BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chứng minh rằng: i Tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn hoặc vô hạn phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn trên trường K lập thành một không gian véc tơ trên K.. ii Tập hợp nghiệm của một

KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ

NGUYỄN CHÍNH TÂM

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Phú Thọ - 2010

Mục lục

Chương 1 Không gian véc tơ 2

1.1 Khái niệm không gian véc tơ 2

1.2 Độc lập tuyến tính Hệ sinh 3

1.3 Cơ sở, chiều và hạng của một hệ véc tơ . 4

Chương 2 Ma trận 6

2.1 Các phép toán cơ bản của ma trận . 6

2.2 Ma trận nghịch đảo 7

2.3 Hạng của ma trận 10

2.4 Ma trận đa thức . 12

2.5 Một số bài tập tổng hợp về ma trận 14

Chương 3 Định thức 18

3.1 Các phương pháp tính định thức 18

3.2 Một số tính chất của định thức 21

3.3 Một số bài tập tổng hợp về định thức 24

Chương 4 Hệ phương trình tuyến tính 31

Chương 5 Ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng và véc tơ riêng 34

Tài liệu tham khảo 40

Chương 1

Không gian véc tơ

1.1 Khái niệm không gian véc tơ

Bài 1.1 Phương trình tuyến tính ẩn n trên trường K là biểu thức có dạng

α1v1+ α2v2+ + αnvn= β ,trong đó α1, α2, , αn, β ∈ K Nếu β = 0 thì nó được gọi là phương trình tuyến tínhthuần nhất Chứng minh rằng:

(i) Tập hợp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến

tính thuần nhất n ẩn trên trường K lập thành một không gian véc tơ trên K.

(ii) Tập hợp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến

tính không thuần nhất n ẩn trên trường K không lập thành một không gian véc

tơ trên K.

Bài 1.2 Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau đây với phép cộng và phép

nhân (với một số) thông thường lập thành không gian véc tơ trên R :

Bài 1.3 Cho a < b là hai số thực Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau

đây với phép cộng và phép nhân (với một số) thông thường lập thành không gianvéc tơ trên R:

a) Tập L[a, b] các hàm thực khả tích trên [a, b]

b) Tập Cn(a, b) các hàm thực có đạo hàm cấp n liên tục trên khoảng (a, b).

c) Tập C∞(a, b) các hàm thực khả vi vô hạn lần

d) Tập các hàm thực trên đoạn [a, b]

e) Tập các hàm không bị chặn trên đoạn [a, b]

f) Tập các hàm thực f thỏa mãn f (a) = 0.

g) Tập các hàm thực f thỏa mãn f (a) = −1.

h) Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a, b]

Bài 1.4 Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau đây với phép cộng và phép

nhân (với một số) thông thường lập thành không gian véc tơ trên trường K:

a) Tập hợp các ma trận trên trường K với n dòng, m cột.

b) Tập hợp các ma trận vuông đối xứng trên trường K

c) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K giao hoán với một họ ma trận chotrước

d) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K với đường chéo chính bằng 0.e) Tập hợp các ma trận (vuông) đường chéo trên K

f) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K với định thức bằng 0

Bài 1.5 Cho U là không gian con của V Chứng tỏ rằng hiệu tập hợp V \U không

bao giờ là không gian con của V

Bài 1.6 Cho Vi, i ∈ I là một họ không gian con của V Kí hiệu ∑i∈IVi là tập hợpcác phần tử có dạng xi1+ · · · + xin, trong đó i1, , in (n thay đổi) và xij ∈ Vij với mọi

j= 1, , n Chứng tỏ rằng tập này lập thành một không gian con của V (được gọi

là tổng của các không gian con).

Bài 1.7 Cho K là một trường vô hạn và V1,V2, ,Vn là các không gian con của V Chứng minh rằng V1∪V2 .Vn là không gian con khi và chỉ khi có một không giancon Vi chứa tất cả các không gian còn lại Khi trường K hữu hạn thì sao?

Bài 1.8 Cho X là một họ không gian con của V thỏa mãn: nếu V1,V2∈ X thì tồntại V3∈ X chứa cả V1,V2 Chứng tỏ rằng hợp các không gian con trong X lập thànhmột không gian con của V

Bài 1.9 Một số phức được gọi là số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức với

hệ số hữu tỉ Chứng minh rằng tập các số đại số lập thành một không gian véc

tơ trên Q

Bài 1.10 Cho K là trường vô hạn Chứng tỏ rằng mọi không gian véc tơ không

tầm thường trên K có vô số phần tử

Bài 1.11 Chứng tỏ rằng trên tập Q có thể định nghĩa vô hạn cấu trúc không

gian véc tơ trên Q, nhưng không thể xác định một cấu trúc không gian véc tơtrên R

Bài 1.12 Cho U và V1,V2 là các không gian con của V Chứng tỏ rằng

(U ∩V1) + (U ∩V2) ⊆ U ∩ (V1+V2)Tìm ví dụ để có bao hàm thức thực sự

Bài 1.13 Cho U là không gian con của V Chứng tỏ rằng tồn tại không gian con

W sao cho V = U +W và U ∩W = 0

Bài 1.14 Cho I1, , Ir là các iđêan thuần nhất khác iđêan thuần nhất cực đạicủa vành đa thức K [x1, , xn] trên trường vô hạn K Chứng tỏ rằng tồn tại mộtdạng tuyến tính không nằm trong ∪ri=1Ii

1.2 Độc lập tuyến tính Hệ sinh

Bài 1.15 Chứng tỏ rằng

a) Không gian C [a, b] , a < b, không hữu hạn sinh

b) Không gian các đa thức n ≥ 1 biến không hữu hạn sinh

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 1.16 Chứng tỏ rằng các hệ véc tơ sau đây độc lập tuyến tính trong không

Bài 1.19 Chứng minh rằng mọi hệ sinh của V luôn tìm được một tập con là hệ

sinh tối tiểu

Bài 1.20 Chứng minh rằng mọi hệ sinh của không gian hữu hạn sinh đều chứa

một hệ sinh con hữu hạn

Bài 1.21 Tìm ví dụ chứng tỏ rằng các tính chất độc lập tuyến tính và trở thành

hệ sinh phụ thuộc vào đặc số của trường

Bài 1.22 Cho K là một trường có đặc số1 khác 2 Chứng minh rằng tập hợp

ei+ ej, 1 ≤ i 6= j ≤ n là hệ sinh của Kn (n ≥ 3) Khi đặc số bằng 2 thì sao?

1.3 Cơ sở, chiều và hạng của một hệ véc tơ

Bài 1.23 Tìm cơ sở và số chiều của không gian V của Rn gồm các véc tơ thỏamãn

Bài 1.26 Giả sử đặc số của trường K khác 2 và n ≥ 3 Tìm điều kiện để

e1+ e2, e2+ e3, , en+ e1lập thành cơ sở của Kn Khi đặc số của K bằng 2 thì sao?

1 Cho A là một vành (hoặc một trường) và E = {n ∈ N∗: n1A= 0A} Nếu E = ∅ thì ta nói A có đặc số 0, và nếu

E6= ∅ thì phần tử nhỏ nhất của E được gọi là đặc số của A

Bài 1.27 Chứng minh rằng V là không gian chiều vô hạn nếu với mỗi n đều tìm

được một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính

Bài 1.28 Cho V là một không gian chiều vô hạn Hãy xây dựng một dãy tăng

thực sự và một dãy giảm thực sự gồm vô hạn không gian con của V

Bài 1.29 Cho dimV = n Chứng tỏ rằng mọi dãy lồng nhau các không gian con

khác nhau của V có độ dài tối đa là n Hơn nữa mọi dãy như vậy đều có thể bổsung thành dãy có độ dài đúng bằng n

Bài 1.30 Chứng minh rằng dimQR = ∞

Bài 1.31 Nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ được gọi là số đại số Chứng

minh rằng tổng và tích hai số đại số lại là số đại số

Chương 2

Ma trận

2.1 Các phép toán cơ bản của ma trận

Bài 2.1 Giả sử A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn (XA)2= 0với mọi X là ma trậnvuông cấp n Chứng minh rằng A = 0

