Bài tập không gian vecto có lời giải

Chuyên đề Không gian vecto Bài 04.02.1.001.T168 Các tập sau ĐLTT hay PTTT: a)u1  1,2  u2   3, 6  b)u1   2,3 , u2   5,8 u3   6,1 c) p1   3x  x p2   9x  3x P2 1 3  1 3 d)A   ,B     M2      Lời giải: Họ vecto v1 , v2 , , vm  khơng gian vecto V ĐLTT phương trình: c1v1  c2v2   cmvm   (*) Đối với ẩn ci có nghiệm tầm thường ci  Họ phụ thuộc tuyến tính phương trình (*) có nghiệm khơng tầm thường tức nghiệm  c1, c2 , , cm  với ci  a) Xét  u1   u2   0,0    1,     3, 6    0,0     3 , 2      0,0    3  Do  ,  nghiệm hệ:  2  6    Hệ phương trình hệ có nghiệm khơng tầm thường    Vậy họ u1, u2  PTTT b) Xét  u1   u2   u3   0,0     2,3    5,8     6,1   0,0    2  5  6 ,3  8      0,0  2  5  6  Do  ,  nghiệm hệ  3  8    Đây hệ phương trình có số phương trình số ẩn nên ta có vơ số nghiệm chẳng hạn xem  tùy ý ta tính   theo  Do có nghiệm khơng tầm thường Vậy hệ cho phụ thuộc tuyến tính c) Xét  p1   p2   x  x  P2     3x  x      x  3x    x  x   2  6    3  9      3    x  x 2     Do  ,  nghiệm hệ 3      3   Ba phương trình tương đương với phương trình cuối:   3    3 Nó có nghiệm không tầm thường    Vậy họ  p1 , p2  PTTT d) Xét 0 0  0 0 1 3  1 3   0       2    0   0     3  3   0            0     0  A B       3  3   Do  ,  nghiệm hệ  2    0    Bốn phương trình tương đương phương trình đầu       Nó có nghiệm khơng tầm thường    Vậy họ  A, B cho PTTT Bài 04.02.1.002.T169 Các tập ĐLTT hay PTTT: a) 1,2,3 ,  3,6,7  b)  4, 2,6  ,  6, 3,9  c)  2, 3,1 ,  3, 1,5 , 1, 4,3 d)  5,4,3 ,  3,3,2  , 8,1,3 3 Lời giải: a) Xét  1, 2,3    3,6,7    0,0,0     3 , 2  6 ,3      0,0,0    3   Do  ,  nghiệm hệ 2    3     2  6  Hệ tương đương hệ hai phương trình cuối  3    Hệ có định thức    14  18  4    nên có nghiệm tầm thường    Vậy họ vecto 1,2,3 ,  3,6,7  ĐLTT b) Xét   4, 2,6     6, 3,9    0,0,0    4  6 , 2  3 ,6  9    0,0,0  4     Do  ,  nghiệm hệ 2  3   2  3  6  9     Nó có nghiệm khơng tầm thường     2 Vậy họ  4, 2,6  ,  6, 3,9  PTTT c) Xét   2, 3,1    3, 1,5   1, 4,3   0,0,0    2  3   , 3    4 ,  5  3    0,0,0  2  3     Do  ,  ,  nghiệm hệ 3    4    5  3   Hệ có định thức   3 1 4  35     Nên có nghiệm không tầm thường       Vậy hệ cho ĐLTT d)Xét   5, 4,3    3,3,    8,1,3   0,0,0    5  3  8 , 4  3   ,3  2  3    0,0,0  5  3  8   Do  ,  ,  nghiệm hệ 4  3    3  2  3   Hệ có định thức    3 Nên hệ có nghiệm khơng tầm thường Vậy họ cho PTTT Bài 04.02.1.003.T169 Các tập ĐLTT hay PTTT: a)  4, 5,2,6  ,  2, 2,1,3 ,  6, 3,3,9  ,  4, 1,5,6  b) 1,0,0,2,5 ,  0,1,0,3,4  ,  0,0,1,4,7  ,  2, 3,4,11,12 Lời giải: a) Xét   4, 5, 2,6     2, 2,1,3    6, 3,3,9     4, 1,5,6    0,0,0,0    4  2  6  4 , 5  2  3   , 2    3  5 ,6  3b  9  6  Do  ,  ,  ,  nghiệm hệ 4    6  4  5    3      2    3  5  6  3b  9  6  Hệ có định thức   5 2 3 1 0 Nên khơng có nghiệm tầm thường Vậy họ vecto cho PTTT b) Xét:  1,0,0, 2,5    0,1,0,3,     0,0,1, 4,7     2, 3, 4,11,12    