bài giảng không gian véc tơ

KHÔNG GIAN VÉCTƠ Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111 Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc-tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực 1 + : R × R → R (x, y) → x + y 2 • : R → R (λ, x) → λ.x Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C (λ, x) → λ.x Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : P n (x) × P n (x) → P n (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R × P n (x) → P n (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 3 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Véc-tơ trong mặt phẳng 1 + : R 2 × R 2 → R 2 ( −→ x , −→ y ) → −→ x + −→ y ( −−→ OM, −−→ ON) → −−→ OM + −−→ ON 2 • : R × R 2 → R 2 (λ, −→ x ) → λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM Véc-tơ trong không gian 1 + : R 3 × R 3 → R 3 ( −→ x , −→ y ) → −→ x + −→ y ( −−→ OM, −−→ ON) → −−→ OM + −−→ ON 2 • : R × R 3 → R 3 (λ, −→ x ) → λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán 1 + : E × E → E (x, y) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K 1 x + y = y + x 2 x+(y +z) = (x+y)+z 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = x 4 ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx 6 λ(x + y ) = λx + λy 7 λ(µx) = (λ.µ)x 8 1.x = x thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ R n = {x = (x 1 , . . . , x n ), x i ∈ R, i = 1, n} + : R n × R n → R n , (x, y) → x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) • : R × R n → R n (λ, x) → (λx 1 , . . . , λx n ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C n = {x = (x 1 , . . . , x n ), x i ∈ C, i = 1, n} + : C n × C n → C n , (x, y) → x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) • : C × C n → C n (λ, x) → (λx 1 , . . . , λx n ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 7 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ X = ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : E X × E X → E X , (f , g) → (f + g )(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X • : K × E X → E X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X M m ×n (K ) + : M m ×n (K ) × M m ×n (K ) → M m ×n (K ), (A, B) → A + B = (a ij + b ij ) • : K × M m ×n (K ) → M m ×n (K ) (λ, A) → λA = (λa ij ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 8 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C [a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C [a,b] × C [a,b] → C [a,b] , (f , g) → f + g = f (x) + g(x) • : K × C [a,b] → C [a,b] (λ, f ) → λf = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 9 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R 2 , + : E × E → E , • : R × E → E ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) → (x 1 y 1 , x 2 y 2 ) λ(x 1 , x 2 ) → (x λ 1 , x λ 2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x 1 y 1 , x 2 y 2 ) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x 1 , x 2 ) = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1 x 1 , 1 x 2 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) 5 (λ + µ)x = (x λ+µ 1 , x λ+µ 2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E. 6 λ(x + y ) = ((x 1 y 1 ) λ , (x 2 y 2 ) λ ) = λx + λy, ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (x λµ 1 , x λµ 2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = (x 1 1 , x 1 2 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 10 / 111 [...]... 7 −5 0 véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 19 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM... λ = 0 và λ = 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 12 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0 (λ − µ)x = λx − µx λ(x − y ) = λx − λy phần tử 0 ∈ E là duy nhất 1 2 3 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 13 / 111 Sự phụ thuộc và...Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x), (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pn (x) thì 0.p(x) = 0 ∈ Pn (x) / TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 11 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2 , + : E × E → E , ((x1,... cho 2 véc tơ x, y cùng phương: x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0 Suy ra x, y PTTT Ngược lại x, y ĐLTT khi và chỉ khi x, y không cùng phương Tương tự trong R3, 3 véctơ x, y , z PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng Ngược lại, 3 véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 24 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Kiểm tra các véctơ x1, x2,... 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 21 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 22 / 111 Sự... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 16 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính  Ví dụ     2 −1 1 λ1 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  ⇔ 1 −1 −2 λ3 −3   λ1 = 1 λ =2  2 λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 17 / 111 Sự phụ... K không đồng thời bằng 0 {x1, x2, , xm } là phụ thuộc tuyến tính m λi xi = λ1x1 + sao cho i=1 λ2x2 + + λm xm = 0 m λi xi = i=1 λ1x1 + λ2x2 + + λm xm = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) {x1, x2, , xm } là độc lập tuyến tính KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 23 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Véctơ ĐLTT, PTTT trong mặt phẳng, trong không gian Trong R2, cho 2 véc. .. TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 15 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x ⇔ (2λ1, λ1, λ1) + (−λ2, λ2, −λ2) + (λ3, λ3, −2λ3) = (1, 4, −3)   2λ1 − λ2 + λ3 = 1 ⇔ λ + λ2 + λ3 = 4  1 λ1 − λ2 − 2λ3 = −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG... TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 26 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r (A) Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 27 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ... Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 28 / 111 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải  1 4 7 T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)  KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 29 . -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 111 Cấu trúc không. TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111 Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc- tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Tọa độ của véctơ,. λ. −→ x (λ, −−→ OM) → λ. −−→ OM KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C)