Bài 2.2 Cho A và B là các ma trận vuông cấp n sao cho tồn tại α, β ∈ K − {0} thỏa

mãn AB + αA + β B = 0 Chứng minh rằng AB = BA

Bài 2.3 Giải các phương trình sau đây với ẩn X ∈ M2(R)

Bài 2.8 a) Chứng minh rằng một ma trận vuông cấp n giao hoán với mọi ma trận

đường chéo cùng cấp khi và chỉ khi nó là ma trận đường chéo

b)Chứng minh rằng ma trận vuông A cấp n ≥ 2 giao hoán với tất cả ma trận vuông

cùng cấp là ma trận vô hướng, tức là ma trận có dạng aI, trong đó a ∈ K và I là ma

trận đơn vị cấp n

Bài 2.9 Vết của ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của

A và được kí hiệu là tr(A) Chứng minh rằng nếu A, B là hai ma trận vuông cùng

cấp thì AB và BA có cùng vết.

Bài 2.10 Tồn tại hay không các ma trận A, B trên trường có đặc số1 bằng 0 thỏamãn đẳng thức AB − BA = I Nếu trường có đặc số khác 0 thì sao?

Bài 2.11 Một ma trận vuông được gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu

ai j = aji (ai j= −aji) với mọi i, j

a) Chứng minh rằng nếu trường cơ sở có đặc số khác 2 thì tập các ma trận đốixứng và tập các ma trận lập thành các không gian con bù nhau trong không gianvéc tơ các ma trận vuông cùng cấp Nếu trường có đặc số 2 thì sao?

b) Chứng tỏ rằng tích của hai ma trận đối xứng (hoặc cùng phản đối xứng) là matrận đối xứng khi và chỉ khi chúng giao hoán với nhau

Bài 2.12 Cho A, B là hai ma trận phản đối xứng cùng cấp Chứng tỏ rằng AB là

phản đối xứng khi và chỉ khi AB = −BA Tìm ví dụ hai ma trận phản đối xứngkhác 0 thỏa mãn điều kiện trên

Bài 2.13 Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh bậc k nếu k ≥ 1 để Ak−16= 0

Bài 2.14 Cho A1, A2, , An là các ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử trên

và dưới đường chéo chính bằng 0 Chứng tỏ rằng A1A2 An= 0

2.2 Ma trận nghịch đảo

Bài 2.15 Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh bậc k thì I + A và I − A là

ma trận khả nghịch Hãy tìm ma trận nghịch đảo (I + A)−1 và (I − A)−1 Áp dụngkết quả trên hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:

1 Cho A là một vành (hoặc một trường) và E = {n ∈ N∗: n1A= 0A} Nếu E = ∅ thì ta nói A có đặc số 0, và nếu

E6= ∅ thì phần tử nhỏ nhất của E được gọi là đặc số của A

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.16 Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB = BA và tồn tại

hai số nguyên dương r, s thỏa mãn Ar= Bs= 0thì ma trận In+ A + B là khả nghịch

Bài 2.17 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n

trong đó ε = cos2πn + i sin2πn

Bài 2.21 Giả sử n ∈ N − {0, 1} và α1, , αn, β ∈ R∗+ sao cho αi≥ β với ∀i ∈ {1, , n}.Giả sử tồn tại nhiều nhất một chỉ số i thuộc {1, , n} sao cho αi= β Kí hiệu matrận A = (ai j)i j∈ Mn(R) xác định bởi

