Bài tập đại số tuyến tính

Việc sắp xếp thứ tự các bài tập cũng được cân nhắc một cách kĩ lưỡng: từ dễ đến khó, từ những bài tập củng cố đến những bài tập đào sâu kiến thức rồi đến những bài tập rèn luyện tư duy s

N G U Y Ễ N D U Y T H U Ậ N

TS NGUYỄN DUY THUẬN

B À I T Ậ P

ĐẠI SÔ TUYẾN TÍNH

(Sách dùng cho các trường Cao đẳng và Đại học)

DẠI HỌC THAI NGUYÊN TRUNG TÂMHỌC LIÊU

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

M ụ c lục

Trang

Lòi nói đầu 5

Kí hiệu 7 Chương I ĐỊNH THỨC 11

Chương li KHÔNG GIAN VECTƠ 42

§1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản 42

§2 Không gian con - Không gian thương 46

§3 Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính 52

§4 Cơ sở của không gian vectơ 58

§5 Số chiều của không gian vectơ 62

§6 Toa độ của một vectơ 67

§7 Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận 73

Chướng IM ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 83

§1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Sự xác định một ánh xạ tuyến tính 83

§2 Ảnh, hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính 88

§3 Các phép toán trẽn các ánh xạ tuyến tính 91

§4 Không gian đối ngẫu 99

Chương IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH 101

§1 Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp Gauss 101

§2 Điều kiện để hệ phương-trình tuyến tinh có nghiệm 108

§3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 118

Chương V MA TRẬN 125

§1 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính 125

§2 Các phép toán trên các ma trận 130

§3 Đại số cấc ma trận vuông cấp n Mat„(K) 140

§4 Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở

-Ma trận đồng dạng 148

§5 Vectơ riêng - Giá trị riêng 151

§6 Chéo hoa ma trận 158

Chương VI DẠNG SONG TUYÊN TÍNH - DẠNG TOÀN PHƯƠNG 165

§1 Dạng tuyến tinh và dạng song tuyến tính 165

§2 Dạng toàn phương 172

§3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 176

§4 Không gian vectơ ơclit 178

§5 Sơ lược về không gian unita 192

Lài giải - hướng dẫn - trả lời 195

Lòi nói đ ầ u

Trong các môn toán ở truồng đại học thì Đại số tuyến tính không phải

là môn học khó nhất Tuy vậy, đối vói sinh viên thì nó cũng là một môn khó

vì thường sinh viên được học môn này ở năm thứ nhất, khi mà họ vừa mới bưóc chân từ truồng trung học vào trường đại học, phải bắt đầu làm quen vói những môn học mới lạ với khối lượng kiến thức đồ sộ và vói những phương pháp tính toán và tư duy hoàn toàn mới mẻ Họ không những phải làm những phép tính cồng kềnh, với những phường pháp tính toán đòi hỏi nhiều kĩ thuật mà còn phải tập luyện một phương pháp tư duy chặt chẽ và tinh tế, một phương pháp học tập, nghiên cứu một cách khoa học và sáng tạo Những cuốn sách bài tập tốt sẽ giúp đỡ họ rất nhiều để vượt qua những khó khăn trong học tập, trong việc tiếp nhận, đào sâu, củng cố kiến thức và trong việc rèn luyện óc tư duy sáng tạo của họ

Mục tiêu biên soạn cuốn sách này là như thê Nội dung cuốn sách này được biên soạn sát vối nội dung kiến thức về Đại số tuyên tính mà sinh viên được học ở các trường đại học và cao đẳng hiện nay, đặc biệt là các trưòng đại học và cao đẳng sư phạm

Trong cuốn sách có 520 bài tập đáp ứng tất cả các nội dung về Đại số tuyến tính Các bài tập rất đa dạng, bao gồm đủ các thế loại: có những bài tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và cũng có nhiều bài có tính lí thuyết giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện tư duy sáng tạo

Việc sắp xếp thứ tự các bài tập cũng được cân nhắc một cách kĩ lưỡng:

từ dễ đến khó, từ những bài tập củng cố đến những bài tập đào sâu kiến thức rồi đến những bài tập rèn luyện tư duy sáng tạo, rất thuận tiện cho việc sử dụng của nhiều đối tượng sinh viên

