Câu 1: Cho vectơ . Trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với ?a) b) Câu 2:Cho , , .a) Tìm biết b) Phân tích vectơ theo các vectơ Câu 3:Cho 3 vectơ Tìm m để Câu 4:Cho . Tìm điều kiện của m,n để cùng phương với .Câu 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho .a) Xác định t để vectơ cùng phương với b) Tìm các số thực m,n,p để
65 BI TP MễN HèNH HC LP 12 Cể P N CHI TIT Cõu 1: Cho vect a) b) r u = ( 3;2; ) r u Trong cỏc vect sau õy, vect no cựng phng vi ? r a = ( 6; 4;10 ) r b = ( 1; 4; ) Cõu 2: Cho r r u = ( 1;2;3) v = ( 2;2; 1) , a) Tỡm r x bit , ur w = ( 4;0; ) r r r ur x = u v + 2w b) Phõn tớch vect r t = ( 4;5;6 ) theo cỏc vect r r ur u , v, w Cõu 3: Cho vect r r r a = (1, m, 2), b = ( m + 1, 2,1) , c = ( 0, m 2, ) r r r a+b = c Tỡm m Cõu 4: Cho r r ur u = (1;2;8); v = ( 5;6;12 ) ; w = (8;8;8) r r mu nv Tỡm iu kin ca m,n ur w cựng phng vi Cõu 5: Trong h trc ta Oxy cho a) Xỏc nh t vect r r r r r u r r a = (1; 1;0), b = (1;1; 2), c = i j , d = i r u = ( 2; 2t 1;0 ) cựng phng vi r a b) Tỡm cỏc s thc m,n,p Cõu 6: ur r r r d = ma nb + pc Cho im M cú ta (x,y,z) Tỡm ta ca im i xng vi im M: a) Qua gc ta O b) Qua mt phng Oxy c) Qua trc Oy Cõu 7: Cho b ba im: A(1;3;1); B (0;1; 2); C (0;0;1) v A '(1;1;1); B '(4;3;1);C'( 9;5;1) Hi b ba im no thng hng Cõu 8: Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4) Tỡm: a) Trng tõm tam giỏc ABC b) Ta nh D ABCD l hỡnh bỡnh hnh c) Ta giao im hai ng chộo ca hỡnh bỡnh hnh ABCD Cõu 9: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD bit A(1;0;1), B(2;1;2);D=(1;-1;1);C(4;5;-5) Tỡm ta cỏc nh cũn li Cõu 10: Cho A(2;-1;7), B(4;5;-2), ng thng AB ct mt phng Oyz ti im M a) im M chia on thng AB theo t s no b) Tỡm M Cõu 11: Trong mt phng (P) cho hỡnh chúp S.ABC cú ta cỏc nh ổa a ữ A(0;0;0); B ỗ ; ;0ữ ; C (a;0;0); S (0;0; a ) ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ứ Tớnh gúc gia hai ng thng AB v SC Cõu 12: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh l a Gi N l trung im ca BC Tớnh gúc gia hai ng thng AN v BD Cõu 13: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, gi M l trung im SC Cú ta cỏc im: O (0;0;0), A(2;0;0), B(0;1;0), S (0;0;2 2), D(0; 1;0), C ( 2;0;0), M ( 1;0; 2) Chng minh: a) SO ^ ( ABCD ) b) Tớnh gúc gia SA v BM Cõu 14: Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ta cỏc im nh sau: ổa a ổ ổa 3a 3a a ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ A(0;0;0); B(a;0;0);C(0;a 3,0); A 'ỗ ; ; a ; B ' ; ; a ; C ' ; ; a ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố2 ứ ố2 ứ ố2 ứ Gi M l trung im ca BC a) Chng minh: A ' M ^ BC b) Tớnh gúc gia hai ng thng: AA v BC Cõu 15: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú th tớch bng K l trung im ca AD Bit: BK ^ ( A 'C' D) Cõu 16: Gii phng trỡnh: Tớnh di cỏc cnh hỡnh hp ch nht x x + + x = x2 + (1) Cõu 17: Gii phng trỡnh sin x + sin x + sin x = (2) Cõu 18: Gii bt phng trỡnh x + x 2(x 3) + 2x (3) Cõu 19: Gii bt phng trỡnh x + + 2x + 50 3x 12 (4) Cõu 20: Gii h phng trỡnh x + y = y(x + z) x + x + y = 2yz 2 3x + 8y + 8xy + 8yz = 2x + 4z + (5) Cõu 21: Chng minh rng h sau õy vụ nghim x + y + z = 2 x + y + 2z = (6) Cõu 22: Chng minh rng vi mi a, b, c ta cú: abc(a + b + c) a + b + c Cõu 23: Chng minh rng nu a > c, b > c v c >0 thỡ: c(a c) + c(b c) ab Cõu 24: Gi ;; l gúc bt kỡ Chng minh rng: 4cos + + 4cos2 + + 4cos + 21 cos A + cos B + cosC Cõu 25: Chng minh rng vi mi tam giỏc ABC luụn cú: Cõu 26: Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s Cõu 27: Cho thc , , y = x + x ++ = l ba gúc dng cú Tỡm giỏ tr ln nht ca biu F = + tan .tan + + tan .tan + + tan .tan Cõu 28: Cho vect phng r r r a = (1; m;2); b = ( m +1;2;1) ; c = ( 0; m - 2;2) Tỡm m r rr a; b; c ng Cõu 29: Cho im A(1;0;1); B(-1;1;2); C(-1;1;0); D(2;-1;-2) Chng minh rng A,B,C,D l bn nh ca mt t din Cõu 30: Trong khụng gian cho im A(0;0;3); B(1;1;5);C(-3;0;0); D(0;-3;0) Chng minh im A,B,C,D ng phng Cõu 31: Tỡm m cỏc b ba vect sau ng phng: a) b) r r r a = (4;3;4); b = ( 2; - 1;2) ; c = ( 1;2;m) r r r a = ( 4;2;5) ; b = ( 3;m;3) ; c = ( 2;0;1) Cõu 32: Cho im A(1,0,0); B(0,1,0); C(0;0;m); D(-2;1;-1) Tỡm m C thuc mt phng (ABD) Cõu 33: Cho ba im A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2) a) Chng minh: A,B,C l nh ca mt tam giỏc b) Tớnh din tớch tam giỏc v di trung tuyn AM c) Tớnh di ng cao k t nh A ca tam giỏc ABC Cõu 34: Cho t din ABCD, cú ta cỏc nh ln lt l A(0;0;0); a) Tớnh din tớch S ca tam giỏc BCD theo b) Chng minh rng : Cõu 35: a S 0; ; hữ ữ ; D ( 0;0; a ) a , b, c 2S abc ( a + b + c ) Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú ta cỏc im : a C ; 0; ữ; B ( c; 0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) a a A 0; ;0 ữ ; B ; 0;0 ữ ữ M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh SB, SC Tớnh din tớch tam giỏc AMN Cõu 36: Cho im: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2) a) Chng minh rng: A,B,C,D l nh ca mt t din c) Tớnh di ng cao AH ca t din ABCD Cõu 37: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng (SAB) vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC Ta cỏc im S a 0;0; ữ ữ ;A a ;0;0 ữ ; B 3a ;0;0 ữ ;D a ; a; ữ Tớnh th tớch chúp S.BMDN Cõu 38: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang, SA vuụng gúc vi ỏy Gi M,N ln lt l trung im ca SA v SD, bit ( 0; 0; 2a ) A(0;0;0) ;B ( a;0;0 ) ;C ( a; a; ) ; D ( 0; 2a;0 ) ; S Tớnh th tớch ca chúp S.BCNM Cõu 39: Cho hỡnh chúp O.ABC cú chúp O.ABC theo a,b,c OA = a; OB = b; OC = c ụi mt vuụng gúc Tớnh th tớch Cõu 40: a Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cỏc cnh u bng Tớnh th tớch chúp S.ABCD Cõu 41: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M (2;3;1) v vuụng gúc vi ng thng AB vi A(3;1; 2); B(4; 3;1) Cõu 42: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M (2;3;1) v song song vi mt phng (Q): x y + 3z = Cõu 43: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M (2;3;1) v vuụng gúc vi hai mt phng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 Cõu 44: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A(2;0; 1); B (1; 2;3); C (0;1; 2) Cõu 45: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A(2;0; 1); B (1; 2;3) v vuụng gúc vi mt phng (Q): x y + z +1 = Cõu 46: Trong khụng gian Oxyz vit phng trỡnh mt phng trung trc (P) ca on A(1;1; 1); B(5;2;1) AB bit Cõu 47: Xột v trớ tng i ca cỏc cp mt phng cho bi phng trỡnh sau: a) 2x-3y+4z-4=0 v 3x-y-x-1=0 b) -x+y-z+4=0 v 2x-2y+2z-7=0 c) 3x+3y-6z-12=0 v 4x+4y-8z-16=0 Cõu 48: Cho hai mt phng 3x-(m-3)y+2z-5=0 v (m+2)x-2y+mz-10=0 Tỡm m cho: a) Hai mt phng song song b) Hai mt phng trựng c) Hai mt phng ct Cõu 49: Cho hai mt phng cú phng trỡnh: (P): x+2y+2z-1=0 (Q): 2x-4y+3z+4=0 a) Chng minh (P) v (Q) l hai mt phng vuụng gúc b) Vit phng trỡnh mt phng (R) i qua im A v vuụng gúc vi hai mt phng (P) v (Q) Cõu 50: Cho hai mt phng cú phng trỡnh ln lt l: ( m2 - 5) x - y + mz + m - = v x + y - 3nz + = Tỡm m v n hai mt phng trựng Cõu 51: Cho hai mt phng (P) v (Q) cú phng trỡnh ln lt l: (P): 2x+ny+2z+3=0 v (Q): mx+2y-4z+7=0 Tỡm m v n hai mt phng song song Cõu 52: Cho mt phng (P) v h mt phng (Qm) cú phng trỡnh ln lt l: (P): x+2y+3z-6=0 (Qm): (m+1)x+(m+2)y+(2m+3)z-4m-6=0 a) Chng t rng vi mi m mt phng (P) v (Qm) khụng th song song vi b) Xỏc nh m ( P) (Qm ) Cõu 53: Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn ca: (Q): x-y+z-1=0 v (R): x+2y-3z+2=0 V song song vi mt phng (N): x+y-z+5=0 Cõu 54: Tỡm khong cỏch t cỏc im x+2y+2z-10=0 M ( 1; - 1;2) ; M ( 3; 4;1) ; M ( - 1; 4;3) n mt phng Cõu 55: Trong khụng gian Oxyz cho mt phng: (Q): x - 2y + 2z - = v im A(3; 1; 1) Vit phng trỡnh mt phng (P) // mp (Q) v d(A;(P))=2 Cõu 3: Trờn trc Oy tỡm cỏc im cỏch u hai mt phng: ( P ) : x + y - z +1 = v (Q) : z - y + z - = Cõu 56: Trờn trc Oz tỡm cỏc im cỏch u A(2;3;4) v mt phng (P): 2x+3y+z17=0 Cõu 57: Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q): x+ y+z =0 v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng Cõu 58: Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi B (1;3;0) C (3; 4;1) D(1; 2;1) A(1; 1; 2) , , , Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) uuu r OA = (a;0;0) uuur OB = (0; b;0) uuur OC = (0;0; c) Th tớch chúp O.ABC VO ABC = r uuu r uuur 1 uuu OC = abc OA , OB 6 Cõu 40: Gi O = AC BD SO ( ABCD) SO = SC OC = a a2 a = 2 Chn h trc to ờcac vuụng gúc gc ta c: O (0;0;0) A ; S a 0;0; ữ ữ a ;0;0 ữ ữ ;C Oxyz nh hỡnh v vi O l im ; a ;0;0 ữ ữ D a 0; ;0 ;B 0; a ;0 Tớnh th tớch chúp S.ABCD 1 a a3 VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 Cõu 41: - VTPT r uuu r n = AB = (1; 4;3) - Cỏch 1: (P): - Cỏch 2: (P): (P): 1( x + 2) 4( y 3) + 3( z 1) = ( P) : x y + 3z + 11 = x y + 3z + D = ; M (2;3;1) ( P) D = 11 x y + 3z + 11 = Cõu 42: + Cỏch 1: (P) // uuur r VTPT n = VTPT n ( Q ) = (4; 2;3) (Q) ( P) ( P) : 4( x + 2) 2( y 3) + 3( z 1) = ( P) : x y + z + 11 = + Cỏch 2: (P ) // (Q ) ( P) : 4x-2y + 3z + D = 0( D 5) M (2;3;1) ( P ) D = 11 ( P) : 4x-2y + 3z + 11 = Cõu 43: uuur uuur uuur uuur uuur ( P ) (Q) VTPT n( P ) VTPT n( Q ) = (1; 3; 2) uuur uuur VTPT n( P ) = n( Q ) , n( R ) = (1;5; 7) ( P ) (Q) VTPT n( P ) VTPT n( R ) = (2;1; 1) ( P) : ( x + 2) + 5( y 3) + 7( z 1) = ( P) : z + y + z 20 = Cõu 44: Cp VTCP mt phng (P) uuur uuur uuur uuur AB = (1; 2; 4) VTPT n( P ) = AB, AC = (10; 5; 5) uuur AC = (2;1;3) ( P) : 10( x 2) 5( y 0) 5( z + 1) = ( P) : x + y + z = Cõu 45: Cp VTCP mt phng (P) uuur AB = (1; 2; 4) uuur uuur uuur uuur VTPT n n = (1; 1;1) ( P ) = AB, n( Q ) = (2;5;3) ( Q ) ( P) : 2( x 2) + 5( y 0) + 3( z + 1) = ( P) : x + y + z = Cõu 46: uuur uuur VTPT n( P ) = AB = (4;1; 2) Trung im M0 ca on AB: M (3; ; 0) 27 ( P ) : 4( x 3) + ( y ) + 2( z 0) = ( P) : x + y + z =0 2 Cõu 47: a) Ta cú: b) Ta cú: c) Ta cú - ạ - 1 vy hai mt phng ct - 1 - = = - 2 3 - - 12 = = = 4 - - 16 vy hai mt phng song song vy hai mt phng trựng Cõu 48: + Nu m=2, mt phng cú PT ỡùù 3x + y + z - = ùùợ - y - z - 10 = Ta cú vect phỏp tuyn ca mp l Do khụng tn ti k ur uu r n1 = kn2 nờn mt phng ct + Nu m=0, mt phng cú PT ỡùù 3x - y + z - = ùùợ x - y - 10 = Ta cú vect phỏp tuyn ca mp l Do khụng tn ti k Nu ur uu r n1 = k n2 m { 0;2} a) Hai mt phng song song ur uu r n1 = ( 3;5; 2) ; n2 = ( 0; - 2; - 2) ur uu r n1 = ( 3; - 3;2) ; n2 = ( 2; - 2;0) nờn mt phng ct - m +3 - = = m +2 - m - 10 ỡù m - m - 12 = ùù ùớ m - 3m - = ùù ùù m ợ H iu kin trờn vụ nghim Vy khụng cú m no hai mt phng song song b) Hai mt phng trựng - m +3 - = = = m=4 m +2 - m - 10 c) Hai mt phng ct mạ Cõu 49: a) Vỡ 1.2+2.