ai j =

(

αi nếu i = j

β nếu i 6= jChứng minh rằng A là ma trận khả nghịch

Bài 2.22 Chứng tỏ rằng ma trận vuông với hệ số nguyên có ma trận nghịch đảo

nguyên khi và chỉ khi định thức của nó bằng ±1

Bài 2.23 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khối A =In B

0 Im

, trong đó In và

Im là các ma trận đơn vị cấp n và cấp m

Bài 2.24 Chứng tỏ rằng ma trận khối A =B D

0 C

, trong đó B,C là các ma trận

vuông, là khả nghịch khi và chỉ khi B,C khả nghịch Khi đó A−1=B−1 −B−1DC−1

0 C−1



Bài 2.25 Cho A là ma trận vuông khả nghịch cấp n, B là ma trận kích thước

n× p, còn C là ma trận kích thước p × n Giả sử ma trận khối R = A B

−C 0

được

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

đưa về ma trận khối R1=A1 B1

0 X

bằng các phép biến đổi sơ cấp trên n dòng đầuhoặc thêm vào dòng có số thứ tự lớn hơn n tích của một trong n dòng đầu tiên với

0 X

bằngcác phép biến đổi sơ cấp trên n dòng đầu hoặc thêm vào dòng có số thứ tự lớnhơn n tích của một trong n dòng đầu tiên với số α nào đó Chứng tỏ rằng khi đó

X= A−1

Bài 2.27 Cho A và B là hai ma trận vuông khả nghịch cùng cấp Chứng tỏ rằng

bốn đẳng thức sau là tương đương với nhau

0 nếu i > jChứng tỏ rằng hai ma trận A và B là nghịch đảo của nhau

Bài 2.29 Giả sử A, B ∈ Mn(K) sao cho B và B − AB−1A khả nghịch Giải hệ phươngtrình sau với ẩn (X ,Y ) ∈ (Mn(K))2

(

AX+ BY = 0

BX+ AY = In

Bài 2.30 Chứng tỏ rằng ∀i, j ∈ 1, 2, , n và i 6= j thì ma trận M = In+ Ei j là ma trậnkhả nghịch Từ đó suy ra rằng ma trận vuông A cấp n giao hoán với mọi ma trận

X vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi A = aIn với a ∈ K

Bài 2.31 Gọi ε1, , εn là tất cả các căn bậc n (n ≥ 1) của đơn vị Kí hiệu A = (ai j)i j

Bài 2.32 Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn I − AB khả nghịch.

Chứng minh rằng I − BA khả nghịch

2.3 Hạng của ma trận

Bài 2.33 a) Chứng tỏ rằng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột không làm

thay đổi hạng của ma trận

b) Chứng tỏ rằng ma trận A ∈ Mm×n(K) có rankA ≤ min (m, n)

Bài 2.34 Chứng minh rằng mỗi ma trận có hạng bằng r có thể viết thành tổng

của r ma trận có hạng bằng 1, nhưng không thể viết thành tổng của ít hơn r matrận như vậy

Bài 2.35 Cho a, b ∈ C và A là ma trận vuông cấp n có dạng

b) rankA = p khi và chỉ khi (C1, ,Cp)độc lập tuyến tính

Bài 2.37 Giả sử A ∈ Mn×p(K), B ∈ Mp×q(K), C ∈ Mq×r(K) sao cho rank(B) = rank(AB).Chứng minh rằng rank(BC) = rank(ABC)

Bài 2.38 Giả sử A ∈ M3×4(R), B ∈ M4×2(R), C ∈ M2×3(R) sao cho

Tính CAB và chứng minh rằng (BCA)2= BCA

Bài 2.39 Giả sử A ∈ M3×2(R) và B ∈ M2×3(R) thỏa mãn

Bài 2.41 Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định Chứng minh rằng

rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}

Bài 2.42 Cho A, B là hai ma trận cùng kích thước Chứng minh rằng

rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B)Tìm ví dụ chứng tỏ rank(A + B) < rank(A) + rank(B); rank(A + B) > rank(A), rank(B) vàrank(A + B) = rank(A) = rank(B)

Bài 2.43 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng

rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.44 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB = 0.