Trong sô các bài tập có nhiêu bài tập nâng cao nhằm giúp các sinh viên có khả năng có thể có một tư liệu học tập tốt

Đối với sinh viên, cuốn sách này có thể giúp các bạn từng bưốc nâng cao trình độ của mình

Đối với các thầy cô giáo, cuốn sách này có thể là một tư liệu tốt giúp các bạn chuẩn bị bài giảng Các bạn có thể dùng nó để thiết kế những bài tập lổn và cũng có thể khai thác ỏ đây những đề tài luận văn tốt nghiệp

Phần "Lời giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa ra những huống dẫn

bổ ích giúp bạn đọc tìm ra phương hướng giải quyết bài toán, đồng thòi

có nhiều phân tích giúp bạn đọc trau dồi được kinh nghiệm, biết cách suy nghĩ để vận dụng kiến thức và phát triển khả năng tư duy Đối vối những bài tập khó tác giả có đưa ra những phương pháp giải cùng với những lí giải giúp bạn đọc hiểu rằng cần suy nghĩ như thế nào để đưa ra cách giải ấy

Cuối cùng xin lưu ý rằng trong cuốn sách này chỉ xét không gian vectơ trên các trường số Chữ K dùng để kí hiệu chung cho trường số hữu tỉ Q, truồng số thực R và truồng số phức c

Tác giả hi vọng rằng cuốn sách thực sự hữu ích đối vối một đối tượng rộng lớn các bạn đọc

Tuy đã có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, song không sao tránh được mọi sai sót Rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn

TÁC GIẢ

Dấu của phép thế ơ Tổng a, + a2 + + an Tổng các số a,, vối j thuộc tập chỉ số J Tích a,a2 an

Tích các thừa soa,, vối j thuộc tập chỉ số J

Ma trận A có m dòng, n cột, với các thành phần ở dòng thứ i, cột thứ j

Ma trận vuông cấp n Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các thành phần thuộc trường K

Ma trận chuyển vị của ma trận A

Ma trận nghịch đảo của ma trận A Định thức của ma trận A

Ma trận đơn vị Định thức con bù của thành phần a,j trong ma trận vuông (a,j)

Phần bù đại số của thành phần a„

Tổng của hai ma trận A và B Tích của hai ma trận A và B Vectó, là một phần tử của không gian vectđ Vectơ đối của ã

Vectơ không

Hệ vectơ gồm các vectơ ã,, ă 2 ã Hạng của hệ vectơ A

Cơ sỏ (é) của không gian vectd

Số chiều của K - không gian vectơ V Anh xạ tuyên tính từ không gian V đến không gian w

Anh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f Ánh của không gian V hay ảnh của ánh xạ tuyên tính f

Anh ngược của tập Y "

Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến w Tông của hai ánh xạ tuyến tính f và g Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g Tích vô hướng của hai vectơ

ã trực giao vói p Không gian H trực giao vài không gian G

Chuẩn của ã

Hình chiếu của ã lên không gian w Môđun của số phức z

Số phức liên hợp của số phức z Chứng minh điều kiện cần

Chứng minh điều kiện đủ

Chương Ì

Đ Ị N H T H Ứ C

§1 PHÉP THÊ 1.1 Định nghĩa phép thế

• Cho tập X n = li, 2, ni Một song ánh or x„ ->X n được gọi là một phép thế Nó được biểu diễn như sau:

(1)

Ì 2 3 n

{cs(l) ơ(2) ơ(3) ơ(n)J Tập hợp các phép thê trên tập X n được kí hiệu bởi s„ và gồm nỉ phần tử

• Một phép thế T trên tập X m (n > 1), được gọi là một chuyển trí hai phần tử i, j thuộc X n nếu ĩ(i) = j, ĩ(j) = ivà ĩ(k) = k, với mọi k e x„ k * ì, k *ị

Nó còn được kí hiệu bởi (í, j)

