Bài tập hình học không gian lớp 12 (2)

CHUYấN TH TCH KHI CHểP TRONG HèNH HC KHễNG GIAN LP 12 DNG: TH TCH KHI CHểP U Cụng thc tớnh th tớch chúp: h V= Bh h B : dieọn tớch ủaựy vi h : chieu cao Khi chúp tam giỏc u Khi chúp t giỏc u Kin thc cn bit v chúp u + ỏy l a giỏc u + Mt bờn l cỏc tam giỏc cõn + ng cao l on thng ni t nh n tõm ca ỏy + ng cao vuụng gúc vi mp ỏy Chỳ ý: Tam giỏc u thỡ tõm, chớnh l trc tõm ,trng tõm ca tam giỏc Hỡnh vuụng thỡ tõm l giao im cỏc ng chộo hỡnh vuụng Vớ d minh ha: Vớ d 1: Cho chúp tam giỏc u S.ABC cnh ỏy v cnh bờn u bng a a) Xỏc nh ng cao ca chúp b) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC c) Tớnh cosin ca gúc gia cnh bờn v ỏy ; gia mt bờn v ỏy ca chúp S.ABC Cỏch gii: + Biu din hỡnh v : Biu din tam giỏc u ABC bng tam giỏc thng,t tõm O dng SO (ABC) ly S SO , ni S vi A,B,C + Phõn tớch: + Vỡ S.ABC l hỡnh chúp u nờn cú SO l ng cao + Tớnh th tớch ca chúp theo cụng thc no? + V= B.h tỡm B v h hỡnh l cỏc i tng no ? +Tam giỏc u ABC cnh a nờn tớnh c din tớch + Tam giỏc u ABC cnh a cú O l trng tõm nờn tớnh c OA +Tỡm h = SO qua tam giỏc no?p dng nh lớ no? +Quan h mp(SAO) v mp(ABC)?(SAO) (ABC) =? K MH OA MH (ABC)? Tớnh MH ? Li gii: a) Xỏc nh ng cao ca chúp Gi O l tõm tam giỏc u ABC SO l ng cao (vỡ S.ABC l hỡnh chúp u) b)Tớnh th tớch ca chúp S.ABC Din tớch ỏy : SABC = a a2 a = 2 SOA vuụng : SO = Th tớch cn tỡm : V = SA AO = a a ữ ữ = a a a a3 = 12 c) Tớnh cosin ca gúc gia cnh bờn v ỏy ; gia mt bờn v ỏy ca chúp S.ABC OA l hỡnh chiu ca SA trờn (ABC) gúc gia cnh bờn v ỏy l Gi M l trung im BC ẳ = SOA vuụng : cos SAO SOM vuụng : AM BC SM BC gúc gia mt bờn v ỏy l ẳ SAO ẳ SMO S a OA 3 = = SA a OM = ẳ = cos SMO SM a A = a a2 ữ C O M B Nhn xột: + Cõu b) chớnh l bi trang 25 hỡnh hc 12 : Tớnh th tớch ca t din u cnh a + bi khỏ n gin ,nhng i a s hc sinh cỏc lp c bn khụng th t lc gii c,cú chng cng t Sỏch gii chộp ,trỡnh by li gii mỏy múc,di dũng khụng trng tõm Khụng bit t ,phõn tớch gii bi toỏn , khụng bit t din u l gỡ dn n xỏc nh ng cao ? khụng bit tớnh cht hỡnh chúp u ,tam giỏc u v.vChớnh vỡ th,tụi ó c th húa bi ,b sung thờm cõu a),c) va ụn c luyn mi to iu kin hc sinh tip cn , gii c nhng bi tng t khỏc Vớ d 2: ( TN THPT Phn chung Nm 2008) Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a , cnh bờn bng 2a Gi I l trung im cnh BC a) Chng minh SA BC b) Tớnh th tớch chúp S.ABI Cỏch gii: + Biu din hỡnh v : Biu din tam giỏc u ABC bng tam giỏc thng ,t tõm O dng SO (ABC) , ly S SO , ni S vi A,B,C + Phõn tớch: a) SA v BC chộo cỏch chng minh SA v BC vuụng gúc ? Quan h BC vi SI v AI quan h BC v mp (SAI) ? BC SA b) Tớnh th tớch ca chúp S.ABI theo cụng thc no? Gi O l tõm ca tam giỏc u ABC quan h gia SO v (ABC) ? S ng cao ca chúp S.ABI ? 2a ỏy l hỡnh no ? Tớnh din tớch ỏy ? th tớch cn tỡm Li gii: BC SI BC AI C A Chng minh SA BC a) a BC (SAI) BC SA O I B b) Tớnh th tớch chúp S.ABI Gi O l tõm tam giỏc u ABC SO (ABC) SO l ng cao ca chúp S.ABI SAO vuụng : SO = SA2 AO ABI vuụng ti I : SABI = Th tớch cn tỡm l V = = a (2a) ữ ữ 1a a IA.IB= 2 2 = = a 33 a2 a a 33 a3 11 = 24 Nhn xột: Cõu a) dng kin thc c bn hỡnh hc khụng gian lp 11,chng minh hai ng thng chộo vuụng gúc, khụng phc lm nhng thc t qua chm thi tụi nhn thy a phn hc