a) Chứng tỏ rằng rank(A) + rank(B) ≤ n Hơn nữa với mọi k thỏa mãn rank(A) ≤ k ≤ n,luôn tìm được ma trận B sao cho rank(A) + rank(B) = k và AB = 0

b) Chứng tỏ rằng nếu n lẻ thì rank(A + At) < n hoặc rank(B + Bt) < n

Bài 2.45 Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông cấp n trên trường có đặc số

khác 2 và thỏa mãn A2= In thì

rank(A + In) + rank(A − In) = n

Bài 2.46 Cho A là ma trận có hạng là r Chứng minh rằng định thức con nằm

trên giao điểm của r dòng độc lập tuyến tính và r cột độc lập tuyến tính của Abao giờ cũng khác 0

Bài 2.47 Chứng minh rằng hạng của ma trận phản đối xứng trên trường có đặc

số khác 2 là một số chẵn

Bài 2.48 a) Chứng minh rằng hạng của ma trận đối xứng được xác định bằng

cấp cao nhất của định thức con chính2 khác 0

b) Chứng minh rằng hạng của ma trận phản đối xứng được xác định bằng cấp

cao nhất của định thức con chính khác 0

Bài 2.49 Cho R =A B

C D

, trong đó A là ma trận vuông khả nghịch cấp n Chứngminh rằng hạng của R bằng n khi và chỉ khi D = CA−1B

Bài 2.50 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ma trận A ∈ Mm×n(K)có hạng

rlà A được viết dưới dạng A = BC, trong đó B ∈ Mm×r(K)có r cột độc lập tuyến tính

và C ∈ Mr×n(K) có r dòng độc lập tuyến tính

Bài 2.51 Cho A là ma trận thực cos hạng bằng r Chứng minh rằng các ma trận

AtAvà AAt cũng có hạng bằng r Trong đó At là ma trận chuyển vị của ma trận A

Bài 2.52 Cho A, B ∈ Mn(R) thỏa mãn AB + A + B = 0 Chứng minh rằng

rankA= rankB

Bài 2.53 Chứng minh rằng nếu ma trận vuông A cấp n có các phần tử trên đường

chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1 hoặc bằng 2012 thì rankA ≥ n − 1

Bài 2.54 Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A cấp n và số thực λ 6= 0 bất

Bài 2.57 Không dùng định lí Cayley-Hamilton chứng tỏ rằng với mọi ma trận

vuông A đều tồn tại đa thức f (x) khác 0 làm nghiệm

Bài 2.59 Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và f , g ∈ K [x] là hai đa thức tùy

ý Chứng tỏ rằng nếu AB = BA thì f (A)g(B) = g(B) f (A)

Bài 2.60 Cho A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên dương Chứng minh

rằng Ak= 0 khi và chỉ khi A2= 0

Bài 2.61 Cho A là ma trận khả nghịch Chứng tỏ rằng tồn tại đa thức f để

A−1= f (A)

Bài 2.62 Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận đường chéo khối diag(A1, , As)với các

ma trận A1, , As vuông và f (x) là một đa thức thì f (A) = diag( f (A1) , , f (As))

Bài 2.63 Hai ma trận vuông A, B cùng cấp được gọi là đồng dạng với nhau nếu

tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A = P−1BP và được kí hiệu là A ≈ B Chứng

tỏ rằng nếu A ≈ B thì với mọi đa thức f (x) ta đều có f (A) ≈ f (B)

Bài 2.64 Cho A là một ô Jordan, tức là

f00(α) 2! · · · f(n−1)(n−1)!(α)

0 f(α) f

0

(α) 1! · · · f(n−2)(n−2)!(α)

0 0 f(α) · · · f(n−3)(n−3)!(α)

đa thức tối tiểu gA là bội chung nhỏ nhất của các đa thức tối tiểu gB và gC

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.66 Chứng tỏ rằng một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi đa thức

tối tiểu của nó có hệ số tự do khác 0

Bài 2.67 a) Cho A là ma trận vuông và f (x) là đa thức tùy ý Chứng minh rằng

f(A)t = f (At) Nói riêng, nếu A đối xứng thì f (A) cũng đối xứng

b) Cho A là ma trận tam giác và f (x) là đa thức tùy ý Chứng minh rằng f (A) cũng

