Tài liệu Ma trận - Định thức - Hệ phương trình pdf

cˆa´p theo ha`ng cu’a ma trˆa.n... phu.o.ng trı`nh trˆen co´ nghiˆe.m... cˆa´p theo ha`ng cu’a ma trˆa.n.. Vˆa.y nghiˆe.m tˆo’ng qua´ t cu’a hˆe... co´ vˆo sˆo´ nghiˆe.m nˆen hˆe... c go

Chu.o.ng I

MA TR ˆ A N - D - I.NH THU ´C - Hˆ . E PHU . O . NG TRI `NH

§1 MA TR ˆA N 1.1 D - i.nh nghı˜a

• Ma trˆa.n cˆa´p m × n (d¯ˆoi khi co`n go.i la` co ˜ m × n) la. ` mˆo.t ba’ng hı`nhchu.˜ nhˆa.t gˆo` m m−ha `ng, n−cˆo.t va` ca´ c phˆ` n tu.’ cu’a ma trˆa a.n d¯u.o c biˆe’u diˆe˜ndu.o.´ i da.ng sau: 

• Nˆe´u ca´ c phˆ` n tu.’ cu’a ma trˆa a.n A d¯ˆe` u nhˆa.n gia´ tri thu c, co. ´ nghı˜a la`

a ij ∈R, thı` ma trˆa.n A d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n thu c

•Ma trˆ a.n ha `ng: Ma trˆa.n co˜ 1 × n (chı’ co. ´ 1 ha`ng) go.i la` ma trˆa.n ha`ng

* Vı ´ du.: Ma trˆa.n ( 1 2 3 4 ) la` ma trˆa.n ha`ng (co˜ 1 × 4)..

• Ma trˆ a.n cˆo.t: Ma trˆa.n co˜ m × 1 (chı’ co. ´ 1 cˆo.t) go.i la` ma trˆa.n cˆo.t





 la` ma trˆa.n cˆo.t (co˜ 3 × 1)..

• Ma trˆa.n thu c gˆ. ` m tˆo a´t ca’ ca´ c phˆ` n tu.’ b˘a a`ng 0 d¯u.o. c go.i la` ma trˆ a.n khˆ ong.

• Ma trˆa.n cˆa´p n × n d¯u o c go.i la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n.

• Ma trˆ a.n d¯o n vi .: La` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n co´ ca´ c phˆ` n tu.’ n˘a a`m trˆen

d¯u.o.`ng che´ o chı´nh b˘a`ng 1 va` ca´ c phˆ` n tu.’ n˘a a`m ngoa`i d¯u.o.`ng che´ o chı´nh d¯ˆ` ue

b˘a`ng 0, tu.´ c la` co´ da.ng: I =

 Ky´ hiˆe.u la`: I n (d¯ˆoi khi ta

co`n ky´ hiˆe.u: I).

• Ma trˆa.n con: Cho A la` ma trˆa.n cˆa´p m × n, ta go.i M ij la` ma trˆa.n

lˆa.p d¯u.o c tu.` ma trˆa.n A b˘a`ng ca´ch bo’ d¯i ha`ng i va` cˆo.t j, khi d¯o´ M ij go.i la`

ma trˆa.n con cu’a ma trˆa.n A u´ ng vo.. ´ i phˆ` n tu.’ aa ij

* Vı´ du.: Cho ma trˆa.n A =

1.2 Ca ´ c phe ´ p biˆ e ´n d ¯ˆ o’i so cˆ a ´p trˆ en ha `ng (cˆ o t) cu’a ma trˆ a.n

• Ca´ c phe´ p biˆe´n d¯ˆo’i sau d¯ˆay d¯ˆo´i vo.´ i ha`ng (cˆo.t) cu’a ma trˆa.n d¯u.o c go.i

la` ca´ c phe´ p biˆ e ´n d ¯ˆ o’i so cˆ a ´p theo ha`ng (cˆo.t) cu’a ma trˆa.n:

(1) D- ˆo’i chˆo’ hai ha`ng (cˆo.t) cu’a ma trˆa.n cho nhau

(2) Nhˆan tˆa´t ca’ ca´ c phˆ` n tu.’ cu’a mˆa o.t ha`ng (cˆo.t) cu’a ma trˆa.n vo´ i mˆ. o.t

sˆo´ λ 6= 0.

(3) Cˆo.ng va`o mˆo.t ha`ng (cˆo.t) na`o d¯o´ cu’a ma trˆa.n mˆo.t ha`ng (cˆo.t) kha´ csau khi d¯a˜ nhˆan vo.´ i mˆo.t sˆo´ λ 6= 0.