sinh khụng nm c phng phỏp cng nh tớnh cht ca tam giỏc cõn ,tam giỏc u ; li gii di dũng khụng logic Cõu b) : a s hc sinh khụng nm c nh ngha chúp u , khụng xỏc nh c ng cao SO cng l ng cao ca chúp S.ABI Cõu b) cú th gii theo cỏch phõn chia ,lp ghộp dựng t s th tớch ( trỡnh by phn sau) Bi tng t: Bi 1: Cho chúp t giỏc u S.ABCD cnh ỏy v cnh bờn u bng a a Xỏc nh ng cao ca chúp S.ABCD b Tớnh th tớch ca chúp u S.ABCD c Tớnh gúc gia cnh bờn v ỏy ; gia mt bờn v ỏy ca chúp S.ABCD Bi 2: Cho chúp t giỏc u S.ABCD cnh ỏy bng a , cnh bờn bng 2a a) Chng minh BD SC b) Tớnh th tớch chúp S.ABD Bi 3: Cho chúp tam giỏc u S.ABC cnh ỏy bng v cnh bờn u bng a) Bit ng cao bng a Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a b) Bit din tớch ỏy bng a2 Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a c) Bit khong cỏch gia hai cnh i bng a 2 Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a Bi 4: Cho hỡnh chúp u S.ABC cú cnh bờn bng a hp vi ỏy ABC mt gúc 60o Tớnh th s: V = tớch hỡnh chúp 3a3 16 Bi 5: Cho hỡnh chúp t giỏc u cú mt bờn hp vi ỏy mt gúc 45o v khong cỏch t chõn ng cao ca chúp n mt bờn bng a Tớnh th tớch hỡnh chúp 8a3 s: V = Bi : Cho hỡnh chúp SABCD cú tt c cỏc cnh bng Chng minh rng SABCD l hỡnh chúp t giỏc u.Tớnh cnh ca hỡnh chúp ny th tớch ca nú bng V = 9a s: AB = 3a DNG: KHI CHểP Cể CNH BấN VUễNG GểC VI Y Cụng thc tớnh th tớch chúp: V= Bh h h B : dieọn tớch ủaựy vi h : chieu cao Kin thc cn bit Khi chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy,ng cao chớnh l cnh bờn ú Vớ d minh ha: Vớ d : ( TN THPT Phn chung Nm 2007) Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B , cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy Bit SA=AB=BC=a Tớnh th tớch ca chúp S.ABC Cỏch gii: S + Biu din hỡnh v : Biu din ABC vuụng ti B bng tam giỏc thng , BA,BC khụng nht thit biu din bng T A dng ng vuụng gúc vi (ABC) , trờn ú ly im S a A + Phõn tớch: Theo gi thit on no l ng cao ? di on ú? Tớnh th tớch ca chúp theo cụng thc no? ỏy l hỡnh no ? Tớnh din tớch tam giỏc vuụng theo cụng thc no ? Th tớch cn tớnh C a a B Li gii: Theo gi thit SA l ng cao v SA = a ỏy l tam giỏc vuụng (ti B) ,cú din tớch S = Th tớch cn tỡm l V = 1 BA.BC = a 2 1 a a = a3 Nhn xột: Bi toỏn khỏ n gin ,nhng thc t qua chm thi tụi nhn thy khong 60% thớ sinh khụng gii c ! Bi nhng lớ ch yu sau : + Khụng biu in c hỡnh v mt cỏch trc quan v chớnh xỏc da theo phộp chiu song song , hỡnh v rt n gin ; mp(ABC) biu din nm ngang ,nhng SA li biu din khụng thng ng , biu din ABC vuụng theo kiu hỡnh hc phng + Khụng nm c hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy,ng cao chớnh l cnh bờn ú + Khụng nm c tam giỏc vuụng thỡ din tớch bng na tớch di hai cnh gúc vuụng Vớ d 2: ( TN THPT Phn chung Nm 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a,cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy ,gúc gia mp(SBD) v mp ỏy bng 600 S Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD theo a Cỏch gii: + Biu din hỡnh v : ỏy hỡnh vuụng ABCD biu din bng hỡnh bỡnh hnh ABCD A D T A dng SA (ABCD) , ly S trờn SA ,ni S vi B,C,D + Phõn tớch: a O B a Tớnh th tớch ca chúp theo cụng thc no? C Theo bi ta cn i xỏc nh gúc gia mp(SBD) v mp ỏy bng 600 ú l gúc no ? Nu gi O = AC