Bài tập hình học không gian lớp 12 (1)

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 CÓ LỜI GIẢI Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm mp vuông góc mp đáy ABCD.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,SC,SD.Tính thể tích tứ diện CMNP Giải Gọi H là trung điểm của AD thì SH ⊥ AD Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên suy SH ⊥ (ABCD) a Và SH = (vì ABC là tam giác đều cạnh a) Kẻ MK//SH(K ∈ HB),suy KM ⊥ (ABCD)và SH a MH= = 1 a a a3 Vậy MCNP= CNP.MK= = 96 V S Bài toán 2: Cho hình chóp S.SBCD có đays ABCD là hình chữ nhật với AB=a;AD=a ;SA=a và SA vuông góc mp (ABCD).Giả sử I là giảo điểm của BM và AC.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC.Tìm thể tích tứ diện ANIB Giải Gọi O là tâm của đáy ABCD.Trong VSAC ,ta có:NO là đường trung bình nên NO// SA,tức a NO ⊥ (ABCD) và NO= a Ta có V.ANIB=V.NAIB= S.AIB.NO= S.AIB (1) V AIB Ta tính S : Xét hình chữ nhật (ABCD) Do MA=MD 1 Suy ra:MA= BD ⇒ AI= AC 2 ⇒ AI= AC AC = 2a + a = a ⇒ AI = 9 BM Lại có:BI= 4 a2 a2 Suy ra:BI2= BM = (a + ) = 9 2 Do đó:AI +BI =AB ; Nên AIB là tam giác vuông ở đỉnh I 1 a a a2 Vậy S.AIB= = AI BI = (2) 2 3 a2 Thay (2) vào (1) ta có: ANIB= 36 V S Bài toán 3: Cho hình chóp SBC,đáy ABC là tam giác cân đỉnh C,SA ⊥ (ABC).Giả sử SC=a;tìm góc giữa mp(SBC) và (ABD) cho thể tích khối chóp là lớn nhất Giải ˆ = α ,SA=SC sin α và Ta thấy SCA S AC=SC cos α Suy V.SABC= a cos α a3 a sin α = cos α sin α (1) C Từ (1) suy :V.SABC nhạn giá trị lớn nhất và chỉ biểu thứ P= cos α sin α nhan GTLN.Vì sin α >0 nên Pmax ⇔ P2max ⇔ (1 − sin α ) sin α giá trị lớn nhất Ta có: A B (1 − sin α )(1 − sin α )(2sin α ) Theo BĐT cô si thì:  (1 − sin α ) + (1 − sin α ) + 2sin α  (1 − sin α )(1 − sin α )(2sin α ) ≤  =   27 (1 − sin α ) sin α = ⇔ − sin α = 2sin 2α ⇔ sin α = a 3 Vậy VS.ABC nhận GTLN là ⇔ sin α = 27 Do đó :Pmax = Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mà d(A;(SBC))=2a.Với giá trị nào của α ( α là góc giữa mp bên và mp đáy của hình chóp)thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất?tìm GTNN đó Giải S H D M C o N B Gọi M,N.lần lượt là trung điểm của AD,BC;kẻ MH vuông góc SN(H ∈ SN) ˆ = α Do DA//BC suy AD//(SBC),suy d(M,(SBC))=MH=2a Ta có: SNM MH 2a = Ta có :MN= sin α sin α a 2a a = Từ đó : SO = ON tan α = sin α sin α cos α 2a a 4a Do đó: V.SABCD= ( (1) ) = sin α cos α 3sin α cos α Từ (1) suy ra:VSABCD bé nhất và chỉ sin α cos α lớn nhất Xét P= sin α cos α = (1 − cos α ).cos α = cos α − cos α (2) Từ (2) dẫn đến xét hàm số:y=x-x3 (0[...]... HI 2 HI 2 12 2 1 a 3 Ta có: VK ABC = KL.dt (∆ABC ) = KL 3 12 a2 3 a 3 a3 ⇒ VK ABC ≤ = 12 12 48 Đẳng thức xảy ra khi KH = KI ⇔ L là trung điểm HI a3 Do đó: VK ABC max = 48 Ta có: dt( ∆HKI ) = 8/Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết: a/ Trung đoạn bằng d , góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α b/Cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt bên liên tiếp là β Giải: S K A D M H B C Gọi H là hình chiếu... b + c) (a + b + c)( 1 + 2 ) ≤ L (1) (a + b + c)( 1 + dấu “ = “ trong (1) xảy ra khi a = b = c Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c ≥ 3 abc (2) Ta có V = abc , BĐT (2) ⇔ a + b + c ≥ 3 3 6V 6 (3) Dầu “=” trong (3) xảy ra khi a = b = c L3 ( 2 − 1) Từ (1), (3) ta có L ≥ 3.