• Phép thể p trẽn tập x„ (n > 1), được gọi là một chu trình (hay một vòng xích) r phần tử, nếu nó có dạng:

p =

nói cách khác:

pd,) = i 2 , pti-ỷ = í* pdr-n = i„ (XỤ = i„ p(ij) = ij với mọi j e li, 2, ri

Khi đó phép thế này còn được kí hiệu bởi (i,, i2, ir_ , , ir)

Mỗi sối,, i2, , i,-1, ir được gọi là một phần tử của vòng xích

Hai vòng xích được gọi là độc lập nếu chúng không có phần tử chung

Ta quy ước gọi phép thế đồng nhất là vòng xích Ì phần tử

Một chuyển trí là một vòng xích 2 phần tử

Ví dụ: 1) p

phần tử,

'1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,1 2 7 5 3 4 6 8 9 là vòng xích 5

ơđược gọi là phép thếlẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế

Ta gán cho mỗi phép thế chẩn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lè một giá trị bằng -1

Giá trị này của phép thế ơ được gọi là dấu của G và được kí hiệu bởi sgn(ơ)

Trong các bài tập dưới đây ta viết gọn

ơ(X„) = <ơ(l), ơ(2), ,o(n)>;

1 2 3 4 '

1 4 2 3 , chẳng hạn ơ : được viết gọn là ơ(X4) = < Ì, 4, 2 3 >

1 Hãy biểu diễn các phép thế X, n, ơ sau đây đuôi dạng (1), biết rằng: a) \(X7) = < Ì, 3, 5, 6, 4, 7, 2 >;

' Ì 2 3 4 5Ì

4 1 5 2 3; (3, 5)(1, 4, 2)

Hãy chứng minh rằng mỗi phép thế trên tập x„ đều là tích của nhũng vòng xích độc lập

7 Hãy phân tích các phép thế trong bài tập Ì thành tích của những vòng xích độc lập

8 Chứng minh rằng mọi phép thế đều phân tích được thành tích của những chuyển trí

9 Tính số nghịch thế của các phép thế X, m ơ trong bài tập 1 Phân tích

mỗi phép thế thành tích của những chuyển trí

10 Tính số nghịch thế của các phép thế trong bài tập 2 Kiểm tra các đẳng thức:

sgn(X(i) = sgn(X)sgn(n), sgn(A-ơ) = sgn(A.)sgn(ơ)

sgn(^ơ) = sgn(X)sgn(n)sgn(ơ)

l i Tính số nghịch thế của phép thế ơ biết rằng ơ(X„) = (n, n - Ì, n - 2, 2, 1)

12 Xác định dấu của các phép thế X, ịi, p, ơ, biết rằng chúng được biểu

diễn bởi những vòng xích như sau:

được gọi là một ma trận kiểu (m, ri)

Mỗi số (ly được gọi là một thành phần của ma trận Nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j

Ta thuồng kí hiệu ma trận bôi các chữ in hoa A, B,

Có thê viết ma trận (1) một cách đơn giản bởi

A = (aij)(m.n, hoặc A = (a;j)

Nếu m = n thì ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n và viết là

D = X sgn(a)alơ(1)a2(,(2) aic,(i) an„(„)

là định thức của ma trận A và kí hiệu bởi

aii ai2 au a„

a„, a_, a_, a

(2)

(3)

hay |A|, /lay det(A)

Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi ày là một thành phần, các thành phần au, ai2, , aintạo thành dòng thứ i, các thành phần a,j, a2j , a „ j tạo thành cột thứ j của định thức

Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A| là một định thức cấp n

Tính chất 1 Nếu định thức

mà mọi thành phần ở dòng thứ ì đều có dạng as = ajj + a-j thì

an • V a,„ an a12 ••aU" •• am

D = ai, aa- ar •a'm + a» a*2- •a i • •• aL

an2 • • a„n an a„2" • Ky TínA c/ỉấí 2 ATếu mọi thành phần ở dòng thứ í của định thức có thừa

số chung c thì có thể đặt c ra ngoài dấu định thức

Tính chất 3 Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu

Tính chất 4 Nếu định thức có hai dòng giống nhau thì định thức ấy bằng 0

Tính chất 5 Nếu định thức có hai dòng mà các thành phần (cùng cột), tương ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0

Tính chất 6 Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một sốc rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới bằng định thức đã cho