BD thỡ suy SO v AO quan h nh th no vi BD ẳ SOA = 600 Theo gi thit on no l ng cao ? Da vo tam giỏc vuụng no ta s tớnh c SA ? bng h thc no ? ỏy l hỡnh gỡ ? vic tớnh din tớch ỏy rt n gin Li gii: Gi O = AC BD AO BD (1),mt khỏc BDSA BD(SAO) SO BD (2) T (1) v (2) cú ẳ = SOA 600 SA l ng cao , SAO vuụng ti A nờn : SA = OAtan600 = Vy th tớch cn tỡm l V = a a 3= 2 a a3 a = Nhn xột: õy l bi toỏn m qua thc t chm thi,tụi cng nhn thy a s thớ sinh (khong 80%) u b trng ,cng bi nhng lớ tng t nh vớ d 1,ngoi thờm mt lớ chớnh na l a s thớ sinh khụng bit xỏc nh gúc gia hai mt phng ct (SBD) v (ABCD) Vớ d 3: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn to vi ỏy gúc 600 Gi M l trung im SC Gi () l mp i qua AM v song song vi BD,ct SB ti E v ct SD ti F a) Gi O = AC BD Xỏc nh giao im I ca SO v mp() S b) Chng minh E,I,F thng hng v EF//BD c) Chng minh EF AM d) Xỏc nh ng cao v tớnh th tớch chúp S.AEMF F I A M D Cỏch gii: E O + Biu din hỡnh v : T giỏc u ABCD (hỡnh vuụng) biu din bi hỡnh bỡnh hnh ABCD.T tõm O dng SO (ABCD) + Phõn tớch: B C a) Dng giao im I ca SO v EF thỡ I chớnh l gỡ? Ti sao? b) Trờn SB,SD ln lt ly E,F cho E,I,F thng hng v EF//BD Ti sao? c) Quan h gia BD v mp(SAC)? quan h gia EF v (SAC) pcm d) Cnh bờn to vi ỏy gúc 600 ú l gúc no? SAC l tam giỏc gỡ? quan h SC v AM ? ; SC v EF? gia SC v mp(AEMF) ? ng cao ca chúp S.AEMF ỏy ca chúp S.AEMF l hỡnh no ? Din tớch t giỏc cú hai ng chộo vuụng gúc tớnh theo cụng thc no? Tớnh ng chộo AM ( theo ng cao tam giỏc u) ,ng chộo EF (theo nh lớ Talet v trng tõm ca SAC)? din tớch ỏy Tớnh ng cao SM ? Th tớch cn tỡm Li gii a) Xỏc nh giao im I ca SO v mp() I = SO AM () I = SO () b) Chng minh E,I,F thng hng v EF//BD E,I,F l ba im chung ca hai mp phõn bit () v (SBD) nờn chỳng thng hng BD//() , (SBD)() =EF BD//EF c) Chng minh EF AM BD // EF BD (SAC ) EF (SAC) AM EF AM d) Xỏc nh ng cao v tớnh th tớch chúp S.AEMF SAC cõn,cú Ta cú AM = ẳ = SAC 600 SAC u SC AM,mt khỏc SC EF SC(AEMF) a a = 2 Din tớch ỏy SAEMF = ; EF IS = = BD IO AM ( I l trng tõm SAC) EF= a a2 a EF= = 2 3 2 BD = a 3 ng cao SM= SC a = 2 Th tớch cn tỡm l V = a a a3 = 3 18 Nhn xột: Vớ d trờn l t mt bi trang 26 SGK hỡnh hc 12: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn to vi ỏy gúc 600 Gi M l trung im SC Mt phng i qua AM v song song vi BD, ct SB ti E v ct SD ti F Tớnh th tớch chúp S.AEMF Tớnh th tớch chúp S.AEMF cũn cú th gii theo cỏch phõn chia chúp v dựng t s th tớch hai chúp ( trỡnh by phn sau) Nhng du cho cú gii theo cỏch no thỡ cng phi núi rng õy l mt bi khú v quỏ phc i vi i a s hc sinh cỏc lp c bn vỡ nú tng hp rt nhiu kin thc t cỏc lp di c bit l kin thc hỡnh hc khụng gian lp 11 T ú,tụi ngh rng vic ging dy bi trờn hc sinh tip thu tt v gii c nhng bi tng t khụng phi n gin chỳt no ! Chớnh vỡ vy , ging dy bi ny, trc yờu cu tớnh th tớch chúp S.AEMF tụi ó a thờm cỏc cõu a),b),c) vi mc ớch giỳp cỏc em bit xỏc nh c cỏc im E,F v tỏi hin nh li cỏc kin thc c Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA=BC=a bit SA vuụng gúc vi ỏy ABC v SB hp vi (SAB) mt gúc 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp a3 s: V = Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú SA vuụng gúc vi ỏy (ABC) v SA = h ,bit rng tam giỏc ABC