* Vı´ du.: Cho ma trˆa.n A =

(1) D- ˆo’i chˆo˜ ha`ng 1 cho ha`ng 2 (cˆo.t 1 cho cˆo.t 2)ta d¯u.o.c:

• D - i.nh nghı˜a: Phˆa`n tu.’ kha´c 0 d¯ˆa`u tiˆen cu’a mˆo.t ha`ng cu’a ma trˆa.n

(d¯u.o. c tı´nh tu.` tra´ i sang pha’i) d¯u.o. c go.i la` phˆ ` n tu a ’ co so ’ cu’a ha`ng d¯o´

• D - i.nh nghı˜a: Mˆo.t ma trˆa.n d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n bˆa.c thang trˆen

nˆe´u no´ thoa’ ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe.n sau:e

(1) Ca´ c ha`ng b˘a`ng khˆong o.’ du.o.´ i ca´ c ha`ng kha´ c khˆong

(2) Phˆ` n tu.’ co so.’ cu’a haa `ng phı´a du.o.´ i n˘a`m bˆen pha’i so vo.´ i phˆ` n tu.’a

co so.’ cu’a ha`ng phı´a trˆen

• D - i.nh ly´: Mo.i ma trˆa.n d¯ˆe`u co´ thˆe’ d¯u.a vˆe` da.ng ma trˆa.n bˆa.c thang

trˆen nho.` ca´ c phe´ p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p theo ha`ng cu’a ma trˆa.n

* Vı´ du.1: Tı`m ma trˆa.n bˆa.c thang cu’a ma trˆa.n A =

1.3 Ca ´ c phe ´ p toa ´ n ma trˆ a.n

• Hai ma trˆ a.n b˘a`ng nhau:

Cho hai ma trˆa.n A = (a ij)m×n , B = (b ij)p×q Khi ˆa´y:

Tˆo’ng cu’a hai ma trˆa.n cu`ng cˆa´p A = (a ij)m×n , B = (b ij)m×n cu˜ ng la`

ma trˆa.n cˆa´p m × n, ky´ hiˆe.u la`: A + B, d¯u.o c xa´c d¯i.nh bo.’i:

• Phe ´ p nhˆ an mˆ o t sˆ o ´ vo ´ i mˆ o t ma trˆ a.n:

Cho ma trˆa.n A = (a ij)m×n va` sˆo´ λ 6= 0 Khi ˆa´y tı´ch cu’a sˆo´ λ vo.´ i matrˆa.n A cu˜ng la` ma trˆa.n cˆa´p m × n, ky´ hiˆe.u la`: λ.A, d¯u.o c xa´c d¯i.nh bo.’i:

trˆa.n cˆa´p m × p, ky´ hiˆe.u la`: A.B, d¯u.o c xa´c d¯i.nh bo.’i:

• Phe ´ p chuyˆ e’n vi ma trˆa.n:

Cho ma trˆa.n A = (a ij)m×n Khi ˆa´y ma trˆa.n chuyˆe’n vi cu’a ma trˆa.n A la`

mˆo.t ma trˆa.n co´ d¯u.o. c tu` A b˘. a`ng ca´ ch chuyˆe’n ha`ng tha`nh cˆo.t, chuyˆe’n cˆo.ttha`nh ha`ng theo d¯u´ ng thu.´ tu

Ky´ hiˆe.u la`: A T Nhu vˆa.y ta co´ :

1.4 Mˆ o t sˆ o ´ tı ´nh chˆ a ´t cu’a phe ´ p toa ´ n ma trˆ a.n

• D- i.nh ly´ 1: Cho ca´c ma trˆa.n A, B, C va` ca´c sˆo´ α, β sao cho ca´c phe´p

toa´ n sau d¯ˆay d¯u.o. c ta.o tha`nh Khi ˆa´y ta se˜ co´ :

9 (α + β).A = α.A + β.A

10 No ´ i chung, A.B 6= B.A

• D- i.nh ly´ 2: Cho ca´c ma trˆa.n A, B Khi ˆa´y ta co´:

1 (A T)T = A

2 (A + B) T = A T + B T

3 (A.B) T = B T A T

4 (λ.A) T = λ.A T

ky´ hiˆe.u M ij la` ma trˆa.n vuˆong lˆa.p tu` ma trˆ. a.n A sau khi d¯a˜ bo’ d¯i ha`ng thu´.

i va` cˆo.t thu´ j cu’a ma trˆ. a.n A va` M ij d¯u.o. c go.i la` ma trˆa.n con cu’a ma trˆa.n

va` d¯u.o. c xa´ c d¯i.nh nhu sau:

a11 a12

a21 a22

= a11.a22 − a12.a21

= a11 det(M11) − a21 det(M21)(Chu´ y´ r˘a`ng a11 va` a12 la` ca´ c phˆ` n tu.’ n˘a a`m cu`ng o.’ ha`ng 1 cu’a ma trˆa.nA), vˆan vˆan, va` mˆo.t ca´ ch tˆo’ng qua´ t,

(3) A la` ma trˆa.n cˆa´p n (n ≥ 3) thı`:

det(A) = a11 det(M11) − a21 det(M21 ) + a31 det(M31 ) − +

+ (−1)i+j a ij det(M ij ) + + (−1) n+1 a n1 det(M n1)(Ngu.o.`i ta go.i la` phe´ p khai triˆe’n theo ha`ng 1)

= 1.

5 6

8 9

+ c.

2 1 1

1 2 1

1 1 1

... 9

det(A) = a11 det(M11) − a21 det(M21 ) + a31 det(M31 ) − +

+... a12 la` ca´ c phˆ` n tu.’ n˘a a`m cu`ng o.’ ha`ng cu’a ma trˆa.nA), vˆan vˆan, va` mˆo.t ca´ ch tˆo’ng qua´ t,

(3) A la` ma trˆa.n cˆa´p n (n ≥ 3) thı`: