Bài tập đại số tuyến tính

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Bài tập đại số tuyến tính

§1: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Bài 1: Cho hai không gian véc tơ V và W có cơ sở lần lượt là {1,2,3}, {1,2,3,4} và ánh xạ

tuyến tính f: V→ W xác định bởi:

f(1) = -21 + 52 - 3

f(2) = 41 + 2 - 34

f(3) = 72 + 43

a ) Ma trận của f đối với hai cơ sở đã cho:

A=

b) Cho = 32 + 3 Tìm ảnh f()

f() = f(32 + 3) = 3f(2) + f(3) = 3(41 + 2 - 34) + (72 + 43)

= 121 + 102 + 43 - 94

Bài 2: Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 → R2 xác địng kki: f(1) = (-2, 3), f(2) = (0, 5),

f(3) = (7, -1), trong đó {1,2,3} là cơ sở chính tắc của R3

a ) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc của hai không gian

Ta có: f(1) = (-2, 3) = -21 + 32

f(2) = (0, 5) = 52

f(3) = (7, -1) = 71 - 12

=> A = là ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc của hai không gian

b ) = (5, -1, 1) => f() = ?

giả sử (a1, a2, a3 ) R3

f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)

= a1(-21 + 32 ) + a2(52 ) + a3(71 - 2) =(-2a1 + 7a3, 3a1 + 5a2 – a3)

=> f() = f(5, -1, 1) = (-3, 9)

Bài 3:

Cho ánh xạ f: R3 → R2

f(a1, a2, a3) = (a1+ a3, -3a3)

a ) Tìm ma trận của f đối với hai cơ sở chính tắc () và (ξ) của hai không gian

f(1) = f(1, 0, 0) = (1, 0) = 1

f(2) = f(0, 1, 0) = (0, 0) =

f(3) = f(0, 0, 1) = (1, -3) = 1 - 32

=> A =

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở (’) gồm các véctơ 1 = (1, 1, 0), 2 = (0, 1, 1), 3 = (1, 0, 1) của R3 và cơ sở chính tắc (ξ) của R2

f(1) = f(1, 1, 0) = (1, 0) = 1

f(2) = f(0, 1, 1) = (1, -3) = 1 - 32

f(3) = f(1, 0, 1) = (2, -3) = 1 - 32

=> A =

Bài 4:

Cho f: R3 → R3 có ma trận

A = xác định ánh xạ tuyến tính f và tìm f(3, -2, 0) đối với cơ sở chính tắc

Giải:

Từ ma trận A ta có: f(1) = 1 + 3

f(2) = 1 + 2 +23

f(3) = -22 + 3

g/s: (a1, a2, a3 ) R3

f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)

= a1(1 + 3 ) + a2(1 + 2 +23) + a3(-22 + 3) = (a1 + 2a2, a2- 2a3, a1 + 2a2 – a3)

=> f(3, -2, 0) = ( -1, -2, -1)

Bài 5:

A =là ma trận của axtt f: V → W với cơ sở {1,2,3} V,

Giải:

Từ ma trận A ta có: f(1) = 31

f(2) = - 1 + 42

f(3) = 51 + 2

g/s: (a1, a2, a3 ) V

=> f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)

= a1(31 ) + a2(- 1 + 42) + a3(51 + 2) = (3a1 – a2 + 5a3)1 + (4a2 + a3)2

=> f( -1, 2, 3) = 101 + 112

Vậy tọa độ của f() = (10, 11)

Bài 7:

§2: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

Bài 8:

A=

a, A+B=

A+B - C=

b, 2A – 7B

2A = =

7B = 7=

c, 3A+5B – 2C

3A = 3 =

5B = 5

2C =2 =

 3A+5B – 2C =

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Nếu A là mt (m,m) thì B là mt (n,m) thì A+ tB xác định và tA – B xác định

Bài 12:

A= , B=

f(A) = , g(B) =

2g = 2 =

Bài 13:

a,

=> =

b,

=

=

c,

=

d, (a1,a2,a3,a4

= (a1x1 a2x2 a3x3 a4x4)

Bài 14:

A = ,

=

Bài 15:

Bài 16:

A =

Tìm mt X sao cho: AX = I

Vì mt I là mt đơn vị nên I là một mt vuông mà mt A có kiểu (2,3) Nếu theo giả thiết : AX = I => I có dạng (2,2) => X có dạng (3,2) Vậy có vô số mt X có dạng (3,2) : X =

Bài 17:

Bài 19: