Tổng hợp bài tập hình học không gian có đáp án chi tiết

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi Hình học, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài tập hình học không gian dưới đây. Nội dung tài liệu gồm câu hỏi bài tập có hướng dẫn lời giải giúp các bạn dễ dàng làm quen với dạng bài tập hình học không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.

TỔNG HỢP BÀI TẬP TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐÁP ÁN

CHI TIẾT Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB

a) Chứng minh MN//CD

b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN) Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh rằng SI//AB và SA//IB

Bài 2:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho 1

3

AC  BF  Chứng minh rằng MN//DE

Bài 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy là AB và CD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAD

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IKG) với mặt phẳn (SAD)

b) Xác định thiêt diện của hình chóp với mặt phẳng (IKG) Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện với AB và CD để thiết diện là hình bình hành

Bài 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD

a) Tìm giáo tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABH) và (CDF)

Câu 5:

Cho tứ diện ABCD gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và AC Chứng minh MN//(BCD)

và CD//(BMN)

Câu 6:

Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phăng.Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF

1 Chứng minh OO’ // (ADF) và OO’// (BCE)

2 Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE Chứng minh MN // (CDE)

Câu 7:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt phẳng

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng minh: OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE Chứng minh MN song song với mặt phẳng (CEF)

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng   bất kì song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S Chứng minh PQRS là hình bình hành

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD với M,N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD Gọi ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA

a) Tìm các giao tuyến của ( ) với các mặt phẳng (SAB) và (SAC)

b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD

a Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)

b.Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB

Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)

Câu 11:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF Chứng minh :

a.(ADF) // (BCE)

b (DIK) // (JBE)

Câu 12:

Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại

M1, N1

Chứng minh rằng :

a MN // DE

b.M1N1//(DEF)

c.(MNM1N1)//(DEF)

Câu 13:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân

biệt Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE)

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD GọiG1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB

a Chứng minh : (G1G2G3) //(BCD)

b.Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3)

Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S

ĐÁP ÁN Câu 1:

a) M, N là đường trung bình của tam giác SAB nên MN//AB, mà AB//CD Suy ra MN//CD b) Gọi EADBC Trong mặt phẳng (SBC), NE cắt SC tại P với P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN)

Vậy ta có:

/ /

/ / / /

AB SAB

AB CD

SI AB CD















Xét tam giác BNA và SNI bằng nhau (g-c-g) nên từ đó

Dễ dàng chứng minh được SI=2MN và AN=NI nên SABI là hình bình hành

Do đó: SI // IB

Câu 2:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD và OA là trung tuyến

Mặt khác vì 1

3

AM

AC  ta suy ra: 2

3

AM

OA  Do đó M là trọng tâm của tam giác ABD nên DM đi qua trung điểm I của AB và ta có 1

3

IM

ID 

Chứng minh tương tự, ta có EN đi qua I và 1

3

IN

IE 

Trong tam giác IDE vì 1

3

IM IN

ID  IE  nên ta suy ra MN//DE

Câu 3:

a) Giao tuyến của (IKG) và (SAD) là đường thẳng đi qua điểm chung G, cắt SA tại M và SB tại N với MN//AB//IK

b) Nối IK, KN, NM, MI ta được thiết diện là hình thang IKMN

Ta có: MN//AB suy ra: 2

3

AB  SE  với E ABSG

Do đó: 2

3

MN  AB

Mặt khác 1(AB CD)

2

Muốn hình thang IKMN là hình bình hành thì MN=IK

MN IK  AB AB CD  AB CD

Đó là điều kiện cần tìm

Câu 4:

a) Vì AB//CD nên hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có giao tuyến là đường thẳng a đi qua S và song song với AB

Tương tự hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có giao tuyến là đường thẳng b đi qua S và song song với BC

b) Gọi:

P ED AH

Q BG CF

Hai mặt phẳng (ABH) và (CDF) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên có giao tuyến PQ//AB//CD

Câu 5:

Xét tam giác ACD

Ta có: MN // CD (đường trung bình)

CD  (BCD)=> MN // (BCD)

CD //MN

MN  (BMN)=> CD // (BMN)

Câu 6:

1 Xét tam giác BDF , OO’ là đường trung bình =>OO’//DF=>OO’//(ADF)

Xét tam giác AEC , OO’ là đường trung bình =>OO’//EC=>OO’//(BCE)

2 DM cắt AB tại trung điểm I của AB

EN cắt AB tại trung điểm I của AB

1

3

/ / 1

3

/ / ( ) / /( )

IM

IM IN ID

MN DE

IN ID IE

IE

EF DC EF CDE MN CDE





Câu 7:

a) OO’ không chứa trong mặt phẳng (ADF) và (BCE) Ta có: OO’//DF mà DF (ADF)

Do đó OO’//mp(ADF)

Tương tự: OO’//CE mà CE (BCE) Dó đó: OO’//mp(BCE)

b)Kéo dài MN cắt CD tại G ta có AB//CD nên:

1 3

BM AM

BG  AC 

Mặt khác: 1

3

BN

BF 

Do đó MN//GF

Mà GF mp CDFE( ) và mặt phẳng này không chứa MN, nên ta suy ra MN//mp(CEF)