u v mt (SBC) hp vi ỏy ABC mt gúc 30o Tớnh th tớch chúp h3 s: V = SABC Bi 3: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a v gúc nhn A bng 60o v SA (ABCD) ,bit rng khong cỏch t A n cnh SC = a 3 s: V = a Tớnh th tớch chúp SABCD Bi 4: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B bit AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) Tớnh th thớch chúp SABCD v (SCD) hp vi ỏy mt gúc 60o s: V = a Bi 5: Cho ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C vuụng gúc vi (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD,ct BD ti F v ct AD ti E Xỏc nh mp qua C vuụng gúc vi BD Chng minh CEF vuụng Tớnh th tớch t din ABCD Tớnh th tớch t din CDEF Nhn xột: õy l bi trang 26 sỏch hỡnh hc 12 : Cho ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C vuụng gúc vi (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD,ct BD ti F v ct AD ti E Tớnh th tớch t din CDEF Hc sinh khụng th hỡnh dung Mt phng qua C vuụng gúc vi BD l mp phi c xỏc nh nh th no? nờn ụn c luyn mi , phự hp kh nng phỏt trin t ,i t d n khú tụi b sung thờm cõu a) v b) Bi 6: Cho hỡnh chúp O.ABC cú ba cnh OA,OB,OC vuụng gúc vi tng ụi mt v OA=OB=OC = a a) Tớnh th tớch chúp O.ABC b) Gi H l trc tõm ca ABC Chng minh rng :OH (ABC) c) Tớnh th tớch chúp O.HBC Nhn xột: Bi ny l trng hp c bit ca bi trang 26 hỡnh hc 12 : Cho hỡnh chúp O.ABC cú ba cnh OA,OB,OC vuụng gúc vi tng ụi mt v OA=a,OB=b, OC=c.Hóy tớnh ng cao OH ca hỡnh chúp v cng l bi trang 105 hỡnh hc 11: Cho t din O.ABC cú ba cnh OA,OB,OC vuụng gúc vi tng ụi mt.Gi H l chõn ng vuụng gúc h t O ti mp(ABC) Chng minh rng : a) H l trc tõm ca ABC b) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC HS khụng th nh cỏch gii bi ny gii gii bi , ng thi vi bi nh vy i a s hc sinh khụng nh hng c xỏc nh ng cao OH nh th no tớnh OH Do vy va ụn c luyn mi tụi ó ci biờn li phõn nhng yờu cu nh , bi toỏn s phong phỳ v cú nhiu cỏch gii hay hn Bi 7: ( Tuyn sinh H-C B nm 2006) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a,AD=a ,SA=a v SA vuụng gúc vi mp(ABCD) Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC ;I l giao im ca MB v AC ,Chng minh rng (SAC) (SMB) Tớnh th tớch t din ANIB DNG: KHI CHểP Cể MT MT BấN VUễNG GểC VI Y h Cụng thc tớnh th tớch chúp: V= Bh h B : dieọn tớch ủaựy vi h : chieu cao Kin thc cn bit Khi chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy, ng cao chớnh l ng cao ca mt bờn ú xut phỏt t nh ca chúp Vớ d minh ha: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh a.Mt bờn SAB l tam giỏc u nm mt phng vuụng gúc vi ỏyABCD a) Xỏc nh v tớnh ng cao ca chúp S.ABCD S b) Tớnh th tớch chúp S.ABCD Cỏch gii: A +Biu din hỡnh v : ỏy ABCD l hỡnh vuụng c biu din bi hỡnh bỡnh hnh D H nh S c ly cho th hin mp(SAB) ng ,vuụng gúc a B C a mp nm ngang (ABCD) + Phõn tớch: a) Nu ABC , dng ng cao SH thỡ SH cú l ng cao ca chúp S ABCD khụng ? Ti sao? Nh li cụng thc tớnh ng cao SH ca tam giỏc u ? b) Tớnh th tớch chúp S.ABCD tớnh theo cụng thc no? h = SH Tỡm din tớch B ca hỡnh vuụng ABCD bng cụng thc no ? Th tớch cn tỡm S Li gii: a) Xỏc nh v tớnh ng cao ca chúp S ABCD Trong ABC , dng ng cao SH ,vỡ (SAB) (ABCD) A SH (ABCD) Vy SH l ng cao ca chúp S ABCD SAB u cnh a nờn SH = a H B b)Tớnh th tớch chúp