(-4)+2.3=0 nờn (P) v (Q) l hai mt phng vuụng gúc b) (P) (Q) cú vect phỏp tuyn ln lt l Vỡ (R) vuụng gúc vi (P), (Q) nờn Ta cú: ur uu r ộn ; n ự= ( 14;1; - 8) ở1 ỳ ỷ ur uu r n1 , n2 ur uu r n1 = ( 1;2;2) ; n2 = ( 2; - 4;3) song song hoc cha (R) l VTPT ca (R) M A(2;3;5) thuc (R) nờn PT ca (R) l: 14(x-2)+1(y-3)-8(z-5)=0 hay 14x+y-8z+9=0 Cõu 50: Hai mt phng trựng nhau: m2 - - m m- = = = - 3n ỡù m - =- ùù ùớ m = 3n ùù ùùợ m - =- ỡù m = ùù ỡù m = ù ùù m ớn= ùớ ùù ùù n = ùù ợù ùợ m = n= Vy vi m=2 ; thỡ hai mt phng trựng Cõu 51: iu kin hai mt phng (P) v (Q) song song vi l: ỡù m =- n = = ùớ m - ùùợ n =- Vy m=-4 v n=-1 thỡ hai mt phng (P) v (Q) song song vi Cõu 52: a) Tỡm m (P) v (Qm) song song vi nhau, iu kin l: m +1 m + 2m + = = ỡù 2m + = m + ùù - 3m + = 2m + ùù ùùợ - 6m - - 4m - - 4m - - ùớùỡ m = ùùợ 2m Vy vi mi m (P) v (Qm) khụng th song song vi b) ( P) ( Qm ) iu kin l: m +1 m + 2m + - 4m - = = = m =1 - Vy vi m=1 tha iu kin bi Cõu 53: (P) i qua giao tuyn ca (Q) v (R) nờn phng trỡnh cú dng: m(x-y+z-1)+n(x+2y-3z+2)=0 (m + n 0) (P) cú VTPT l uu r nP = ( m + n, - m + 2n, m- 3n) (N) cú VTPT l: uur nN = (1;1; - 1) (P) vuụng gúc (N) nờn: uu r uur nP nN = m + n - m + 2n - m + 3n = - m + 6n = m = n Chn n=1 suy m=6 Ta cú PT ca (P) l: 7x-4y+3z-4=0 Cõu 54: d ( M ,(P)) = d ( M ,( P)) = + 2.(- 1) + 2.2 - 10 12 + 2 +2 + 2.4 + 2.1 - 10 = =1 12 + 2 +2 - + 2.4 + 2.3 - 10 d ( M ,( P )) = =1 12 + 2 +2 Cõu 55: Vỡ (P) // (Q) nờn pt mp (P): x - 2y + 2z + D = ( D d(A;(P))=2 Vy - 3) 3+ D D = 9(n) = 3+ D = D = 3(n) ( P1 ) : x 2y + 2z = 0;( P2 ) : x 2y + 2z + = Cõu 56: Gi M ( x0 ; y0 ; z ) ẻ Oy Ta cú: d ( M ,( P )) = d ( M ,(Q)) y0 +1 12 +12 + (- 1) - y0 - = 12 +( - 1) +12 y0 +1 = - y0 - ộy0 +1 = y0 + 5(VN ) y0 =- ờy0 +1 =- y0 - Vy M(0;-3;0) Cõu 57: Gi M ( 0;0; z0 ) ẻ Oz Ta cú: M A = d ( M ,( P )) 22 + 32 + (4 - z0 ) = 13 + (4 - z0 ) = 2.0 + 3.0 + z0 - 17 22 + 32 +12 z0 - 17 14 z - z0 + = z0 = Vy M (0;0;3) Cõu 58: PT mt phng (P) qua O nờn cú dng: Vỡ (P) (Q) nờn: A + 1.B + 1.C = Ax + By + Cz = C = A B (1) (vi A2 + B + C ) A + 2B C d ( M , ( P)) = A2 + B + C T (1) v (2) ta c: = 8AB + B = ( A + B C ) = 2( A2 + B + C ) B = 8A + B = (3) (4) T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P): xz =0 T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P): Cõu 59: PT mt phng (P) cú dng: Ta cú: A ( P) B (P) d (C , ( P )) = d ( D, ( P)) ax + by + cz + d = (a + b + c 0) a b + 2c + d = a + 3b + d = 3a + 4b + c + d a + 2b + c + d = 2 a + b2 + c a + b + c b = 2a, c = 4a, d = a c = 2a, b = a, d = 4a + Vi + Vi b = 2a, c = 4a, d = a c = a , b = a , d = a (P): (P): x + y + 4z = x + y + 2z = Cõu 60: Vỡ O (P) nờn Do A (P) ( P) : ax + by + cz = a + 2b + 3c = , vi (1) a2 + b2 + c2 (2) 5x y + 3z = V d ( B, ( P )) = d (C , ( P )) b + 2c = a + b + c T (1) v (2) Vi Vi b=0 c=0 thỡ thỡ a = 3c a = 2b b=0 hoc c=0 (2) ( P) : 3x z = ( P) : x y = Cõu 61: Mt phng ó cho cú VTPT l r n = (2;1;1) Cỏc mt rphng (Oyz), (Oxz), (Oxy) cú VTPT ln lt l: r r i = (1;0;0); j = ( 0;1;0) ; k = ( 0;0;1) j , a, b Gi (Oxy) Ta cú: ln lt l gúc to bi (P) v cỏc mt phng (Oyz), (Oxz), rr n.i cos j = r r = ị j ằ 35016' ni rr n j cos a = r r = ị a ằ 65054' n j rr n.k cos b = r r = ằ 65054' n k Cõu 62: VTPT ca (P) l: uu r nP = (2;1;4) VTPT ca (Q) l: Goi j uu r nQ = ( - 1;3;2) l gúc to bi hai mt phng (P) v (Q) ta cú: uu r uu r nP nQ 2.(- 1) + 3.1 + 4.2 cos j = uu = ị j ằ 88015' r uu r = 2 2 2 294 +1 + (- 1) + + nP nQ Cõu 63: VTPT ca (P) l: uu r nP = ( 3;1;4) (Q) cha im A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nờn VTPT ca (Q) l: uu r uuu r uuu r ự= (6; - 5; - 4) nQ = ộ AB ; AC ỳ ỷ a Gi l gúc gia hai mt phng (P) v (Q) ta cú: uu r uu r nP nQ 3.6 +1.(- 5) + 4.(- 4) cos a = uu = ị a ằ 8609' r uu r = 2 2 2 2002 +1 + + (- 5) + (- 4) nP nQ Cõu 64: Ta cú: (P) cú VTPT uu r nP = (2; - 2; - 1) uuu r AB = ( 1; - 1; - 2) Gi M(0;0;m) l giao im ca (Q) v Oz suy M thuc (Q) uuur AM = ( - 1;0; m) Vy VTCP ca (Q) l: uu r uuur r nQ = ộ AM ; u ự = ( m; m - 2;1) ỳ ỷ (Q) v (P) to vi mt gúc 600 nờn: uu r uu r cos nP , nQ = ( ) 2m - 4m + ộm = - 2 2m - 4m +1 = ờ ởm = + Võy M (0;0;2 - = 2); M (0;0;2 + 2) Cõu 65: Gi VTPT ca mp (P) l r u r n (P) = (A; B; C) vi k l A2 + B2 + C2 cú phng song song vi (P) cos ( ( P) , ( Q) ) = r r u n (P) uuur uuur cos cos( n( P ) , n( Q ) ) = =0 A BC = A = B+C A + 2B + C A2 + B + C = A + B + C = A2 + B + C (2) B = C 4C 3B = A + B + C 8B + 11B + 3C = B = C T (1) (2) 2 2 *B = C chon B=1;C=-1 A=0 (P):(y-2)-(z+3)=0 (P):y-z-5=0 C chon B=3;C=-8 A=-5 (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0 -5x+3y-8z-35=0 *B = Cõu 66: PT mt phng (Q) cú dng: Ta cú: A (Q ) B (Q ) cos = ax + by + cz + d = ( a + b + c 0) a + 2b 3c + d = 2a b 6c + d = a + 2b + c = a + b + c + + Phng trỡnh mp(Q): x y + z + 15 = a = 4b, c = 3b, d = 15b a = b, c = 0, d = b hoc (Q): x y 3= (1) [...]