0,0,0,0,0     2 ,   3 ,   4 , 2  3  4  11 ,5  4  7  12    0,0,0,0,0  Do  ,  ,  ,  nghiệm hệ   2    2     3       3     4  2  3  4  11    4   14  5    7  12       Do có nghiệm  nghiệm tầm thường      Vậy hệ cho ĐLTT Bài 04.02.1.004.T169 Tập P2 PTTT: a)  x  x ,  x  x ,  10 x  x b)  x  x ,  x  x ,  x c)  x ,  x  x d )  3x  3x , x  x ,  x  3x ,  x  x Lời giải: a) Xét:    x  x      x  x    1  10 x  x    x  x  P2   2  3        6  10  x   4    4  x   x  x 2  3     Do  ,  ,  nghiệm hệ     10  4    4   Hệ có định thức 1 10  6  4    Nên có nghiệm tầm thường       Vậy họ vecto cho ĐLTT b) Xét:    x  x      x  x      3x    x  x   3    4       x    5  3  x   x  x 3    4   Do  ,  ,  nghiệm hệ       5  3   Hệ có định thức 1  39  3    Nên có nghiệm tầm thường       Vậy họ vecto cho ĐLTT c) Xét:    x    1  x  x    x  x   6      x     4  x   x  x  6      0 Do  ,  nghiệm hệ  a  4     Hệ có nghiệm tầm thường    Vậy họ vecto cho ĐLTT d) Xét:  1  3x  3x     x  x      x  x      x  x    x  x    5  7    3    6  2  x   3    3    x   x  x Do  ,  ,  ,  nghiệm hệ   5  7   3    6  2  3    3     Đây hệ mà số phương trình số ẩn nên có nghiệm không tầm thường Vậy họ vecto cho PTTT Bài 04.02.1.005.T169 Tập C  ,   PTTT: a) 2, 4sin x,cos x b) x,cos x c) 1,sin x,sin x d ) cos x,sin x,cos x e) 1  x  , x  x,3 f ) 0, x, x 2 Lời giải: a) Ta có:  sin x  cos x 4sin x   2cos x     4sin x   2cos x  2 Vậy họ cho PTTT b) Xét:  x   cos x  Thay x     Thay x      0  Vậy họ cho ĐLTT c) Xét:    sin x   sin x  Thay x     Thay x  Thay x     0  0 Vậy họ cho ĐLTT d) Xét:  cos x   sin x   cos x     cos x  sin x    sin x   cos x       cos x       sin x  Thay x       Thay x          Ta suy chẳng hạn    thỏa mãn, nên có nghiệm không tầm thường   1  Vậy họ cho PTTT e) Xét:  1  x     x  x        3   2    x      x   x  x   3    3   Do  ,  ,  nghiệm hệ 2               Hãy tìm ma trận tọa độ vecto tọa độ w sở S  u1, u2  , đó: a) w   2, 1,3 , u1  1,0,0  , u2   2, 2,0  , u3   3,3,3  b) w   5, 12,3 , u1  1, 2,3 , u2   4,5,6  , u3   7, 8,9  Lời giải: a) Ta có:  2, 1,3   1,0,0     2,2,0     3,3,3    2  3 ,2  3 ,3    2  3      2  3  1     2  w  3u1  2u2  u3 Do     3    Vậy  w  S   3, 2,1 ,  wS b)Ta có:  3   2     1 5, 12,3   1,2,3    4,5,6     7, 8,9     4  7 ,2  5  8 ,3  6  9    4  7    2   Do 2  5  8  12      w  2u1  u3 3  6  9      Vậy  w  S   2,0,1 ,  wS  2    0    1 Bài 04.02.1.024.T177 Hãy tìm vecto tọa độ ma trận tọa độ A sở B   A1 , A2 , A3 , A4  M đó:  0  1  1  0  0  A , A1   , A2   , A3   , A4         1 3  0 0  1  0  Lời giải: Ta có:  0  1  1  0  0 0                  1 3  0 0  1  0                        1    0     Do     1   1      3 Vậy  A  B   1,1, 1,3 ,  AB  1  1    1    3 Bài 04.02.1.025.T177 Hãy tìm vecto tọa độ ma trận tọa độ đa thức p sở B   p1 , p2 , p3 P2 đó: p   3x  x2 , p1  1, p2  x, p3  x Lời giải: Ta có:  3x  x2  p1  p2  p3 Vậy  p  B   4, 3,1 ,  p B Bài 04.02.1.026.T177  