S.ABCD V = SABCD SH = a a3 a = Nhn xột: Hỡnh v biu din khụng ni bt ,th hin (SAB) (ABCD) D a a C Hc sinh khụng bit xỏc nh ng cao ca chúp trng hp chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 2: Cho t din ABCD cú ABC l tam giỏc u ,BCD l tam giỏc vuụng cõn ti D , (ABC) (BCD) v AD hp vi (BCD) mt gúc 60o ,AD = a Tớnh th tớch t din ABCD Cỏch gii: A +Biu din hỡnh v : Biu din t din ABCD th hin cho ABC nm mp thng a ng , BCD nm mp nm ngang (ABC) (BCD) B +Phõn tớch: H Coi t din nh l hỡnh chúp A.BCD Vy hỡnh chúp ny cú mt mt bờn no vuụng gúc vi ỏy ? Xỏc nh c ng C cao SH hỡnh chiu ca AD trờn mp(BCD) gúc gia AD vi (BCD) l gúc no ? Phõn tớch V= B.h tỡm B v h hỡnh l cỏc i tng no ? Tỡm din tớch B ca BCD bng cụng thc no ? Tỡm h = AH qua tam giỏc no bi cụng thc gỡ ? Li gii: Gi H l trung im ca BC.Ta cú tam giỏc ABC u nờn AH (BCD) , m (ABC) (BCD) AH (BCD) AH l ng cao ca hỡnh chúp A.BCD Ta cú HD l hỡnh chiu ca AD trờn (BCD) cnh a AH = a a , HD= , BC= 2HD=a 2 1 a3 V = SBCD AH = BC.HD.AH = 3 24 Nhn xột: o ẳ ADH =60 AHD l na t/g u 60 o D Hc sinh khụng bit t din ABCD xem nh l hỡnh chúp nh A , hỡnh v biu din khụng ni bt ,th hin (ABC) (BCD) Hc sinh khụng bit : Khi chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy, ng cao chớnh l ng cao ca mt bờn ú xut phỏt t nh ca chúp Hc sinh khụng xỏc nh c gúc hp bi ng thng vi mt phng Hc sinh quờn tớnh cht ng cao ca tam giỏc u v tam giỏc vuụng cõn Vớ d 3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, cú BC = a Mt bờn SAC vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt bờn cũn li u to vi mt ỏy mt gúc 45 a) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AC b) Tớnh th tớch chúp SABC Cỏch gii: +Biu din hỡnh v : Biu din hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC th hin nm ngang , mp (SAC) th hin thng ng vuụng gúc vi mp (ABC) K SH BC ti H +Phõn tớch: a) K SH BC ti H pcm : H l trung im cnh AC S pcm BH l ng cao hoc phõn giỏc ca ABC Gi I, J l hỡnh chiu ca H trờn AB v BC HI = HJ (ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B) BH l ng phõn giỏc ca VABC H A 45 C I J b) Phõn tớch V= B.h tỡm B v h hỡnh l cỏc i tng no ? Tỡm din tớch B ca ABC bng cụng thc no ? Tỡm h = SH qua cỏc tam giỏc no bi tớnh cht gỡ ? Li gii: B a) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AC K SH BC vỡ mp(SAC) mp(ABC) nờn SH mp(ABC) Gi I, J l hỡnh chiu ca H trờn AB v BC SI v AB, SJ BC, theo gi thit ẳ ẳ = 45o Ta cú: EMBED Equation.DSMT4 SHI = SHJ HI = HJ nờn BH l SIH = SJH ng phõn giỏc ca VABC T ú suy H l trung im ca AC b) Tớnh th tớch chúp SABC a a3 HI = HJ = SH = VSABC= S ABC SH = 12 Nhn xột: Cõu a) liờn quan nhiu kin thc hỡnh hc lp cp , khụng bit chõn ng cao ca chúp chớnh chõn ng cao ca SAC k t S T ú khụng bit phõn tớch bi dn n pcm iu gỡ kt lun H l trung im ca AC Bi toỏn nu khụng gii c cõu a) khụng tớnh c SH khụng tớnh c th tớch Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC u cnh a, tam giỏc SBC cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi (ABC) 1) 2) Chng minh chõn ng cao ca chúp l trung im ca BC a3 s: V = 24 Tớnh th tớch chúp SABC Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC vuụng cõn ti A vi AB = AC = a bit tam giỏc SAB cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi (ABC) ,mt phng (SAC) hp vi (ABC) mt gúc 45o Tớnh th tớch ca SABC s: V = a3 12 ẳ Bi 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ẳ BAC = 90o ;ABC = 30o ; SBC l tam giỏc u cnh a v (SAB) (ABC) Tớnh th tớch chúp SABC s: V = a 24 Bi 4: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u;tam giỏc SBC cú ng cao SH = h v (SBC) (ABC) Cho bit SB hp vi mt (ABC) mt gúc 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABC s: V = 4h Bi 5: T din ABCD cú ABC v BCD l hai tam giỏc u ln lt nm hai mt a3 s: V = 36 phng vuụng gúc vi bit AD = a.Tớnh th tớch t din Bi : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng Mt bờn SAB l tam giỏc u cú ng cao SH = h ,nm mt phng vuụng gúc vi ABCD, 1) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AB s: V = 2) Tớnh th tớch chúp SABCD 4h3 Bi 7: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD l hỡnh ch nht , tam giỏc SAB u cnh a nm mt phng vuụng gúc vi (ABCD) bit (SAC) hp vi (ABCD) mt gúc s: V = a 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD Bi 8: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD l hỡnh ch nht cú AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mt bờn (SBC) v (SAD) cựng hp vi ỏy ABCD mt gúc 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD s: V = 8a Bi 9: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi vi AC = 2BD = 2a v tam giỏc SAD vuụng cõn ti S , nm mt phng vuụng gúc vi ABCD Tớnh th tớch s: V = a hỡnh chúp SABCD 12 Bi 10: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AD = CD = a ; AB = 2a bit tam giỏc SAB u nm mt phng vuụng gúc vi (ABCD) Tớnh th tớch chúp SABCD s: V = a Bi 11: ( Tuyn sinh H-C B nm 2008) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a ,SA = a ,SB= a v mp(SAB) vuụng gúc vi mp ỏy Gi M,N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB,BC Tớnh theo a th tớch chúp S.BMDN v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SM,DN DNG: TNH TH TCH KHI CHểP BNG CCH LP T S TH TCH HAI KHI A DIN S C' A' A Kin thc cn bit B' C B Cụng thc t s th tớch : Cho hỡnh chúp S.ABC, A ' SA, B ' SB , C ' SC , ta cú: VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VSABC SA SB SC Chỳ ý: p dng thc trờn trng hp l chúp tam giỏc hoc t din tớnh th tớch a din trc tip theo cụng thc thỡ di dũng,phc bit c t s th tớch gia a din ó cho vi mt a din ó bit th tớch Vớ d minh ha: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn B, AC = a ,SA vuụng gúc vi ỏy ABC , SA = a a) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC b) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, mt phng () qua AG v song song vi BC ct SC, SB ln lt ti M, N Tớnh th tớch ca chúp S.AMN Cỏch gii: S +Biu din hỡnh v : Biu din hỡnh chúp S.ABC cú SA thng ng vuụng gúc vi N ỏy (ABC) nm ngang Dng mt phng qua G v // BC , cho MN //BC.Ti ? +Phõn tớch: Phõn tớch V= a) B.h tỡm B v h hỡnh l cỏc i tng no ? Tỡm din tớch B ca ABC bng cụng thc no ? Tỡm h = SA qua tam giỏc no bi nh lớ gỡ ? G A C M I B b) Tớnh trc tip th tớch SAMN quỏ phc ta phi lm ? Lp t s th tớch ca SAMN v SABC ? Suy iu gỡ ? Li gii: a) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC a)Ta cú: VS ABC = S ABC SA v SA = a + ABC cõn cú : AC = a AB = a S ABC 1 a3 = a