Chơng 9: Ma trận - Định thức 9.1 Ma trận 9.1.1 Định nghĩa ma trận Định nghĩa 9.1 Một tập hợp mì n số thực đợc xếp có thứ tự thành bảng gồm m dòng n cột đợc gọi ma trận cấp mì n, ký hiƯu lµ: a11 a 21 A= am1 a12 a22 am2 a1n a2 n = ( aij ) , m× n amn m×n m, n số nguyên dơng; số aij ( i = 1,m; j = 1,n ) đợc gọi phần tử nằm dòng i cột j ma trận Chú ý 9.1 Trong chơng ta giả thiết cấp ma trận tích hai số nguyên dơng Hai ma trận cấp đợc gọi phần tử tơng ứng chúng đợc gọi khác có phần tử khác Một ma trận cấp mì n mà tất phần tử đợc gọi ma trận không cấp mì n, ký hiệu 0m×n VËy : 0 0 0m×n = 0 m× n Mét ma trËn cÊp nì n đợc gọi ma trận vuông cấp n a11 a 21 A= an1 a12 a22 an2 a1n a2 n = ( aij ) , n× n ann n×n ma trận vuông cấp n, đờng chéo từ a11 đến ann đợc gọi đờng chéo chính, đờng chéo từ an1 đến a1n đợc gọi đờng chéo phụ Một ma trận vuông cấp n có phần tử đờng chéo (hoặc đờng chéo phụ) số khác 0, phần tử khác đợc gọi ma trận đờng chéo cấp n Chẳng hạn, 0 , 0 0 −1 n×n Một trận đờng chéo cấp n có phÇn tư n n − 0 0 nì n đờng chéo đợc gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu Emìn Vậy: Emìn = 0 n× n Mét ma trận cấp mì n đợc gọi ma trận hình thang phần khác ma trận lập thành hình thang vuông Chẳng hạn, ma trận sau ma trận hình thang: 0 0 0 5 2 , −1 0 4× 0 3 0 , 2 3 1 −2 4× 0 0 1 1 0 0 0 0 2 −1 0 1 0 , 0 4× 0 0 0 4× NhËn xÐt 9.1 Cho A = (aij)m×n NÕu gäi A1, A2, , An lần lợt cột ma trận A Thì ma trận A hệ gồm n vect¬ cét m chiỊu, hay A = (A 1, A2, , An) Nếu gọi A1, A2, , Am lần lợt dòng ma trận A Thì ma trận A hệ gồm m vectơ cột n chiều, hay A1 ÷ A ÷ ÷ ÷ A= ÷ ÷ ÷ Am ữ 9.1.2 Các phép tính ma trận Định nghĩa 9.2 Cho ma trận a11 a 21 A= am1 a12 a22 am2 a1n a2 n amn m×n Ma trận chuyển vị ma trận A đợc ký hiệu xác định nh sau: AT a11 a 12 = a1n a21 a22 a2 n an1 an2 an m n×m VÝ dô 9.1 1 1 ⇒ AT = A= 2 3×4 3 6 5 7 4× NhËn xÐt 9.2 Víi mäi ma trËn A ta lu«n có: (A T )T = A Định nghĩa 9.3 Các phép biến đổi sau thực vào ma trận đợc gọi phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) ma trận cho Nhân phần tử dòng (hoặc cột) ma trận với số khác Nhân phần tử dòng (hoặc cột) ma trận với số cộng tơng ứng vào dòng (hoặc cột) khác Nhận xét 9.3 Các phép biến đổi sơ cấp thực vào ma trận phép biến đổi sơ cấp thực vào hệ véctơ dòng (hoặc hệ véctơ cột) ma trận Định nghĩa 9.4 Cho hai ma trận A = (aij)mìn B = (bij)mìn tổng hai ma trận ma trận đợc ký hiệu xác định nh sau: A + B =(aij + bij) mìn Nhận xét 9.4 Cần lu ý r»ng chØ cã tỉng cđa hai ma trËn cïng cÊp mà tổng hai ma trận khác cấp Định nghĩa 9.5 Cho ma trận A = (aij)mìn k số tích số k với ma trận A ma trận đợc ký hiệu xác định nh sau: kA = (kaij)mìn Định nghĩa 9.6 Cho ma trËn A = (aij)m×n Gäi A1, A2, , An lần lợt cột ma trận A; B vectơ cột m chiều k số nguyên dơng thoả mÃn k n Phép vectơ cột B vào vị trí cột k A bỏ cột thứ k A thay vào cột B Ma trận nhận đợc, đợc ký hiệu xác định nh sau: Ak(B) = (A1, A2, , Ak-1, B, Ak+1, , An) nÕu 1< k < n; A1(B) = (B, A2, A3, , An) nÕu k = 1; An(B) = (A1, A2, , An-1, B) nÕu