(1 + 2).3 6V hay V ≤ (4) 162 L( 2 − 1) Dấu “ = “ (4) xảy ra khi a = b = c = 3 3 12/ Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y,... VAMNP = VABCD = 2 12 2 3 (a 2 (a 2 ( ( ) ) )( ( )( ) ) − b 2 + c 2 a 2 + b 2 − c 2 −a 2 + b 2 + c 2 , nên )( )( ) − b 2 + c 2 a 2 + b 2 − c 2 −a 2 + b 2 + c 2 Để ý rằng : ( a 2 − b 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 − c 2 ) = a 4 − ( b 2 − c 2 ) ≤ a 4 và hai bất đẳng thức tương 2 ( )( )( ) 2 tự khác , ta có:  a 2 − b 2 + c 2 a 2 + b 2 − c 2 −a 2 + b 2 + c 2  ≤ a 4b 4c 4   2 Hay VABCD ≤ abc 12 Dấu đẳng thức... 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 ) Thể tích: 1 c 1 a.c3 b3 1 1 V = SE .AD.DE = 3 a 2 + b 2 + c 2 2 (a 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 ) 3 2 1 a.b 2 c 4 = 2 2 2 6 (a + c )(a + b 2 + c 2 ) 10/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) · cùng vuông góc với đáy, một góc xAy = 450 chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y,... a , (0 < x< a 3 ).Tính thể tích khối chóp và tìm x theo a để giá trị thể tích đó lớn nhất Giải: S D C H A O B Vì SA = SB = SD nên hình chiếu H của điểm S lên mặt phẳng đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau nên tứ giác đó là hình thoi , do đó H∈ AO Ba tam giác SBD, ABD, CBD có các cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau ,do đó các trung tuyến SO , AO, CO... 2 2 2 1 1 1 = + 2 2 HK SH HD 2 a 2 a 2 = = 0 180 − β 2cos β 2sin 2 2 3 a 2 β 6cos 2 Tam giác SHD vuông tại H, đường cao HK nên a 2 Từ đó tính được SH = ϕ 2sin 2 Vậy thể tích khối chóp là V= 9/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA ⊥ (ABC) Từ A kẻ AD ⊥ SB và AE ⊥ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Giải: AD,AE là các đường cao trong tam... tại B nên AB ⊥ BC Giả thiết cho : SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ABC) ⇒ AD ⊥ BC AD là đường cao trong tam giác SAB ⇒ AD ⊥ SB ⇒ AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ SC Mặt khác : AE ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (ADE) Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: ⇒ AD = AS.AB AS.AB a.c = = SB AS2 + AB2 a 2 + c2 AS.AC SA.AC c a 2 + b 2 AE = = = SB SA 2 + AC2 a 2 + b2 + c2 Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: c2 (a 2 + b 2 ) = SE = AS... SM là đường cao, SM = Tính diện tích đáy: MB = MC = S∆MBC = 1− x 2 x 2 , MN = 4 BM 2 − 1 y x 2 + y2 MN.BC = 1− 2 2 4 BC2 = x 2 + y2 1− 4 4 1 x y x 2 + y 2 = xy , V xy x 2 + y2 × × 1− 1− S.ABC = 3 2 2 12 4 6 4 2 2 x +y xy Ta có: ( x-y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ ≥ 4 2 Thể tích: VS.MBC = 2 2 xy 1 xy 2 − xy VS.ABC = xy 1 − x + y ≤ ≤ 1− (xy) 2 6 6 2 2 6 4 1 xy xy ≤ 2 (2 − xy) 6 2 2 xy xy Áp dụng BĐT Cauchy