... ( m + 2) + ( m + 2) + 9 = ( m 2 ) + 4 2 2 2 m 2 + 12m + 9 = 0 6 3 3 Cõu 4: Ta cú: r r mu nv = m ( 1;2;8 ) n ( 5;6 ;12 ) = ( m 5n;2m 6n;8m 12n ) ur w cựng phng vi Khi ú: r r mu nv khi: r r ur mu nv = k w m 5n = k 8 2m 6n = k 8 8m 12 n = k 8 Khi Khi k =0 k 0 (I) thỡ m=n=0 (I) tr thnh: m 5n 2m 6n 8 = m n = 0 8 m=n m 5 n 8 m 12 n 7 m 7 n = 0 = 8 8 Vy ur w cựng phng vi r r... ữ+ c ữ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a b + a c + b c = 2S BCD 2 Cõu 35: Do M, N ln lt l trung im ca SB, SC nờn: a a 3 h a a 3 h M ; ; ữ ; ữ ữ; N ; ữ 4 12 2 4 12 2 b Ta cú: uuuu r a 5a 3 h AM = ; ; ữ 12 2 ữ 4 uuur a 5a 3 h AN = ; ; ữ 12 2 ữ 4 Din tớch tam giỏc AMN : S AMN 1 = 2 = 2 2 4 uuuu r uuur AM , AN = 1 a h + 75a2 2 16 24 1 15a 4 75a 4 1 a 2 10 4 + = 90 a = 2 242 242 48 16... uuuur uuuu r D D ' = CC ' D '(3;4; 6) Cõu 10: a) Vỡ M mp (0 yz ) M (0, y, z ) Gi k l t s m im M chia on thng AB Ta cú: x A kxB 2 4k x = 0 = (1) M 1 k 1 k y A ky B 1 5k yM = (2) yM = 1 k 1 k z A kz B 7 + 2k zM = 1 k zM = 1 k (3) (1) k = 1 2 th vo (2) (3): yM = 7 zM = 16 k= Vy M chia on thng AB theo t s 1 2 b) Ta im M(0;-7;16) Cõu 11: Ta cú: uuu r ổa a 3 ử ỗ ; ữ AB =ỗ ;0ữ... (2) suy ra: SO ^ ( ABCD) b) Ta cú: uur SA = 2;0; - 2 2 uuur BM = - 1; - 1; 2 ( ) ( ) uur uuuu r | SA.BM | r = cos( SA, BM ) = uur uuuu | SA | | BM | 2.( 1) + 0.( 1) + ( 2 2) 2 ( ) 2 22 + 02 + 2 2 12 + 12 + 2 Do ú gúc gia hai ng thng ny l Cõu 14: = 3 2 600 a) Ta cú: uuuur A ' M = 0;0; - a 3 uuu r BC = - a; a 3;0 ( ( ) ) uuur uuu r AM BC = 0 Ta cú: Vy AM vuụng gúc BC b) Ta cú: ử uuur ổa a 3 ỗ ữ AA... +z -3 = 0 v vect r u = ( 1; - 1; - 1) Vit phng trỡnh mp (P) bit hp vi mp (Q) mt gúc tha cos = 3 6 r u cú phng song song vi (P) v (P) Cõu 65: Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im mt phng (P ) : x + 2 y + z 3 = 0 mt phng (P) mt gúc tho món 3 6 P N CHI TIT a) Ta cú: 3 2 5 1 = = = 6 4 10 2 v Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi cos = Cõu 1: A(1;2; 3), B(2; 1; 6) Suy ra: r 1 ur u =... AB theo t s 1 2 b) Ta im M(0;-7;16) Cõu 11: Ta cú: uuu r ổa a 3 ử ỗ ; ữ AB =ỗ ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 2 ứ uur SC = ( a;0; - a ) uuu r uur AB.SC 2 cos ( AB, SC ) = uuu ị (ãAB, SC ) ằ 69018' r uur = 4 AB SC Cõu 12: Chn h trc ta nh hỡnh v Khi ú ta cú ta cỏc nh ca hỡnh lp phng nh sau: A '(0;0;0), B '(a;0;0), D '(0; a;0), C '( a; a;0), A(0;0; a), B(a;0; a ), C ( a; a; a), D(0; a; a) N l trung im ca BC nờn: a N