PAP−1=1 0

0 −1

, PBP−1=0 1

Bài 2.73 Chứng minh rằng ∀A, B,C ∈ M2(R) ta đều có

(AB − BA)2012C−C (AB − BA)2012= 0

Bài 2.74 Tồn tại hay không các ma trận A, B,C, D ∈ Mn(R) sao cho

(

AC+ BD = In

CA+ BD = 0

Bài 2.75 Giải hệ phương trình sau với ẩn (X,Y ) ∈ (M2(R))2

Bài 2.77 Chứng tỏ rằng với ∀A ∈ M3C thì A2= 0khi và chỉ khi rankA ≤ 1 và tr (A) = 0

Bài 2.78 Cho A ∈ Mn×p(K)và B ∈ Mq×n(K) Chứng minh rằng ∀X ∈ Mp×q(K), tr (AX B) =

Bài 2.82 Cho A1, , Am là các ma trận vuông cấp n và A1A2 Am= 0 Chứng minhrằng

rank(A1) + · · · + rank (Am) ≤ n(m − 1)

Bài 2.83 Cho A, B là các ma trận thực, vuông cấp n thỏa mãn

AB− 2A − 2B = 0a) Chứng minh rằng AB = BA

b) Với A + B = −In Chứng minh rằng rank (A − In) + rank (B − In) = n

Bài 2.84 Cho A ∈ Mn(R) thỏa mãn aii = 0, ∀i ∈ {1, 2, , n} Chứng minh rằng tồntại các ma trận B,C ∈ Mn(R) sao cho A = BC −CB

Bài 2.85 Cho A, B ∈ Mn(R) thỏa mãn tr (AAt+ BBt) = tr (AB + AtBt) Chứng minh rằng

A= Bt

Bài 2.86 Biết rằng phương trình x2+ ax + b = 0 không có nghiệm thực Chứngminh rằng mọi ma trận X thực, vuông cấp 2n + 1 ta đều có X2+ aX + b 6= 0

Bài 2.87 Cho A là ma trận thực, vuông cấp n có rankA = r ≤ n Chứng minh rằng

có thể viết A thành tổng của r ma trận mà mỗi ma trận đó đều có hạng bằng 1

Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.88 Cho A là ma trận thực, vuông cấp n sao cho A2+ B2= AB Chứng minhrằng nếu ma trận AB − BA khả nghịch thì n chia hết cho 3

Bài 2.89 Cho A1, A2, , An, An+1 là các ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng tồntại n + 1 số x1, x2, , xn, xn+1 không đồng thời bằng 0 để ma trận A = x1A1+ x2A2+

Bài 2.91 Cho A, B ∈ Mn(R) có tính chất với mọi véc tơ cột X ∈ Rn nếu AX = 0 thì

BX= 0 Chứng minh rằng tồn tại ma trận C ∈ Mn(R) sao cho B = CA

Bài 2.92 Cho A ∈ Mn(R) không khả nghịch Chứng minh rằng tồn tại ma trận

Bài 2.95 Giả sử cho ma trận A = ai j
∈ Mn(R) đã cho trước tất cả các phần tử

ai j (i 6= j) Chứng minh rằng có thể thêm vào đường chéo chính số 0 hoặc số 1 để

ma trận A không suy biến

Bài 2.96 Cho ma trận A = ai j
∈ Mn(R) mà các phần tử được cho bởi công thức

0 nếu i > jChứng minh rằng A2= In

Bài 2.97 Cho ma trận A = ai j
∈ Mn(R) với ai j = (−1)n− jCn− ji−1 Chứng minh rằng

Bài 3.3 D = detA, với A = ai j
, trong đó ai j= |i − j| , 1 ≤ i, j ≤ n.

Bài 3.6 a)

1 2 3 · · · n− 2 n − 1 n

2 3 4 · · · n− 1 n n

3 4 5 · · · n n n

. . . . .

n n n · · · n n n

a1 a2 a3 · · · an

−x1 x2 0 · · · 0

0 −x2 x3 · · · 0

. .

0 0 0 · · · xn

, b)

...

Bài 3.7 a)

a1 a2 a3 · · · an

−x1... x2 · · ·

. .

0 0 · · · xn

Bài 3.11 a)