bài tập KHÔNG GIAN EUCLIDE có ví dụ chi tiết

KHƠNG GIAN EUCLIDE TRẦN NGỌC DIỄM Tích vơ hướng kg Euclide f tích vơ hướng kg vector V, nếu:  i  f  x, y   f  y , x   ii  f   x    f  x   iii  f  x  y, z   f  x, z   f  y, z   iv  f  x, x   0, x f  x, x    x  Ký hiệu: f  x, y   x, y Không gian vector với tvh gọi kg Euclide Tích vơ hướng kg Euclide Định nghĩa: x   x, x  : độ dài vector x x  y  d ( x, y) : khoảng cách x, y  x, y  cos   x.y :  góc x y Tích vơ hướng không gian Euclide Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 a) Tính với x = (1,2), y = (-2,1) b) Tính khoảng cách x y c) Tìm độ dài vector x Trên R3 tích vơ hướng (với x = (x1,x2,x3), y = (y1,y2,y3))  x, y  x1 y1  x1 y2  x2 y1  3x2 y2  x3 y3 a) Tính tích x = (1,2,3) y = (1,-1,2) b) Tính độ dài x c) Tính khoảng cách x, y Sự trực giao  x, y trực giao  x y  = 0, ii) S trực giao  S gồm vector đôi trực giao iii)S trực chuẩn S trực giao ॥x॥= 1, x  S iv) x M  x y , yM v) M  M’  x y , xM, yM’ vi) Bù trực giao M : M = {x V: x M} vii) U, W ≤ E, UW : U+W=U W: tổng trực giao Sự trực giao Một số kết cần nhớ: x  E  x= xy, xz  x  y + z, , R U E, < S > = U, x  U  x  S = U, < S’> = U’, U  U’  S  S’ M  E  M  E Nếu M  E dimM + dimM = dimV M M = E Sự trực giao Một hệ trực giao khơng có vector độc lập tuyến tính Hình chiếu trực giao: x  E ( kg Euclide), U  E  ! y  U , z U  x yz y =prU x : hình chiếu trực giao (vng góc) x lên U Sự trực giao S ={ e1, e2,…,en} sở trực chuẩn E  x1   y1  x  y 2    [ x ]S  , [ y ]S   M   M   x  y  n   n a xi  x, ei b x, y  x1 y1  x2 y2  L  xn yn c x  x  x  L  x 2 2 n Sự trực giao Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 Vector sau trực giao với nhau: x = (-1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4) Tìm hệ trực chuẩn từ vector trực giao vừa tìm Trên R2 với tvh tắc cho u=(1, -2, 1), v=(4,m+2,-1) Tìm m để u v trực giao • Làm lại với tvh sau:  x, y  x1 y1  x1 y2  x2 y1  3x2 y2  x3 y3 Sự trực giao Trên khơng gian R3 với tvh tắc, cho U   1,1, 1 ,  2,3,2  a Vector sau vng góc với U: u   3,1,1 , v   5,4, 1 , w   5,4, 1 b Tìm m để v = (– 3, m, m – 3) vng góc với U Làm lại với tvh:  x, y  x1 y1  x1 y2  x2 y1  3x2 y2  x3 y3 Sự trực giao Trong R3, với tvh tắc cho U    x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3  0 W    x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3  0 Tìm vector u U cho u vng góc với W Sự trực giao Trên R3 với tvh tắc, tìm sở W a Cho W= | b W không gian nghiệm hệ pt  x1  x2   x1  x2  x  2x   x3  x3  x3  x4  x4 0 0 0 Sự trực giao Trên R3, cho khôg gian U    x1 , x2 , x3  : x2  x3  0 W    x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3  0, x1  x2  x3  0 Chứng minh U  W Sự trực giao Trong R4, cho U   1, 1, 2,1 ,  2,0,3, 1 W   1,3,0, m  ,  0,5,1, n  Tìm m, n để U W Sự trực giao Trong R3 cho kg U   1,2,1 ,  1,0,1 W    x1 , x2 , x3  : x1  x2  mx3  0, x1  x2  x3  0 Tìm m để U W  Sự trực giao Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1)} a) Kiểm tra tính trực giao S b) Tìm sở trực chuẩn S’ R3 từ S c) Cho u = (1,2,2), tìm tọa độ u theo S’ Sự trực giao Qua trình trực giao hóa Gram - Schmidt: cho {x1, …, xp} hệ đltt E Đặt: y1  x1 ,  x2 , y1  y2  x2  y1 ,  y1 , y1  k 1  xk , y j  j 1  yj, yj  yk  xk   y j , k  2, , p Khi {y1, …, yp} hệ trực giao Sự trực giao Trên không gian R3, trực giao hóa hệ vecor sau:  u   1,3, 2  , u   0,1,1   u   1,1,1 , u   1, 1,1 , u   1,1, 1  Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R3  u   1, 3,2  , u   1,1,1  Sự trực giao Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R4   2,2, 2, 2  ,  2,2, 1,1  Cho U = , x = (-1,1,2) Tìm y U, z U cho x = y + z Sự trực giao Tìm hình chiếu trực giao x   1,1,1 lên kg U   1,1,2  ,  3,0, 5  Trên kg R3 với tích vơ hướng  x, y  x1 y1  x1 y3  x3 y1  3x2 y2  3x3 y3 Tìm hình chiếu trực giao lên kg x   1,1,1 U   1,1,2  ,  3,0, 5  ...  f  x, x   0, x f  x, x    x  Ký hiệu: f  x, y   x, y Không gian vector với tvh gọi kg Euclide Tích vơ hướng kg Euclide Định nghĩa: x   x, x  : độ dài vector x x  y  d ( x,... Sự trực giao Một hệ trực giao khơng có vector độc lập tuyến tính Hình chi? ??u trực giao: x  E ( kg Euclide) , U  E  ! y  U , z U  x yz y =prU x : hình chi? ??u trực giao (vng góc) x lên U Sự... u2=(2,4,-3,0), u3=(1,2,1,5)>| b W không gian nghiệm hệ pt  x1  x2   x1  x2  x  2x   x3  x3  x3  x4  x4 0 0 0 Sự trực giao Trên R3, cho khôg gian U    x1 , x2 , x3  : x2 