bài giảng không gian euclide

KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56 Công của lực −→ F A = −→ F . −→ s = F .s. cos α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56 −→ a = (a 1 , a 2 ), −→ b = (b 1 , b 2 ). < −→ a , −→ b >= a 1 .b 1 + a 2 .b 2 ; || −→ a || =  a 2 1 + a 2 2 cos α = < −→ a , −→ b > || −→ a ||.|| −→ b || ; d( −→ a , −→ b ) = || −→ a − −→ b || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56 Nội dung 1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2 véc-tơ 2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi là tích vô hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề 1 < x, y >=< y, x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, ∀x, y , z ∈ E 3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv R 3 là không gian Euclide với tích vô hướng (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 + x 2 .y 2 + x 3 .y 3 = x.y T với x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ). Ví dụ R−kgv R n là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: R n × R n → R (x, y ) −→< x, y >= n  i=1 x i y i = x.y T với x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ), y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R 2 có thể xác định tích vô hướng khác (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 + 2x 2 .y 2 với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). < x, y >= x 1 .y 1 + 2x 2 .y 2 = y 1 .x 1 + 2y 2 .x 2 =< y, x > < x + y, z >= (x 1 + y 1 )z 1 + 2(x 2 + y 2 )z 2 = (x 1 z 1 + 2x 2 z 2 ) + (y 1 z 1 + 2y 2 z 2 ) =< x, z > + < y, z > < αx, y >= α.x 1 .y 1 + 2α.x 2 .y 2 = α(x 1 y 1 + 2x 2 y 2 ) = α. < x, y > < x, x >= x 1 .x 1 + 2x 2 .x 2 = x 2 1 + 2x 2 2  0. Dấu "=" ⇔ x 1 = x 2 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R 2 hàm số sau không là một tích vô hướng (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 − 3x 2 .y 2 với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Cho x = (1, 2). Khi đó < x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C [a,b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: C [a,b] × C [a,b] → R (f , g) −→< f , g >= b  a f (x)g(x)dx TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh. < f , g >= b  a f (x)g(x)dx = b  a g(x)f (x)dx = < g, f >, ∀f , g ∈ C [a,b] < f + g , h >= b  a (f (x) + g(x))h(x)dx = b  a f (x)h(x)dx + b  a g(x)h(x)dx = < f , h > + < g , h >, ∀f , g, h ∈ C [a,b] TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56 [...]... q(x) = x + 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 12 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Tích vô hướng của p(x) và q(x) là 1 < p, q >= p(x)q(x)dx = 0 1 (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx = = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 19 4 TP HCM — 2013 13 / 56 Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ) Định nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của... Tìm độ dài của véctơ u TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 14 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Độ dài của véctơ u là ||u|| = √ < u, u > < u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 15 / 56 Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ Định nghĩa Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 16 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là √ d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > Ta có u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >= = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 17 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ.. .Không gian Euclide Ví dụ b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = 0 và a b < f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 11 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx,... || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3 √ √ ||u|| = < u, u > = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1 √ = 10 √ √ ||v || = < v , v > = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0 =1 3 3 Vậy cos α = √ ⇒ α = arccos √ 10 10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 23 / 56 Sự trực giao Định nghĩa Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN. .. ||x||2.||y ||2 ||x||.||y || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 19 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆ = 0 khi đó ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2 Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính Bất đẳng thức BCS trong R2 |x1.y1 + x2.y2| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2 2 x1 + x2 KHÔNG GIAN EUCLIDE 2 2 y1 + y2... Đại (BK TPHCM) 2 2 x1 + x2 KHÔNG GIAN EUCLIDE 2 2 y1 + y2 TP HCM — 2013 20 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định nghĩa Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho < x, y > , (0 α π) cos α = ||x||.||y || < x, y >= ||x||.||y || cos α TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 21 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng < x, y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 +... gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski Định lý Trong không gian Euclide E , ta có | < x, y > | ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính Chứng minh ∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có < x − λy , x − λy > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 0 TP HCM — 2013 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ ⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ2 < y , y > ⇔ ||x||2 − 2λ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 33 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide R3 với tích vô hướng chính tắc, 3 véctơ x = (1, 1, 0), y = (−1, 1, 4), z = (2, −2, 1) tạo thành 1 cơ sở trực giao của R3 < x, y >= 1.(−1) + 1.1 + 0.4 = 0 < x, z >= 1.2 + 1.(−2) + 0.1 = 0 < y , z >= (−1).2 + 1.(−2) + 4.1 = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 34... KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 30 / 56 Sự trực giao Ví dụ < (1, −2), (2, 1) >= 1.2 + (−2).1 = 0 ⇒ M là hệ trực giao N là hệ trực chuẩn vì 2 1 1 2 √ , −√ , √ , √ = 5 5 5 5 1 2 (−2) 1 √ √ + √ √ = 0 5 5 5 5 1 2 1 4 √ , −√ = √ 2+√ 2 =1 5 5 5 5 2 1 √ ,√ 5 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = 4 1 +√ 2 =1 √ 2 5 5 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 31 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không . 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu <. x, x >= 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv R 3 là không gian Euclide với tích vô hướng (x, y ) −→< x, y. >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C [a,b] các hàm số