Câu 8:

( ) là mặt phẳng song song với AC và BD

Vì   //AC nên   cắt hai mặt phẳng (ABC) và (ADC) theo hai giao tuyến PQ//RS//AC Mặt khác   //BD nên   cắt hai mặt phẳng (ABD) và (CDB) theo hai giao tuyến QR//PS//BD

Tứ giác PQRS có PQ//RS và QR//PS nên nó là hính bình hành

Câu 9:

a) Ta có:   / /SA mà SASAB và M  (SAB)

Ta biết 1 điểm chung M của   và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương song song với SA

Vậy   (SAB)MP với MP//SA

Tương tự ta cũng có, RACMN là một điểm chung của   với (SAC) đồng thời   / /SA

mà SASACnên ta có giao tuyến là RQ  (SAC) với RQ//SA

b) Các đoạn giao tuyến của   với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), và (ANCD) là MP,

PQ, QN, NM Do đó thiết diện là tứ giác MPQN

Câu 10:

a Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):

Xét tam giác SAC và SDB :

Ta có : / / ( ) / /( )

/ /

ON SB





b.Chứng minh : PQ // (SBC)

Ta có : / / / /

/ /









M, N, P, O đồng phẳng

PQ  (MNO)

( ) // (SBC)

PQ SBC MNO











Vậy : PQ // (SBC)

Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) :

Ta có : / / / /

/ /



Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2)

Từ (1) và (2) , ta được

/ / / / ( ) ( ) ( ) / /( )

MR DC và OR SD

MR MOR và OR MOR MOR SCD

DC SCD và SD SCD







Câu 11:

R

Q

S

M

O

C

B

D

A

a (ADF)//(BCE):

Ta có :

/ / ( ) / /( ) ( )

AD BC

AD BCE AD BCE

BC BCE







(1)

Tương tự :

/ / ( ) / /( ) ( )

AF BE

AF BCE AF BCE

BE BCE







(2)

Từ (1) và (2) , ta được :

/ /( )

/ /( ) ( ) / /( )

AD BCE

AD ADF và AF ADF







Vậy : (ADF)//(BCE)

b (DIK)//(JBE) :

Ta có : / / ( ) / /( )

/ /

DI JB

IK BE









Vậy: (DIK)//(JBE)

Câu 12:

B

C D

E F

I

J K

A

a

DE

MN // :

Giả sử EN cắt AB tại I

Xét  NIB   NEF

Ta có :

2

1





NF

NB EF

IB

I là trung điểm AB và

2

1



NE

IN

(1) Tương tự : Xét  MAI   MCD

Ta có :

2

1





MD

MI MC

MA

I là trung điểm AB và

2

1



MD

IM

(2)

Từ (1) và (2) , suy ra

NE

IN MD

IM

 MN // DE

Vậy : MN // DE

b

) //(

1

Ta có : NN //1 AI

2

1

1

NE

IN F N

AN

(3)

Tương tự : MM //1 AI

2

1

1

MD

IM D M

AM

N1

M1

E F

M

N I

B

C D

A

Từ (3) và (4) , suy ra

2

1

1 1 1

D M

AM F

N

AN

M1N1//DF

Ta được : 1 1

1 1

/ /







Vậy : M1N1//(DEF)

c

) //(

)

(MNM1N1 DEF :

1 1

/ /

/ /









Vậy : (MNM1N1)//(DEF)

Câu 13:

Xét tam giác MFC :

Ta có :

3

1





MC

MJ MF

MI

 IJ // FC (1)

Xét hình bình hành MNEF :

Ta có :

3

1





NE

NK MF

MI

 IK // FE (2)

Từ (1) và (2) , ta được  (IJK)//(CEF)

A

B I

N M

E

J

K

F







FE IK

FC IJ

//

//

Vậy: (IJK)//(CEF)

Câu 14:

a Chứng minh : (G1G2G3) //(BCD)

Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD

Ta có :

3

2

3 2

AL

AG AN

AG AM

AG

G1G2//MN ;G2G3//NL ;G3G1//LM



1 2

/ /







Vậy : (G1G2G3) //(BCD)

b Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3):

Ta có :

1 2 3

/ /( )

( ) ( ) ( )

BC G G G

BC BCD

G G G G ABC







gt qua G //1 BC cắt AB và AC tại E và F

Tương tự :

)

(G1G2G3 cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD

)

(G1G2G3 cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD

Xét tam giác AMC và tam giác ABC

G 3

G 2

G 1

G A

B

C

D

L E

F

Ta có : G1F//MC 

3

2

AC

AF AM

AG

(1)

BC

EF // 

AC

AF BC

EF

Từ (1) và (2), ta được

3

2

BC

EF AM

AG

EF BC

3

2



Tương tự : FG CD

3

2



GE BD

3

2



3

2

3

2

3

2

3

2

GE CD BC GE

CD BC

GE FG

Diện tích thiết diện :

) ).(

).(

).(

(

4

1

EF GE FG FG GE EF GE FG EF GE FG EF

9

4

4

1

BC DB CD CD DB BC DB CD BC DB CD

= S BCD

9

4

Vậy: S EFG S BCD

9 4

