BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

a Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, giải và tìm nghiệm của hệ đó.. Bài 5: Trong không gian ?2ℝ các ma trạn vuông cấp 2, cho tập a Chứng tỏ rằng F là một không gian con của ?2ℝ.. a

Trang 1

-1-

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PT TUYẾN TÍNH

-o0o - Bài 1:

Trang 7

-7-

Bài 23:

Không khai triển, tính định thức:

111

Trang 8

f)

0000

Trang 10

a) Hệ phương trình có vô số nghiệm

b) Hệ phương trình vô nghiệm

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trang 11

a) Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, giải và tìm nghiệm của hệ đó

b) Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm

c) Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm

Trang 12

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ { },u i i1, , 4

Bài 2: Cho V là một K - không gian vectơ Chứng minh rằng:

(a) Nếu 3 vectơ x y z, , V là độc lập tuyến tính thì

, ,

x y yz zx là độc lập tuyến tính

(b) Nếu 3 vectơ x y z, , V là độc lập tuyến tính thì

, ,

x y yz zx có độc lập tuyến tính hay không?

(c ) Xét tính độc lập tuyến tính đối với 3 vectơ của ℝ3:

(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của 4

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F

Bài 4: Trong 4

R , cho tập con

F {x( ,x x x x1 2, ,3 4) /x12x2  x3 x4 0;x1x2}

(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của ℝ4

Bài 5: Trong không gian 𝑀2(ℝ) các ma trạn vuông cấp 2, cho tập

(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của 𝑀2(ℝ)

Bài 6: Trong ℝ4, cho hai tập con

Trang 13

-13-

1 2 3 4 1 2 3 4{ ( , , , ) / 0};

1 2 3 4 1 2 3 4

(a) Chứng tỏ rằng U, V là các không gian con của ℝ4

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của U V Chứng tỏ U  V 4

Bài 7: Trong ℝ4, cho hai hệ vectơ:

{(1,1,1,1);(1,1, 1, 1);(1, 1,1, 1);(1, 1, 1,1)};

{(1,1,0,1);(2,1,3,1);(1,1,0,0);(0,1, 1, 1)}

(a) Chứng tỏ rằng W, U là các cơ sở của ℝ4

(b) Tìm tọa độ của vectơ x(1, 2,1, 2) 4 trong cơ sở W

Bài 8: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con nghiệm của hệ phương trình

Bài 9: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con nghiệm của hệ

phương trình thuần nhất sau:

Bài 11: Trong ℝ - không gian vectơ P x2[ ], cho tập M {x2 x 1;2x1;3}

Trang 14

-14-

(a) Chứng minh rằng M là một cơ sở của P x2[ ]

(b) Tìm tọa độ của vectơ 2

u x  x trong cơ sở này

Bài 12: Trong ℝ3, cho các cơ sở:

{ (1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)};

U  u  u  u  V {v1(2,1, 1); v2 (3, 2,5);v3 (1, 1,1) (a) Tìm tọa độ của vectơ x(2, 4,6) trong cơ sở U

(b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V

(a) Chứng minh rằng W W1, 2 là các không gian con của 4

(b) Tìm cơ sở và số chiều của W W W1, 2, 1W2

(a) Tìm một cơ sỏ và số chiều W

(b) Chứng tỏ rằng không gian con sinh bởi hai vectơ u1 và u2 bằng với không gian con sinh bởi hai vectơ u3 và u4

Trang 15

Gọi E là không gian con của 4sinh bởi hệ { ,u u u u1 2, , }3 4

(a) Tìm một cơ sở và số chiều của E

(b) Tìm một điều kiện cần và đủ để vectơ x( ,x x x x1 2, ,3 4)E

(a) Chứng tỏ F là một không gian con của M2( )

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F

(a) Chứng minh rằng V là một không gian con của n

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của V

Trang 16

(b) Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho 4 vectơ sau:

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B'

(b) Tìm tọa độ của p  4 x đối với cơ sở B, từ đó suy ra tọa độ của p đối với cơ sở B’

Bài 24:

Trong không gian ℝ3 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con

{( , , ) / 0}

F  a b c a b c  

(a) Tìm một cơ sở và số chiều của F

(b) Với giá trị nào của m thì x(2, 2, )m trực giao với không gian con F?

(a) Tìm một cơ sở của W

(b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với W

(a) Chứng minh rằng W là một không gian con của M2( )

(b) Tìm một cơ sở và số chiều của W

Trang 17

(a) Xác định m để V là một cơ sở của 3

(b) Tìm tọa độ của vectơ u(1,0,0) trong cơ sở U

(c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V

(a) Tìm tập nghiệm của hệ phương trình trên

(b) Gọi W là không gian nghiệm của hệ đã cho Với giá trị nào của m thì W có số chiều lớn

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V

(b) Tìm tọa độ của vectơ f x( )2x3 x 5 đối với cơ sở V

là hai cơ sở của ℝ4

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở A sang cơ sở B

(b) Tìm tọa độ của  (2,0, 4,0) đối với cơ sở B

Bài 31:

Trong không gian P x3[ ] các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 3

(a) Chứng minh rằng hai hệ vectơ

Trang 18

là hai cơ sở của P x3[ ]

(b) Hãy tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V

(a) Tìm một cơ sở và số chiều của U V U; ; V

(b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?

Trang 19

-19-

CHÉO HOÁ MA TRẬN

-o0o - Bài 1:

Xác định đa thức đặc trưng f t A( ) của ma trận 2 3

Trang 20

a Xác định đa thức đặc trưng f t A( ) của A

b Xác định các giá trị riêng i của A

c Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng E A( )i

d Xác định một cơ sở S của ℝ2 gồm các véc tơ riêng của A

Bài 8:

Trang 22

-22-

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o -

Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định bởi ( , , )f x y z (xy y, z)

a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f

b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f

Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định bởi

f x y z  x yz yz x y z

Trang 23

-23-

Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định bởi

f x y z t  x  y z t x zt x y z t

Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định bởi

( , , , , )x y z s t (x 2y z 3s 4 , 2t x 5y 4z 5s 5 ,t x 4y 5z s 2 )t

a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của 

b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của 

Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ3[𝑡] → ℝ3[𝑡] xác định bởi ( ( )) f t  f t( )

a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của 

b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của 

a Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của 

b Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của 

Trang 24

-24-

Với a là một số thực nào đó

a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3

b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không?

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	868,57 KB