k = n T¬ng tù ta cã phÐp vào dòng Ví dụ 9.2 Cho vectơ B = (a, b, c) ma trận A = Khi ®ã, ta cã: 8 1 1 a a b c , A (BT) = b A2(B) = 8 8 c Tính chất 9.1 Cho A, B, C ma trận cấp; k số thực Thì: A + B = B + A, k(A + B) = kA + kB, (A + B) + C = A + (B + C) Định nghĩa 9.7 Cho hai ma trËn A = (aij)m×n, B = (bij)n×p TÝch cđa hai ma trận A B ma trận đợc ký hiệu xác định nh sau: AB = (cij)mìp ®ã cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj (i = 1, 2, 3, , n; j =1, 2, 3, ,p) NhËn xÐt 9.5 (i) Hai ma trËn nhân đợc với số cột ma trận bị nhân số dòng ma trận nhân Ma trËn tÝch cã sè dßng b»ng sè dßng cđa ma trận bị nhân, số cột số cột ma trận nhân (ii) Phần tử nằm dòng i cột j ma trận tích bằng, phần tử nằm dòng i ma trận bị nhân, nhân tơng ứng với phần tử nằm cột j ma trận nhân cộng lại (iii) Ma trận A nhân đợc với ma trận B, nhng B cha đà nhân đợc với A (chẳng hạn số cột B khác số dòng A) Vì phép nhân ma trận không giao hoán 1 ,B = VÝ dô 9.3 Cho hai ma trËn A = 2 3×4 3 c11 AB = c21 c31 c12 c22 c32 41 38 BA = 44 59 6 5 Th× 7 4× c13 14 47 c23 = 21 41 , c33 47 41 191 38 41 35 49 44 35 53 69 59 49 69 91 NhËn xÐt 9.6 NÕu A = (aij)m×n AE nìn = A E mìmA= A 9.2 định thức 9.2.1 Hoán vị nghịch Định nghĩa 9.7 Cho n số nguyên, dơng 1,2,3, , n Mỗi cách xếp vị trí n số đợc gọi hoán vị n số Nếu hoán vị, mà số đứng trớc lớn số đứng sau tạo thành nghịch Số nghịch hoán vị tổng nghịch có hoán vị Ký hiệu số nghịch hoán vị (j1,j2, ,jn) N(j1,j2, ,jn) Hoán vị (j1,j2, ,jn) đợc gọi hoán vị chẵn (hoặc lẻ) N(j1, j2, , jn) số chẵn (hoặc số lẻ) Ví dụ 9.4 (i) Nếu n = Thì có hoán vị lµ (1), N(1) = (ii) NÕu n = Thì có hai hoán vị (1,2) (2,1) N(1,2) = 0, N(2,1) = (iii) NÕu n = Thì có hoán vị là: (1,2,3), N(1,2,3) = 0; (1,3,2), N(1,3,2) = 1; (2,1,3), N(2,1,3) = 1; (2,3,1), N(2,3,1) = 2; (3,1,2), N(3,1,2) = 2; (3,2,1), N(3,2,1) = Chú ý 9.2 Với n số có n! hoán vị Tính chất 9.2 Nếu đổi chỗ hai số hoán vị cho số nghịch thay đổi tính chẵn (lẻ) Nghĩa là, (j1,j2, , ji, , jk, , jn) hoán vị chẵn (j1, j2, , jk, , ji, , jn) hoán vị lẻ ngợc lại 9.2.2 Định nghĩa định thức Định nghĩa 9.8 Cho A =(aij)mìn ma trận vuông cấp n Từ dòng A lấy tuỳ ý phần tử cho hai phần tử nằm cột, chẳng hạn xếp theo thứ tự tăng dần dòng phần tử a j1 , a j2 , , a jn (tõ ma trËn A lÊy đợc n! số nh trên) Khi đó, định thøc cđa ma trËn A lµ: N ( j ,j , ,j ) a1 j a j a jn ∑ ( − 1) n ∀ ( j1 ,j2 , ,jn ) a11 a21 A, hc det(A), hc an1 A = ∑ a12 a22 an2 ∀ ( j1 ,j2 , ,jn ) n đợc ký hiệu là: D, a1n a2 n VËy: ann ( − 1) N( j ,j , ,j ) a1j a2 j a jn n n (9.1) NhËn xÐt 9.7 Tæng (9.1) cã n! số hạng đợc viết dới dạng: A= ∀(i1 ,i , ,i n ) ( −1)N(i1 ,i2 , ,in ) a i11a i2 a inn (9.2) VÝ dô 9.5 (i) n =1 ⇒ A= a11= (−1)0 a11 = a11 (ii) n = ⇒ A= a11 a12 = ( −1)N(1,2 ) a11a 22 + ( −1)N( 2,1) a12a 21 = a11a 22 − a12a 21 a21 a 22 a11 a12 (iii) n = ⇒ A= a21 a 22 a31 a32 a13 a 23 = ( −1)N(1,2,3 ) a11a 22a33 + ( −1)N(1,3,2 ) a11a 23a 32 + a 33 ( −1)N( 2,1,3 ) a12a 21a33 + ( −1)N( 2,3,1) a12a 23a31 + ( −1)N( 3,1,2,) a13a 21a32 + ( −1)N( 3,2,1) a13a 22a31 = a11a 22a33 + a12a 23a31 + a13a 22a31 −a11a 23a32 −a12a 21a33 −a13a 21a32 NhËn xÐt 9.8 Trong định thức cấp ba có ba số hạng mang dấu cộng tích ba số theo đờng chéo song song đờng chéo chính, ba số hạng mang dấu trừ tích ba số theo ®êng chÐo phơ vµ song song ®êng chÐo phơ 9.2.3 Tính chất định thức Định lý 9.1 Cho ma trận A =(aij)nìn Khi đó, định thức ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, nghĩa là: A = A T Chøng minh V× A =(aij)n×n⇒ AT =(aji)nìn Theo định nghĩa định thức công thøc (9.1), (9.2) ta cã: A= ∑ ∀( j1 ,j2 , ,jn ( −1)N( j1 ,j2 , ,jn ) a1 j1 a2 j2 anjn = ) ∑ ∀( j1 ,j2 , ,jn ) ( −1)N( j1 ,j2 , ,jn ) a j11a j2 a jnn =AT NhËn xÐt 9.9 Vì phép chuyển vị ma trận phép chuyển dòng j (j =1,2, ,n) ma trận A (tơng ứng) thành cột j ma trận AT, nên từ định lý 9.1 ta suy ra: tính chất định thức cho dòng cho cột định thức Định lý 9.2 Nếu đổi chỗ hai dòng định thức cho (hai cột định thức cho nhau) định thức ®ỉi dÊu Chøng minh Sư dơng kÕt qu¶ cđa nhận xét 9.9, nên ta cần chứng minh định lý cho phép đổi chỗ hai cột cho Cho A = (a)nìn với cột A1, A2, , An Giả sử đổi chỗ cột thứ j cột thø k cña |A| cho (1 ≤ j < k n) đợc định thức ký hiệu |A′ | Ta cã: |A| =|A1,A2, ,Aj, , Ak, ,An | = ∑ N(i1 ,i , ,i j , ,i k , ,i n ) ( −1) ∀(i1 ,i , ,i j , ,i k , i n ) = − ∑ a i11a j2 a i jj a ikk a inn N(i1 ,i , ,i k , ,i j , ,i n ) ( −1) ∀(i1 ,i , ,i k , ,i j , i n ) a i11a j2 a ikk a i jj a inn = −|A1,A2, ,Ak, , Aj, ,An | = −|A′ | HƯ qu¶ 9.2.1 NÕu mét định thức có hai dòng (hoặc hai cột nhau) định thức Ví dụ 9.6 Cho a1, a2, , an số thực khác Giải phơng trình: x a1 an x x n n a1 a1 = n an a n Giải Vế trái phơng trình định thức cấp n +1 nên có (n +1)! số hạng Mỗi số hạng tích n +1 thừa số, thừa số nằm dòng định thức Vì vậy, số hạng định thức có thừa số nằm dòng có chứa x với luỹ thừa bậc cao n, thừa số khác số Hay phơng trình đà cho phơng trình bậc n theo x, ®ã cã nhiỊu nhÊt lµ n nghiƯm NÕu x = a1 dòng dòng định thức nên định thức 0, hay x = a1 nghiện phơng trình Tơng tự, ta ®ỵc x = a1, x = a2, , x = an n nghiệm cần tìm phơng trình Định lý 9.3 Nếu nhân tất phần tử nằm dòng (hoặc cột) với số định thức đợc nhân với số Chẳng hạn, gọi A1,A2, ,Aj, ,An lần lợt cột |A| với A = (a)nìn k số thực Thì: |Aj(kAj)| = k|A| ⇔ |A1,A2, ,kAj, ,An | = k|A| Chøng minh Theo định nghĩa định thức ta có: kA= k ∀( j ,j ∑ , ,jk , jn ) = ∑ ∀( j1 ,j2 , ,jk , jn ) ( −1)N( j1 ,j2 , ,jk , jn ) a1 j1 a j2 a kjk anjn ( −1)N( j1 ,j2 , ,jk , jn ) a1 j1 a j2 ka kjk anjn =|A1,A2, ,kAj, ,An | HÖ 9.3.1 Nếu định thức có dòng (hoặc cột) không định thức Hệ 9.3.2 Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) tỷ lệ với định thức Định lý 9.4 (Tính chất tuyến tính) Cho A ma trận vuông cấp n với cột A1, A2, , An; B1, B2, , Bm vectơ cột n chiều; k1, k2, , km số thực ; j sè cét cđa A (1 ≤ j ≤ n) Th×: |Aj(k1B1+ k2B2+ + kmBm)| = k1|Aj(B1)| + k2|Aj(B2)| + + km|Aj(Bm)| ⇔ |A1,A2, ,Aj-1, k1B1+ k2B2+ + kmBm, Aj+1, ,An | = k1|A1,A2, ,Aj-1,B1,Aj+1, ,An|+ k2|A1,A2, ,Aj-1,B2,Aj+1, ,An |+ + km|A1,A2, ,Aj-1,Bm,Aj+1, ,An | HƯ qu¶ 9.4.1 NÕu céng vào cột (hoặc dòng) tổ hợp tuyến tính cột (hoặc dòng) khác giá trị định thức không đổi Chứng minh Giả sử |A| định thức cấp n với cột A 1, A2, , An; céng vµo cét tỉng k2A2+ k3A3+ + knAn với k2, k3, , kn số thực Thì định thức là:|A1 + k2A2+ k3A3+ + knAn,A2,A3, ,An| = |A1,A2,A3, ,An| + k2|A2,A2,A3, ,An|+ k3|A3,A2,A3, ,An|+ + kn|An,A2,A3, ,An| = |A| Các trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm) Hệ 9.4.2 Nếu định thức có dòng (hoặc cột) tổ hợp tuyến tính dòng (hoặc cột) khác định thức Chứng minh Giả sử |A| định thức cấp n với cột A 1, A2, , An; cã A1 = k2A2+ k3A3+ + knAn với k2,k3, ,kn số thực Thì định thức ®ã lµ: |k2A2+ k3A3+ + knAn,A2,A3, ,An| = k2|A2,A2,A3, ,An|+ k3|A3,A2,A3, ,An|+ + kn|An,A2,A3, ,An| = C¸c trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm) Hệ 9.4.3 Nếu định thức có hệ vectơ dòng (hoặc cột) hệ phụ thuộc tuyến tính định thức Chứng minh Giả sử |A| định thức cấp n với cột A 1, A2, , An; có hệ vectơ cột phụ thuộc tuyến tính Thì hệ vectơ cột có vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại hệ Chẳng hạn A1 Thì: A1 = k2A2+ k3A3+ + knAn víi k2,k3, ,kn lµ số thực Thì định thức là: |k2A2+ k3A3+ + knAn,A2,A3, ,An| = k2|A2,A2,A3, ,An|+ k3|A3,A2,A3, ,An|+ + kn|An,A2,A3, ,An| = Các trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm) Hệ 9.4.4 Nếu định thức khác hệ vectơ dòng (cột) độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử |A| mà hệ { A1, A2, , An} vectơ cột phụ thuộc tuyến tính Theo hệ 9.4.3 |A| = 0, trái với giả thiết (đpcm) Ví dụ 9.7 Tính định thức sau: a) a2 (a + 1)2 (a + )2 (a + 3)2 12345 12347 b2 (b + 1)2 (b + )2 (b + 3)2 D1 = , b) D2 = 22345 22347 c (c + 1)2 (c + )2 (c + 3)2 d (d + 1)2 (d + )2 (d + 3)2 Gi¶i a) LÊy cét thứ trừ cột thứ áp dụng hƯ qu¶ 9.4.1 ta cã: D1 = 12345 22345 a a 2 b b b) Đặt: A = , B = , C = c c d d ¸p dụng định lý 9.4 ta có: =2 12345 1 1 1 1 22345 = −20000 a33 a 34 a 44 |A| = a11a22(−1)2 0 a 3n a 4n ann Tơng tự nh ta suy |A| = a11a22 ann VÝ dô 9.10 Tính định thức sau: 0 (i) |A| = an (ii) |A| = 0 a1n 0 a 0 a1 , với a1, a2, , an số thực 0 a 2(n −1) a1n a2n a 2n an(n −1) ann , víi aij (i, j =1,2, ,n) số thực Giải (i) Khai triển định thức theo cột ta đợc: |A| = an(−1)1+n 0 an −1 0 a a1 Khai triển định thức theo cột ta đợc: |A| = anan1(1)1+n (1)1+(n-1) 0 an − 0 a a1 Tơng tự nh ta suy |A| = (−1)2(1+2+ +n) a1a2 an= (−1)n(1+n) a1a2 an (ii) Khai triển định thức theo cột ta đợc: 0 a 2(n −1) a1n a2n |A| = an1(−1)1+n a(n −1)2 a(n −1)3 a(n −1)(n −1) a(n 1)n Khai triển định thức theo cột ta đợc: |A| = an1a(n−1)2(−1) 1+n (−1) 1+(n-1) 0 a 2(n −1) a1n a2n a(n − )3 a(n − )4 a(n − )(n −1) a(n − )n Tơng tự nh ta suy |A| = (−1)2(1+2+ +n) an1a(n-1)2 ann= (−1)n(1+n) an1a(n-1)2 ann VÝ dô 9.11 TÝnh |A| = 2 3 4 4 5 5 5 Giải Nhân dòng với (2) cộng vào dòng 2, Nhân dòng với (3) cộng vào dòng 3, Nhân dòng với (4) cộng vào dòng 4, Nhân dòng với (5) cộng vào dòng Nh ta đà thêm vào dòng (từ dòng đến dòng 5) tổ hợp tuyến tính dòng lại Theo hệ 9.4.1 giá trị định thức không đổi Vậy: |A| = 0 −2 −3 −4 −3 −6 −8 −4 −8 −12 −5 −10 15 Khai triển định thức theo cột ta đợc: −5 −10 −15 −20 −2 −3 −4 −5 −3 −6 −8 −10 |A| = (−1)2 −4 12 15 10 15 20 áp dụng định lý 9.3 ta cã: |A| = 5(−1)4 10 12 15 Nh©n cét víi (−2) råi céng vào cột 2, Nhân cột với (3) cộng vào cột 3, Nhân cột với (4) cộng vµo cét ta cã: −1 −2 −3 −1 −2 |A| = 0 1 0 Khai triển định thức theo dòng ta đợc: = |A| = 5(−1)5 0 −1 9.4 Ma trận nghịch đảo 9.4.1.Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa 9.10 Cho A X ma trận vuông cấp n Ma trận X đợc gọi ma trận nghịch đảo ma trận A nếu: XA = AX = Enì n Ma trận nghịch đảo ma trận A đợc ký hiệu A1 Vậy A1A = A A1 = Enì n Định lý 9.5 Nếu ma trận A = (aij)nì n có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo −1 −1 Chøng minh Gi¶ sư ma trËn A cã hai ma trận nghịch đảo A1 A Theo định nghĩa 9.10 ta có: 1 1 A1 A = A A1 = En× n, A A = A A = En× n −1 −1 Nhân bên trái hai vế A A1 = Enì n với A ta đợc: 1 −1 −1 −1 −1 −1 A A A1 = A En× n ⇔ ( A A) A1 = A ⇔ En× n A1 = A −1 −1 ⇔ A1 = A (®pcm) 9.4.2 Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo Định nghĩa 9.11 Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận phụ hợp ma trận A đợc ký hiệu xác định nh sau: A 11 A A = 12 A1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n A nn nìn Định lý 9.6 Cho A ma trận vuông cấp n Nếu A ma trận phụ hợp ma trận A thì: A A A = A A = |A|En×n= 0 A 0 A n ìn Chứng minh Giả sử A A = (cij)nìn Theo công thức khai triển định thức theo dßng ta cã: cii = ai1Ai1 + ai2Ai2+ + ainAin = |A| (i =1,2, ,n) Nếu định thức có dòng i dòng j công thức khai triển định thức theo i ai1Ai1 + ai2Ai2+ + ainAin = ai1Aj1 + ai2Aj2+ + ainAjn =0 VËy: cij = ai1Aj1 + ai2Aj2+ + ainAjn = (∀i, j =1,2, ,n; i j) (đpcm) Định nghĩa 9.12 Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận A đợc gọi ma trận không suy biến |A| đợc gọi ma trận suy biến |A| = 1 3 VÝ dô 9.12 Ma trËn A = lµ ma trËn suy biÕn v× |A| = Ma trËn 2 7 1 3 A = lµ ma trËn không suy biến |A| = 14 7 Định lý 9.7 Cho A ma trận vuông cấp n Điều kiện cần đủ để ma trận A có ma trận nghịch đảo ma trận A không suy biến Chứng minh Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A −1 th× A A−1 = En×n Suy ra: | A A1| = |Enìn| |A||A1| = |A| Ngợc lại, A ma trận không suy biến |A| Gọi A ma trận phụ hợp A Theo định lý 9.5 9.6 thì: A A = A A = |A|En×n ⇒ A−1 = A ma trận nghịch đảo A (đpcm) A Quy tắc tìn ma trận nghịch đảo Tính |A| Nếu |A| = 0, khẳng định ma trận A suy biến ma trận nghịch đảo Nếu |A| 0, khẳng định ma trận A không suy biến ma trận nghịch đảo A Tính A tính A1 = A Ví dụ 9.13 Tìm ma trận nghịch ®¶o (nÕu cã) cđa ma trËn 1 A = 2 3 Gi¶i Ta cã |A| = 15 0, ma trận A không suy biến nên cã nhÊt A −1 = A A A11 = ( −1)2 = −7 , A21 = ( −1)3 = 5, A31 = ( −1)4 = 4, 2 = 4, A13 = ( −1)4 =5, A22 = ( −1)4 = −5 , A23 = ( −1)5 = 5, A32 = ( −1)5 = 2, 2 A12 = ( −1)3 A33 = ( −1)6 = −5 −7 −7 A VËy A = −5 nªn A−1 = = −5 A 15 5 −5 5 −5 1 VÝ dô 9.14 Cho ma trËn A = 2 3 α 1) Víi gi¸ trị ma trận A có ma trận nghịch đảo? 2) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A = Giải 1) Điều kiện cần đủ để ma trận A có ma trận nghịch đảo ma trận A không suy biến ⇔ |A| ≠ ⇔ 20 −5α ≠ ⇔ α ≠ 1 2) Víi α = th× A = 2 , |A| = 20 ≠ 0, ⇒A cã nhÊt ma trËn A−1 3 A11 = ( −1)2 A21 = ( −1)3 = −8 , = 8, A12 = ( −1)3 A22 = ( −1)4 2 = 6, = −6 , A13 = ( −1)4 A23 = ( −1)5 = 5, = 5, A31 = ( −1)4 = 4, A32 = ( −1)5 = 2, 2 A33 = ( −1)6 = −5 −8 −8 A VËy A = −6 nªn A−1 = = −6 A 20 5 −5 5 −5 Nhận xét 9.11 Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo ma trận A vuông cấp n nh đà trình bầy áp dụng đợc cho ma trận cấp thấp (n 4), với ma trận cấp cao (n >4) việc tìm ma trận phụ hợp A phức tạp hay nhầm lẫn Để khắc phục tình trạng đó, ngời ta tìm ma trận nghịch đảo cách thành lập ma trận (AEnìn), dùng phép biến đổi sơ cấp thực vào hệ vectơ dòng ma trận (AEnìn) Biến đổi ma trận (AEnìn) ma trËn míi cho bªn phÝa ma trËn A trở thành ma trận Enìn bên phía ma trận Enìn trở thành ma trận A1 Nếu trình biến đổi mà bên phía ma trận A xuất dòng (hoặc cột) không dừng lại, khẳng định ma trận A suy biến ma trận nghịch đảo Ví dụ 9.15 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A= −1 3 1 Gi¶i Ta cã: (AEn×n) = −1 3 1 1 1 −1 3 −1 2 3 4× 0 0 0 0 0 Nhân dòng với (2) cộng vào dòng 2; cộng dòng vào dòng 3; Nhân dòng với (3) cộng vào dòng ta đợc: 1 (AEn×n) → 0 −2 −1 4 −2 −3 0 0 0 0 Nhân dòng với (1) cộng vào dòng 1; Nhân dòng với (2) cộng vào dòng 3; Nhân dòng với cộng vào dòng ta đợc: Nhân dòng víi − −3 −5 −2 −6 15 −1 −2 −2 −7 0 0 0 0 1 −1 −2 −2 −1 / −7 0 0 1 ta đợc: → 0 0 −3 −5 15 Nhân dòng với cộng vào dòng 1; Nhân dòng với (3) cộng vào dòng 2; Nhân dòng với (9) cộng vào dòng ta đợc: Nhân dòng víi − 1 → 0 0 0 0 −5 −12 −3 −3 / −2 / −2 −1 / 11 / ta đợc: 12 −5 −3 −3 / −2 3/2 −2 −1 / −11 / 12 / 12 −3 / / 12 Nhân dòng với (3) cộng vào dòng 3; Nhân dòng với cộng vào dòng 2; Nhân dòng với (4) cộng vào dòng ta đợc: 0 0 0 0 0 0 / 12 −4 / 12 / 12 −7 / 12 11 / 12 −3 / −5 / 12 / 12 −9 / 12 / / 12 −11 / 12 / 12 −3 / −1 / 12 −4 12 12 −7 11 −3 12 12 −1 VËy A = −9 12 12 −11 −3 12 12 12 −5 12 12 −1 12 9.5 hạng ma trận 9.5.1 Định nghĩa hạng ma trận Định nghĩa 9.13 Cho A ma trận cấp mì n Hạng ma trận A (ký hiệu hg(A)) cấp định thức khác không cấp cao ma trận A Nếu A = (aij)mìn hg(A) = r thì: ≤ r ≤ {m,n}; ∗ Trong ma trËn A có định thức khác không cấp r; Mọi định thức cấp r +1 trở ®i cđa ma trËn A ®Ịu b»ng NÕu A = (aij)n×n th× hg(A) = ⇔ A = 0n×n; hg(A) = n ⇔ |A| ≠ VÝ dô 9.16 Tìm hạng ma trận A= −1 0 3 5 4 3 12 4ì5 Giải Ta có: A ma trận cấp 4ì5 nên định thức cấp cao có A cấp Nhng dòng A tổng dòng đầu nên định thức cấp A hg(A) Bạn đọc dễ dàng kiểm tra đợc định thức cấp A hg(A) Mặt khác, A có định thức cấp là: = hg(A) = Định nghĩa 9.14 Hai ma trận có hạng đợc gọi hai ma trận tơng đơng Ví dụ 9.17 Tõ vÝ dô 9.16 suy hai ma trËn sau tơng đơng với nhau: A= 0 5 4 ,B= 3 12 4ì5 9.5.2 Tính chất hạng ma trận Định lý 9.8 H¹ng cđa ma trËn b»ng h¹ng cđa h¹ng hệ vectơ cột ma trận 3 1 0 1 hÖ vectơ dòng Chứng minh Giả sử A = (aij)m×n, hg(A) = r (i) NÕu r =0 ⇒ A =0mìn hệ vectơ dòng A vectơ không n chiều hạng hệ vectơ dòng A Tơng tự, hệ vectơ cột A vectơ không m chiều hạng hệ vectơ cột A b»ng (ii) NÕu ≤ r ≤ min{m,n} A có định thức cấp r định thức khác 0, định thức tõ cÊp r +1 trë ®i cđa A ®Ịu Không giảm tổng quát, giả sử a11 a12 a21 a22 Dr = a r1 a r a1r a r ≠ a rr r×r Gäi A1, A2, , Am lần lợt dòng 1, dòng 2, , dòng m A; A 1, A2, , An lần lợt cét 1, cét 2, , cét n cña A 0 Gäi A1 , A , , A r lần lợt dòng 1, dòng 2, , dßng r cđa Dr; A1 , A , , A r 0 lần lợt cột 1, cét 2, , cét r cđa D r V× Dr nên theo hệ 9.4.3 ta suy 0 hÖ { A1 , A , , A r } ®éc lËp tun tÝnh a) HƯ {A1, A2, , Ar} ®éc lËp tuyÕn tÝnh Rn hệ phụ thuộc tuyến tính tồn số k1, k2, , kr không đồng thời b»ng ®Ĩ: k1 A1+ k2 A2+ + kr Ar = 0n ⇔ k1 aj1+ k2 aj2+ + kr ajr = (∀j = 1,2, ,m) ⇒ k1 aj1+ k2 aj2+ + kr ajr = (∀j = 1,2, ,r) 0 ⇒ hÖ { A1 , A , , A r } phơ thc tun tÝnh, tr¸i với kết b) Nếu bổ sung thêm bất kú mét vect¬ A i hƯ {A1, A2, , Am} vµo hƯ {A1, A2, , Ar}, ta sÏ chøng minh hƯ míi phơ thc tun tÝnh ThËt vËy, nÕu ≤ i ≤ r th× hƯ míi cã hai vectơ Ai hệ phụ thuộc tuyến tính Nếu i > r, ta thành lập định thức Dr+1 có phần tử nằm r dòng đầu r cột đầu phần tử Dr; r +1 phần tử nằm dòng r +1(hoặc cột r +1) Dr+1 r +1 phần tử nằm dòng i (hoặc cột j, j = 1,2, ,n) ma trận A Theo định nghĩa hạng ma trận ta có: Dr+1 = Khai triển định thức Dr+1 theo cột r +1 ta đợc: a1jM1j + a2jM2j + + arjMrj + aijDr = (j =1,2, ,n), Mkj phần bù đại số akj Dr+1 Mà Dr nên aij = ( a1jM1j + a2jM2j + + arjMrj) (j =1,2, ,n) Dr hay aij = h1a1j + h2a2j + + hrarj (j =1,2, ,n) ⇔ Ai = h1A1 + h2A2 + + hrAr ⇒ hƯ míi phơ thc tun tÝnh Tõ a) b) suy hệ {A1, A2, , Ar} độc lập tuyến tính cực đại hệ {A1, A2, , Am} ⇒ hg(A1, A2, , Am) = r = hg(A) Chứng minh tơng tự ta đợc hg(A1, A2, , An) = r = hg(A).(đpcm) Hệ 9.8.1 Nếu hệ vectơ dòng (hoặc cột) định thức A độc lập tuyến tính |A| Hệ 9.8.2 Các phép biến đổi sơ cấp thực vào ma trận không làm thay đổi hạng ma trận Chứng minh Hệ đợc suy trực tiếp từ định lý 9.8 8.8 Định nghĩa 9.1 Giả sư A = (aij)m×n cã hg(A) = r > Mỗi định thức khác cấp r ma trận A đợc gọi định thức sở ma trận A dòng (hoặc cột) ma trận A chứa dòng (hoặc cột) định thức đợc gọi dòng (hoặc cét) c¬ së cđa ma trËn A 1 2 VÝ dô 9.18 Ma trËn A = 3 1 ®Þnh thøc 2 −2 0 3 cã hg(A) = 2, 1 = −1 ≠ nªn 3 4ì 1 đợc gọi định thức sở; cột 1, cột đợc gọi cột sở ma trận A; dòng 1, dòng đợc gọi dòng sở ma trận A 9.5.3 Phơng pháp tìm hạng ma trận Bài toán: Tính hạng ma trận A = (aij)mìn 0mìn Giải toán có nhiều phơng pháp, sau đa hai phơng pháp là: Phơng pháp định thức bao quanh phơng pháp biến đổi ma trận a) Phơng pháp định thức bao quanh Giả sử cách biết đợc Dr định thức khác không cấp r ma trận A (không giảm tổng quát, giả sử D r gồm phần tử nằm r dòng r cột A) Xuất phát từ D r tính định thức cấp r +1 chứa định thức D r (không cần xét định thức không