4   3     1 Trong , xét tích vơ hướng Euclid sở trực chuẩn Hãy tìm vecto tọa độ ma trận tọa độ w:    1  a ) w   3,7  , u1   , ,  , u2     2 2    2 1 2 2 1 2 b) w   1,0,  , u1   ,  ,  , u2   , ,   , u3   , ,   3 3 3 3 3 3 Lời giải: a) Ta có u1 , u2 trực giao chuẩn hóa, có: w, u1  w, u2     7   10  2 5  2      Vậy  w  S  2 2,5 ,  wS   w, u1  b) Ba vecto u1 , u2 , u3 đề trực giao chuẩn hóa: w, u2  2 w, u3  Ta có: w  w, u1 u1  w, u2 u2  w, u3 u3  2u2  u3 Vậy  w  S   0, 2,1 ,  wS  0   2     1 Bài 04.02.1.027.T178 Trong 3 4  3 xét tích vơ hướng Euclid Xét S  w1 , w2  , w1   ,   , w2   ,  5 5 5 5 a) Chứng minh S sở trực chuẩn b) Cho u, v  2 với  u  s  1,1 ,  v  s   1,  Hãy tính u, d  u, v  , u, v c) Tìm u v tính u, d  u, v  , u, v cách trực tiếp Lời giải: 4 w1 , w2    5 5 a) Ta có: 2 2 3  4 w1        5  5 mà  4 3 w2         5 5 Vậy S  w1 , w2  sở trực chuẩn u  w1  w2 v   w1  4w2 b) Do  u  S  1,1  v  S   1,  có nghĩa  Ta suy ra: u  w1  w2 2 11   u  u  v   w1  w2     w1  4w2   2w1  3w2 u  v  w1  w2 2  13; d  u , v   u  v  13; u , v  w1  w2 ,  w1  4w2   w1 , w1  w1 , w2  w2 , w2 ; u, v  3 5 4  3  5  5  1 5 c) Có: u  w1  w2   ,     ,    ,      16 12   13 16  v  w1  4w2    ,    ,    ,   5  5   5  2 50 7 1 u      2 u  25  5 5    13 16   17  u  v   ,    ,     ,  5 5  5   5  2    17  u  v        13 5    d  u , v   u  v  13 13 16 u, v    5 5 Bài 04.02.1.028.T178 Xét sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  đó: 1  0  2  3 u1    , u2    , v1    , v2    0 1  1   4 a) Hãy tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB w   3, 5 tính  wB ' c) Tính  wB ' trực tiếp kiểm tra lại kết d) Tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B Lời giải: a) Ở B sở xác  3  1  Do ma trận chuyển sở từ B sang B’ P    3   5 b) Ta có  w B   Mặt khác  wB '  P1  wB Vì det  P   11  P 1  Do  wB '   3 11  1 2  3  3  3 / 11  11  1   5  13 / 11 c) Tính  wB ' trực tiếp  3  2  3  5   1     4       Ta có: 3     2  3  11 Do  ,  nghiệm hệ     4  5    13  11 Vậy  3 / 11   13 / 11  w B '   d) Ở câu b ta tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B P 1   3 11  1  Ta tính trực tiếp ma trận chuyển sở cách biểu diễn u1 , u2 theo sở B '  v1 , v2  , có:   4    11 1   2  3  11       u      B' 0 1   4  1             11  11 Mặt khác  3   11 0   2  3  11       u      B' 1  1   4  2           11   11  3  11 11  1 Do ma trận chuyển sở từ B’ sang B Q    trùng với P  1   11 11  Bài 04.02.1.029.T178 Xét sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  đó: u1   2,2 , u2   4, 1 , v1  1,3 , v2   1, 1 a) Hãy tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB w   3, 5 tính  wB ' c) Tính  wB ' trực tiếp kiểm tra lại kết d) Tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B Lời giải: a) Ta có: 13  13    10  1   2  4  10 v1                v1 B     3 2  1    2        1   1 2      v2                v2 B       1 2  1      0 13 / 10 1 /    2 / Vậy ma trận chuyển sở từ B sang B’ P   b) Ta có: 17   17       10   3  2  4  10 w               w B     5 2  1     8    Mặt khác  wB '  P 1  wB 1/   Với det  P     P 1  5    / 13 / 10 /   17 / 10   4   Do  wB '  P 1  wB  5    / 5    / 13 / 10    3 1   1 c) Ta có: w             5 3  1       4  ,  nghiệm hệ   3    5    7 Vậy  4    7   w B '   1/     / 13 / 10  d) Ở câu b ta tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B P 1  5  Ta tính trực tiếp ma trận chuyển sở cách biểu diễn u1 , u2 theo sở B '  v1 , v2  , có:  2 1   1    0       u     B'  2 3  1  2          2   Mặt khác         4  1   1    u2 B '     1   3    1            13   13     5   2  1 Do ma trận chuyển sở từ B’ sang B Q    trùng với P  2  13    Bài 04.02.1.030.T178 Xét hai sở B  u1, u2 , u3, B '  v1, v2 , v3 đó: u1   3,0, 3 , u2   3, 2,1 , u3  1,6, 1 v1   6, 6,0  , v   2, 6,  , v3   2, 3,7  a) Hãy tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B b) Tính ma trận tọa độ  wB w   5,8, 5 tính  wB ' c) Tính trực tiếp  wB ' kiểm tra lại kết Lời giải: a) Ta có:  6 2 2   3 3   6 6 3 P           3 1 Đổi dấu vế giải phương pháp Gaus-Jordan: 6 2 3 1 6 2 3 1   h  h1 h   6            0 4 7 1  0 4 7 1  h1 h  h1 6 2 3 1 6 7 /  h  h  h     h3 h  h3   0 3 5 5    0 3 6 17 / 3 0 6 6 4  0 6 6 4  h1 h1 6 0 / /  61 1 0 / 2/3 / 12  h1 h  h1 h2h2       0 3 6 17 / 3   0 3 / 3 / 17 / 12   h 3 h 0 6 0 6 4  /  2/3 / 12   3/   Vậy P  3 / 3 / 17 / 12    /  w  1u1   2u2  3u3 b) Ta viết 1 ,  ,3 nghiệm  3 3  1   5 1  31 / 21 31 / 21        8    /  w   /   B    2         3 1    5   / 8 /  Từ  wB '  P  wB 2/3 / 12  31 / 21  19 / 12   3/   3 / 3 / 17 / 12   /    43 / 12        /   /   / 3 c) Tính trực tiếp  wB ' ta viết: w  c1v1  c2v2  c3v3  6 2 2  c1   5 c1  / 12       Thì c1 , c2 , c3 nghiệm hệ 6 6 3 c2   c2  43 / 12        c3   5 c3  / Vậy  w B '  19 / 12    43 / 12     / 3 Bài 04.02.1.031.T178 Xét hai sở B  u1, u2 , u3, B '  v1, v2 , v3 đó: u1   2,1,1 , u2   2, 1,1 , u3  1, 2,1 v1   3,1, 5 , v  1,1, 3 , v3   1,0,  a) Hãy tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B b) Tính ma trận tọa độ  wB w   5,8, 5 tính  wB ' c) Tính trực tiếp  wB ' kiểm tra lại kết Lời giải: Ta có:  1 2 1  1  P  1 1       5 3  1 1  Giải phương pháp Gauss-Jordan:  1 2    3 1 2  3 h  h1  h       1 5 5    1 1    3 h  h1  h  5 3 1    0 4 13 13   1 2  3 7    h1 h 3 h1    0 1 5    0 4 6 1 h  h1 h 0  0   h3 h 2  h3  0 15 /  1 0 /  h  h       0 4 6 1    0 2 3 1 /  h2h2 0 0   h1 h  h1 Vậy  5/2  P   2 3 1 /      b) Ta viết: w  1u1   u2  3u3  2  1   5 1   9          1 ,  ,3 nghiệm 1      9   wB  9        1 1     5   5  5 Từ  wB '  P  wB  /     7 /    2 3 1 /   9    23 /          5  6 c) Tính trực tiếp  wB ' ta viết: w  c1v1  c2v2  c3v3  1 c1   5 c1  7 /    c2    8  c2  23 / Thì c1 , c2 , c3 nghiệm hệ      5 3  c3   5 c3  Vậy  wB '  7 /    23 /      Bài 04.02.1.032.T179 Trong P1 xét sở B   p1 , p2  , B '  q1 , q2  với p1   3x, p2  10  2x, q1  2, q2   2x a) Tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B b) Tính ma trận tọa độ  p B , p  4  x suy  p B ' c) Tính trực tiếp  p B ' kiểm tra lại kết d) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ Lời giải: Trong sở tắc S  1, x P1 ta có: 6 3  10  2 3  , q  , q       0   2  2      p1     , p2    a)Ta có:  3 6 10 3 / /  P   P  0 2 3  3 /       3 / /   3 / Vậy ma trận chuyển sở từ B’ sang B P   b) Trong sở tắc S  1, x  4  đa thức p  4  x có ma trận tọa độ  p      1 Trong sở tắc B viết p   p1   p2  ,  nghiệm hệ 6 10    4   3       1     1       Vậy  1   1  p B   Trong sở B’ ta có: 3 / /   1  11 /     1  /  3 /  p B '  P  p B   c) Tính trực tiếp  p B ' ta viết: p  c1q1  c2q2 2c1  3c2  4 c1  11 /  c   c2  / c1 , c2 nghiệm hệ   11 /   trùng kết /   Vậy  p B '   d) MA trận chuyển sở Q từ B sang B’ Vì det  P   3/ 7/ 3/ Q  P 1    Q  P 1  nên: 7 / 2 / /  / 1 / 3 / / Bài 04.02.1.033.T179 Gọi V không gian sinh f1  sin x, f2  cos x a) Chứng minh g1  2sin x  cos x, g2  3cos x tạo thành sở V b) Tìm ma trận chuyển sở từ B '   g1 , g2  sang B   f1, f  c) Tính ma trận tọa độ  h B với h  2sin x  5cos x suy  h B ' d) Tính trực tiếp  h B ' kiểm tra lại kết e) Tìm ma trận chuyển sở từ B’ sang B Lời giải: Xét không gian sinh f1  sin x, f  cos x : V   f | f  a sin x  b cos x,  a  ,  b     Từ  f1   f   sin x   cos x  0, x ta rút    x    2    x   Vậy B   f1, f 2 vừa sinh V vừa ĐLTT nên B sở V Trong sở B hàm số f1  sin x, f  cos x, g1  2sin x  cos x, g2  3cos x có 1  0 2 0 ma trận tọa độ  f1 B    ,  f B    ,  g1 B    ,  g B    0  1  1  3  a) Ta chứng minh g1, g2 sinh V ĐLTT a  Vì f  V   f B    nên g1, g2 sinh V hệ b   2 0 a         g1   g  f            có nghiệm ,  b b 2  a Hệ viết thành  ln có nghiệm (vì có định thức khác 0)     b  Vậy B '   g1 , g2  sinh V 2  Bây xét hệ  g1   g      3    Hệ có nghiệm  , g1, g2 ĐLTT   Vậy B '   g1 , g2  sở V   0 1   1/ b) Ta xét hệ  P P    1 3 0   1 / / 3   1/ Vậy P    ma trận chuyển sở từ B’ sang B  / /    2 c) Ta thấy  hB     5     1  1/ Do  hB '  P  h B     5   2   / /      d) Tính trực tiếp  h B ' Viết  h B '  c1 g1  c2 g c1 , c2 nghiệm hệ   c1    c1  1 3 c    5  c  2   2     1 Vậy  h B '    trùng kết  2  e) Ma trận chuyển sở từ B’ sang B Vì det  P   Q  P 1  nên 1 /   0 Q  P 1     1 / /  1 3 ... chiều không gian b)Số vecto họ u1, u2  số chiều không gian   3   2 c)Số vecto họ  p1 ,p2  số chiều không gian P2   2 d)Số vecto họ  A, B,C,D,E số chiều không gian M   5 Bài 04.02.1.010.T170... C  1  M Lời giải: Muốn cho họ vecto sở khơng gian hữu hạn chiều điều kiện cần số vecto họ phải số chiều khơng gian Do họ vecto có số vecto khác số chiều khơng gian sở a) Số vecto họ u1... số chiều không gian a) Các vecto có dạng  a, b, c,0  d  a  b b) Các vecto có dạng  a, b, c, d   c  a  b c) Các vecto có dạng  a, b, c, d  a  b  c  d Lời giải: a) Xét tập W  