Vy: VSABC = a a = b) Gi I l trung im BC G l trng tõm,ta cú : // BC SG = SI MN// BC SM SN SG = = = SB SC SI b) Tớnh th tớch ca chúp S.AMN Gi I l trung im BC Vỡ G l trng tõm,ta cú : // BC MN// BC SG = SI SM SN SG 2a = = = Vy: VSAMN = VSABC = SB SC SI 27 Nhn xột: Hc sinh s gp khú khn l khụng bit biu din xỏc nh mp(AEF) Hc sinh khụng nh tớnh cht trng tõm tam giỏc, nh lý Talet tam giỏc Hc sinh khụng bit dng cụng thc t s th tớch ca chúp tam giỏc Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc ỏy, EMBED Equation.DSMT4 SA = a Gi B, D l hỡnh chiu ca A ln lt lờn SB, SD Mt phng (ABD) ct SC ti C a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD S b) Chng minh SC ( AB ' D ') c) Tớnh th tớch chúp S.ABCD Cỏch gii: B' C' D' + Biu din hỡnh v : I O v SA thng ng vuụng gúc vi (ABCD) Dng im C = SC (ABD) nh th no? B A Biu din hỡnh vuụng ABCD bng hỡnh bỡnh hnh D C Gi I = BD SO C = AI SO + Phõn tớch: a) Phõn tớch V= B.h tỡm B v h ca S.ABCD l cỏc i tng no ? b) Chng minh SC vuụng gúc ng thng no (AB'D') ? c) Phõn tớch chúp t giỏc thnh cỏc chúp tam giỏc no lp t s ? Hóy so sỏnh th tớch ca S.ABC v S.ACD vi SABCD ? Hóy so sỏnh th tớch ca SAB'C' v SAC'D' vi SAB'C'D' ? Lp t s th tớch ca SAB'C' vi SABC Suy iu gỡ ? Li gii: a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD Ta cú: VS ABCD a3 = S ABCD SA = 3 b) Chng minh SC ( AB ' D ') Ta cú BC ( SAB ) BC AB ' & SB AB ' Suy ra: AB ' ( SBC ) nờn AB' SC Tng t AD' SC Vy SC (AB'D') c) Tớnh th tớch chúp S.ABCD Tớnh VS AB 'C ' : Ta cú: VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' SB ' SA2 2a 2a 2 = , Ta cú: SAC vuụng cõn nờn = = = = SC SB SB SA2 + AB 3a VSAB 'C ' 1 a3 a3 (*) = T VSAB 'C ' = = VSABC 3 Nhn xột: Hc sinh khụng cú k nng dng im C' = SC (ABD) Hc sinh khụng bit phng phỏp chng minh ng thng vuụng gúc mt phng Hc sinh khụng nhn bit cỏch phõn chia chúp t giỏc chúp tam giỏc bng Hc sinh cha ỏp dng c cụng thc t s th tớch thnh tho t hỡnh v Vớ d trờn nguyờn l bi trang 26 sỏch hỡnh hc 12.i a s hc sinh lp c bn thm mt s hc sinh lp nõng cao gii cng khụng l d dng Do vy , tụi thay i mt s gi thit phự hp vi kh nng ca hc sinh: Hỡnh ch nht c thay bi hỡnh vuụng cnh a, Cnh SA=c c thay bi " SA = a " thỡ mc khú khn s gim v sau lm bi 8/26 , hc sinh tip cn bi 9/26 d v nh nhng hn Vớ d 3: Cho chúp t giỏc u SABCD Mt mt phng () qua A, B v trung im M ca SC Tớnh t s th tớch ca hai phn chúp b phõn chia bi mtS phng ú Cỏch gii: N +Biu din hỡnh v : Dng t giỏc u ABCD v SO M D (ABCD) Dng (ABM) // CD cú im N ? O Dng BD v BN Ti ? +Phõn tớch: Phõn tớch hai chúp t giỏc thnh cỏc chúp tam giỏc no lp t s ? A C B Hóy so sỏnh th tớch ca SABD v SBCD vi SABCD ? Lp t s th tớch ca SABN vi SABD ; SAMN vi SABC ? Li gii: K MN // CD (N SD) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca chúp ct bi mt phng (ABM) VSAND SN 1 = = VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 = = = VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 + Suy VABMN.ABCD = VSABCD Do ú : VSABMN V ABMN ABCD = M VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Nhn xột: Hc sinh thng sai lm ỏp dng cụng thc t s th tớch hai t diờn cho t s th tớch chúp t giỏc ? Hc sinh khụng bit ct chúp t giỏc thnh t din ỏp dng cụng thc t s th tớch t din ? Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a ,ng cao SA = a.Mt phng qua A v vuụng gúc vi SB ti H v ct SC ti K Tớnh th tớch hỡnh chúp SAHK s: V = a 40 Bi 2: Cho t diờn ABCD Gi B' v C' ln lt l trung im ca AB v AC Tớnh t s th tớch ca t din AB'C'D v t diờn ABCD s: k = Bi 3: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh v ly M trờn SA SM = x Tỡm x mt phng (MBC) chia hỡnh chúp thnh phn cú th tớch bng SA s: x = cho Bi 4: ( Tuyn sinh H-C D -2006) Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a ,SA = 2a v Sa vuụng gúc vi mp(ABC) Gi M,N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cỏc ng thng SB,SC 3a Tớnh th tớch chúp A.BCMN s: V = 50 [...]... vuụng gúc vi BD,ct BD ti F v ct AD ti E 1 Xỏc nh mp qua C vuụng gúc vi BD Chng minh CEF vuụng 2 Tớnh th tớch khi t din ABCD 3 Tớnh th tớch khi t din CDEF Nhn xột: õy l bi tp 5 trang 26 sỏch hỡnh hc 12 : Cho ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C vuụng gúc vi (ABC) ly im D sao cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD,ct BD ti F v ct AD ti E Tớnh th tớch khi t din CDEF Hc sinh khụng th hỡnh... tng ụi mt v OA=OB=OC = a a) Tớnh th tớch khi chúp O.ABC b) Gi H l trc tõm ca ABC Chng minh rng :OH (ABC) c) Tớnh th tớch khi chúp O.HBC Nhn xột: Bi tp ny l trng hp c bit ca bi tp 5 trang 26 hỡnh hc 12 : Cho hỡnh chúp O.ABC cú ba cnh OA,OB,OC vuụng gúc vi nhau tng ụi mt v OA=a,OB=b, OC=c.Hóy tớnh ng cao OH ca hỡnh chúp v cng l bi tp 4 trang 105 hỡnh hc 11: Cho t din O.ABC cú ba cnh OA,OB,OC vuụng... ẳ = 45o Ta cú: EMBED Equation.DSMT4 SHI = SHJ HI = HJ nờn BH l SIH = SJH ng phõn giỏc ca VABC T ú suy ra H l trung im ca AC b) Tớnh th tớch khi chúp SABC a 1 a3 HI = HJ = SH = VSABC= S ABC SH = 2 3 12 Nhn xột: Cõu a) liờn quan nhiu kin thc hỡnh hc lp cp 2 , khụng bit chõn ng cao ca khi chúp chớnh chõn ng cao ca SAC k t S T ú khụng bit phõn tớch bi dn n pcm iu gỡ kt lun H l trung im ca AC Bi... SABC Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC vuụng cõn ti A vi AB = AC = a bit tam giỏc SAB cõn ti S v nm trong mt phng vuụng gúc vi (ABC) ,mt phng (SAC) hp vi (ABC) mt gúc 45o Tớnh th tớch ca SABC s: V = a3 12 ẳ Bi 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ẳ BAC = 90o ;ABC = 30o ; SBC l tam giỏc u cnh a v (SAB) (ABC) Tớnh th tớch khi chúp SABC 2 s: V = a 2 24 Bi 4: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u;tam giỏc SBC cú... chúp SABCD 3 s: V = 8a 3 9 Bi 9: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi vi AC = 2BD = 2a v tam giỏc SAD vuụng cõn ti S , nm trong mt phng vuụng gúc vi ABCD Tớnh th tớch 3 s: V = a 5 hỡnh chúp SABCD 12 Bi 10: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AD = CD = a ; AB = 2a bit tam giỏc SAB u nm trong mt phng vuụng gúc vi (ABCD) Tớnh th tớch khi chúp SABCD 3 s: V = a 3 2 Bi 11: (... mt phng Hc sinh khụng nhn bit cỏch phõn chia khi chúp t giỏc ra 2 chúp tam giỏc bng nhau Hc sinh cha ỏp dng c cụng thc t s th tớch thnh tho t hỡnh v Vớ d trờn nguyờn l bi tp 8 trang 26 sỏch hỡnh hc 12. i a s hc sinh lp c bn thm chớ mt s hc sinh lp nõng cao gii cng khụng l d dng Do vy , tụi thay i mt s gi thit phự hp vi kh nng ca hc sinh: Hỡnh ch nht c thay bi hỡnh vuụng cnh a, Cnh SA=c c thay bi