Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) Chương 4 Không gian vec tơ (tt):

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng --- ---Đại số tuyến tính Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ tt • Giảng viên TS.. Nội dung--- III - Tổng và giao c

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng

-

-Đại số tuyến tính

Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)

• Giảng viên TS Đặng Văn Vinh

Nội dung -

III - Tổng và giao của hai không gian con.

I Toạ độ của véctơ -

-Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V

Định nghĩa toạ độ của véctơ

1 1 2 2

 x  x e  x e   x e n n

1 2

[ ] E

n

x x x

I Tọa độ của véctơ

I Tọa độ của véctơ

I Tọa độ của véctơ

I Tọa độ của véctơ

[ ] E

n

y y y

[ ] E

n

x x x

3 [ ] E

n

x x x

I Tọa độ của véctơ

-

-Ý nghĩa của toạ độ véctơ.

Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở

E ={e 1 , e 2 , …, e n }.

Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.

Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một

số, và sự bằng nhau trong V cĩ thể phức tạp.

Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống hồn tồn trong R n

Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R n

Chứng minh được V và R n đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và R n

Tất cả các khơng gian n chiều đều coi là R n

I Tọa độ của véctơ

II Khoâng gian con

-

-Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V

khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.

1  f g ,  F : f  g  F

2   f F ,    K :  f  F

Định lý

II Khoâng gian con

1 Chứng tỏ F là không gian con của R 3

2 Tìm cơ sở và chiều của F.

Suy ra E  { (1,0,1);(0,1, 2) } là tập sinh của F.

Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở của F.

II Khoâng gian con

1 Chứng tỏ F là không gian con của P 2 [x].

2 Tìm cơ sở và chiều của F.

Giải câu 2  p x ( )  ax 2  bx   c F  p (1)  0 & p (2)  0

Suy ra E  { x 2  3 x  2 } là tập sinh của F.

Hiển nhiên E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở của F.

II Khoâng gian con

1 Chứng tỏ F là không gian con M 2 [R]

2 Tìm cơ sở và chiều của F.

II Khoâng gian con

II Không gian con

hạng M = hạng M thêm vectơ x

Kgian con <M>

Chiều kgian con M = hạng M

II Khoâng gian con

II Khoâng gian con

II Khoâng gian con

II Khoâng gian con

II Khoâng gian con

II Khoâng gian con

III Tổng và giao của hai không gian con

-

-Cho F và G là hai khơng gian con của K-kgvt V.

Giao của hai khơng gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi

Định nghĩa giao của hai khơng gian con

III Tổng và giao của hai không gian con

-

-2.

Định lý

1 F  G & F  G là hai khơng gian con của V.

dim( F  G )  dim( ) dim( ) dim( F  G  F  G )

Kết quả

F  G  F  F  G  V

F  G  G  F  G  V

III Tổng và giao của hai không gian con

-

-Các bước để tìm khơng gian con F+G

1 Tìm tập sinh của F Giả sử là {f 1 , f 2 , …, f n }

3 F  G  f f , , , f n , g g , , , g n 

2 Tìm tập sinh của G Giả sử là {g 1 , g 2 , …, g n }

III Tổng và giao của hai không gian con

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F  G

III Tổng và giao của hai không gian con

3 2

x x x

a a a

ì = ïï

ï

Û í =

ïï = ïỵ

Khi đĩ x  ( , x x x 1 2 , 3 )  ( ,3 , 2 )   

(1,3, 2)

Û = (1,3, 2)

III Tổng và giao của hai không gian con

III Tổng và giao của hai không gian con

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F  G

III Tổng và giao của hai không gian con

x  

   Þ E = { (1,3, 2) } là tập sinh của F Ç G

vì E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở

III Tổng và giao của hai không gian con

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F  G

III Tổng và giao của hai không gian con

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F  G

III Tổng và giao của hai không gian con

F  p x  P x p 

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F  G

2

{ ( ) [ ] | ( 1) 0}

G  p x  P x p  