chứa Dr) (i) Nếu định thức cấp r +1 chứa định thức Dr Theo hệ 9.4.3 ta suy dòng thứ r +1, r +2, ,m A tổ hợp tuyến tính dòng thứ 1, 2, r A Do đó, hg(A) = r (ii) Nếu tồn định thức cấp r +1 chứa định thức Dr (ký hiệu Dr+1) định thức khác Thì ta lại tính định thức cấp r +2 chứa định thức Dr+1 lặp lại trình nh Dr Quá trình dừng lại không min{m,n}r bớc Ví dụ 9.19 Tìm h¹ng cđa ma trËn: 1 2 A= 3 1 2 −2 0 4ì Giải Ta cã D2 = 1 = −1 ≠ ; định thức cấp bao quanh D2 gồm cã: 1 1 1 1 = , = , = , = ⇒ hg(A) =2 2 3 −2 Ví dụ 9.20 Tìm hạng ma trËn: 1 2 A= 3 1 Gi¶i Ta cã D2 = 2 −2 0 3 0 4× 1 = −1 ≠ ; c¸c ®Þnh thøc cÊp bao quanh D2 cã: 1 D3 = = Định thức cấp chøa D3 lµ chØ cã |A|, mµ |A| = hg(A) =3 b) Phơng pháp biến đổi ma trận Theo hệ 9.8.2 phép biến đổi sơ cấp thực vào ma trận không làm thay đổi hạng ma trận Vì vậy, ngời ta thờng dùng phép biến đổi sơ cấp thực vào ma trận, biến đổi ma trận đà cho ma trận có dạng hình thang đờng chéo từ ®ã suy h¹ng cđa ma trËn ®· cho VÝ dụ 9.21 Tìm hạng ma trận: A= 3 0 −1 2 3 1 4ì Giải Nhân dòng với (2) cộng vào dòng 2; Nhân dòng với (3) cộng vào dòng ta đợc: 0 A→ 0 0 3 −13 −4 −5 → −13 −4 −5 Nhân dòng với (1) cộng vào dòng ta đợc dòng 05, bỏ dòng ta đợc: 1 A → −13 −4 −5 = B 0 3ì5 Ma trận B nhận đợc từ ma trận A thông qua phép biến đổi sơ cấp nên hg(A) = hg(B) Mà B ma trận cấp 3ì nên định thức cấp cao có đợc B cấp 3, B có định thức cấp 3: −13 = ≠ ⇒ hg(A) = hg(B) = 0 câu hỏi ôn tập Chơng Câu Định nghĩa ma trận Nêu cách nhận biết ma trận hình thang Câu Định nghĩa định thức HÃy xây dựng công thức tính định thức cấp Câu Phát biểu tính chất định thức hệ chúng Câu Phát biểu công thức khai triển định thức theo phần tử dòng hay cột Trình bày ứng dụng để tính định thức Câu Phát biểu chứng minh định lý điều kiện cần đủ để ma trận khả nghịch Câu Nêu phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo Câu Định nghĩa hạng ma trận (cho trờng hợp ma trận khác không không) Câu Phát biểu định lý mối liện hệ hạng ma trận hạng hệ véc tơ Từ chứng minh hệ sau: A= hệ vác tơ cột (hay hàng) A PTTT A hệ vác tơ cột (hay hàng) A ĐLTT Câu Nêu phơng pháp tính hạng ma trận Câu 10 Trình bày phơng pháp nhận biết hệ véc tơ hệ ĐLTT (hoặc hệ PTTT) Câu 11 Cho ma trËn A víi hg(A) = r chøa định thức khác không cấp r Chứng minh hệ r véc tơ hàng (hay cột) ma trận A chứa định thức D sở hệ véc tơ hàng (hay cột) (Có thể cần chứng minh cho trờng hợp ma trận A cấp 4×5, r = 3) ... Cho ma trËn A = 2 3 α 1) Víi gi¸ trị ma trận A có ma trận nghịch đảo? 2) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A = Giải 1) Điều kiện cần đủ để ma trận A có ma trận nghịch đảo ma trận. .. Mỗi định thức khác cấp r ma trận A đợc gọi định thức sở ma trận A dòng (hoặc cột) ma trận A chứa dòng (hoặc cột) định thức đợc gọi dòng (hoặc cột) c¬ së cđa ma trËn A 1 2 VÝ dơ 9.18 Ma trận. .. lµ ma trËn không suy biến |A| = 14 7 Định lý 9.7 Cho A ma trận vuông cấp n Điều kiện cần đủ để ma trận A có ma trận nghịch đảo ma trận A không suy biến Chứng minh Nếu ma trận A có ma trận