |A|, |B| |A.B| Rút k∏t lu™n? Ví dˆ: Gi£i bßt ph˜Ïng trình ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n NỴi dung Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n ngh‡ch £o 3.1 ‡nh nghæa 6 Ma tr™n ( ˜Ịc k˛ hiªu bi) In = ma tr™n Ïn v‡ cßp n 0 7 ˜Òc gÂi 0 n⇥n ‡nh nghỉa ma tr™n ngh‡ch £o cıa ma tr™n vng An Nu tn tĐi ma trn vuụng B cựng còp cho AB = In BA = In B ˜Òc gÂi ma tr™n ngh‡ch £o cıa A ‡nh l v sá tn tĐi ma trn nghch Êo Nu |A| = ma tr™n ngh‡ch £o A ThS Trản BÊo Ngc Ma trn, tn tĐi nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Ma tr™n ngh‡ch £o 3.2 Công th˘c ma tr™n ngh‡ch £o ‡nh l˛ (Công th˘c tìm ma tr™n ngh‡ch £o) N∏u ma tr™n ngh‡ch £o A A cıa ma tr™n vng A tÁn t§i = PA |A| ó ma tr™n PA = [Aij ]T vểi Aij l phản bự Đi sË cıa aij Ví dˆ: Tìm ma tr™n ngh‡ch £o cıa ma tr™n  3 A= B = 4 3 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma trn nghch Êo HĐng ca ma trn Nẻi dung Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch Êo HĐng ca ma trn ThS Trản BÊo Ngc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.1 Ma tr™n b™c thang Ma tr™n mà cú tòt cÊ cỏc phản t bờn dểi èng chộo chớnh băng khụng ềc gi l ma trn bc thang cú dĐng Hỡnh: Phản mu vng l phản băng Ví dˆ: 0 2 6 , 10 11 12 0 0 13 14 0 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, 3 7 10 ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.2 Các phép bi∏n Íi sÏ cßp Ëi vĨi ma trn A (khụng nhòt thit vuụng), tiên lềi, ta s≥ k˛ hiªu hi hàng th˘ i thay Ai⇤ Qui ˜Ĩc k˛ hiªu Các phép bi∏n bÍi sÏ cßp hàng Ëi vĨi ma tr™n A (khơng nhßt thi∏t ma tr™n vng) mà ta s≥ xét hi hi ! hj : Íi chÈ gi˙a hai hàng th˘ i hàng th˘ j ! ↵hi : nhân hàng i cho ↵ hi ! hi + ↵hj : hàng th˘ i s≥ ˜Òc thay th∏ bi hng th i cẻng vểi lản hng th j (hàng j khơng Íi) Các phép bi∏n Íi sÏ cßp trờn cẻt ềc qui ểc tẽng tá nh trờn hng ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.2 Các phép bi∏n Íi sÏ cßp Ví dˆ ùng phép bi∏n Íi tr™n tam giác vÓi 1 1 a) 2 1 2 1 b) 3 sÏ cßp hàng, ˜a ma tr™n A v∑ ma 7 1 7 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.2 Các phép bi∏n Íi sÏ cßp a) h2 h3 h4 h3 h4 h4 A =6 ! ! ! ! ! ! h2 h1 h3 + h1 h4 2h1 h3 + 2h2 h4 + h2 h4 h3 6 6 6 1 2 1 1 0 1 1 3 0 1 0 5 12 0 1 0 12 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, 1 7 7 hàng gi˙ nguyên 3 7 hàng 1, gi˙ nguyên 5 7 hàng 1, 2, gi˙ nguyên ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.2 Các phép bi∏n Íi sÏ còp b) Thác hiên cỏc phộp bin i còp a), ta thu ˜Òc 2 A !6 0 0 hàng t˜Ïng t¸ nh˜ câu 7 ma tr™n b™c thang thu ˜Ịc vng nên ma tr™n b™c thang ˜Ịc gÂi ma tr™n tam giác ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma tr™n 4.3 H§ng cıa ma tr™n HĐng ca ma trn (khụng nhòt thit phÊi vuụng) Kớch th˜Ĩc lĨn nhßt cıa ma tr™n vng có ‡nh th˘c khác ˜Ịc gÂi h§ng cıa ma tr™n Ví dˆ: Cho ma tr™n A = 0 0 a) Có th∫ trớch t A mẻt ma trn vuụng còp khơng? b) Có th∫ trích t¯ A nh˙ng ma trn vuụng còp mòy? c) Cho bit hĐng cıa ma tr™n A Gi£i thích t§i 1 1 2 7 Ví dˆ: Tìm h§ng cıa ma tr™n B = 4 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n H§ng cıa ma trn 4.4 Tỡm hĐng ca ma trn băng cỏc phộp bin i còp nh l (v cỏch tỡm hĐng cıa ma tr™n) GÂi B ma tr™n b™c thang thu ềc t A băng cỏc phộp bin i cßp Khi ó sË hàng khác cıa ma tr™n B h§ng cıa ma tr™n A Ví dˆ: S˚ dˆng tr™n A=4 phép bi∏n Íi sÏ cßp, tìm 0 B = 4 0 ThS Trản BÊo Ngc Ma trn, hĐng ca cỏc ma 1 1 7 ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n ngh‡ch £o H§ng cıa ma tr™n Mơ- un: Ma tr™n, ‡nh th˘c HòT ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma tr™n, ‡nh th˘c ( ... a 12 a21 a 22 = a11 a 22 a21 a 12 ‡nh th˘c cßp xác ‡nh bi a11 a 12 a13 a21 a 22 a23 a31 a 32 a33 = +a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a21 a 32 a13 a13 a 22 a31 a 12 a21 a33 a23 a 32 a11 ThS Tr¶n B£o NgÂc Ma. .. th˘c cıa ma tr™n ‡nh th˘c theo hàng |A| = a21 A21 + a 22 A 22 + a23 A23 = 5.( 1 )2+ 1 + 0.( 1 )2+ 3 = 1 5.3 + ( 3) = ThS Tr¶n B£o NgÂc + 1.( 1 )2+ 2 18 Ma tr™n, ‡nh th˘c ( Ma tr™n ‡nh th˘c Ma tr™n... chung k a11 a 12 a1n a11 a 12 a1n k.a21 k.a 22 k.a2n a21 a 22 a2n =k an1 an2 ann an1 an2 ann HQ 1: N∏u ma tr™n A có mỴt hàng (ho∞c mẻt cẻt) băng O thỡ |A| = HQ 2: det(kA)