Tính chất 7 Với 'A là ma trận chuyển vị của ma trận A ta có:

16 Xác định ị, k để mỗi tích sau là một hạng tử của một định thức cấp 5:

23 Cho D là định thức của ma trận vuông A = (a^,, Trong mỗi trường hợp sau đây định thức thay đổi như thế nào nếu:

a) Chuyển dòng thứ nhất thành dòng cuối cùng?

b) Chuyển dòng thứ i thành dòng thứ nhất?

c) Chuyển dòng thứ i thành dòng cuối cùng; tiếp tục chuyển cột thứ ị

của định thức vừa được thành cột cuối cùng?

d) Nhân dòng thứ i với số c rồi chuyển nó thành dòng thứ k?

24 Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta cộng các thành phần của dòng thứ i vào các thành phần cùng cột của dòng thứ i - Ì, với mọi i e {2, 3, n} (n là cấp của định thức)

25 Chứng minh rằng định thức không đổi nếu ta lấy các thành phần của

cột thứ ị trừ đi các thành phần cùng dòng của cột thứ j + Ì, vối mọi

j 6 {Ì, 2, 3, ri - 1} (n là cấp của định thức)

26 Trong định thức cấp n viết dưối dạng (3), đường chéo có hai đầu mút

là an và a„„ được gọi là đường chéo chính, đưòng chéo còn lại gọi là đường chéo phụ

a) Định thức thay đổi như thế nào nếu ta thay mỗi thành phần của định thức bởi thành phần đối xứng với nó qua đường chéo chính? b) Định thức thay đôi như thế nào nếu ta thay mỗi thành phần của định thức bởi thành phần đối xứng vối nó qua đường chéo phụ?

27 Chứng minh rằng:

b + c c + a a + b a b c

b, +c, c, +a, a,+b, = 2 a C1

b2 +c2 c2 + a2 a2 +b2 a2 \ C2

b

c

d a+b b+c c+d

2) Nếu xoa đì r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành một định thức kí hiệu bởi Mj"j và gọi là định thức con bù của định thức Mị-ị

3)

< i r

-được gọi là phần bù đại số của M;'

Chú ý Mỗi thành phần ày của một định thức D là một định thức con

cấp một của D Đê đơn giản cách viết, định thức con bù và phần bù đại số của ày được kí hiệu lần lượt bởi Mij và Áy

Ví dụ: Cho định thức

8 3 5 -1

D 2 0 - 2

0 4 Ì -6 Ì 0

Nếu chọn dòng thứ ba, cột thứ hai thì a32 = 4, là một định thức con cấp một của D,

là định thức con bù của a3

8 5 - 1 M32 = 2 -2 9

-6 0 7

A3 2= ( - l )3 4 1Y±32 = (-•Ì)3*2 là phần bù đại số của

8 5 - 1

2 - 2 9 -6 0 7 Nếu chọn hai dòng: thứ nhất và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:

là một định thức con cấp hai của D;

là định thức con bù của M " ;

2 9 -6 7 là phần bù đại số của M " 3.2 Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột

• Cho định thức D cấp n có các thành phần là dự Với mỗi ie li, 2, , ni,

aiẠ hl + + aiẠ kj + + a,„At„ = 0 nếu k *i

(viết gọn là: ^a^A^ = ớ, nếu k *i)

Ví dụ: Tính định thức:

2 5 Ì l)= Ì 3 8

4 7 9

GIAI Khai triển định thức theo dòng thứ nhất ta có:

D = 2 An + 5A12 + 1A13

3 8

7 9 Nhưng A ^ C - l )1* : 3.9 -7.8 = 27 -56 = -29,

3.3 Định lí Laplace

Định lí Laplace Nếu trong định thức D đã chọn r dòng cố định ít, ỈỊ, , i„ MỊ, MỊ, , M S là tất cả các định thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A,,A 2 , , A s là những phần bù đại số tương ứng thì

GIAI Chọn dòng thứ nhất và dòng thứ ba Hai dòng này cho ta 6 định thức cấp hai Để cho đơn giản ta viết chúng là:

b) Chỉ ra các định thức con cấp hai xác định bởi hai dòng đầu c) Chỉ ra định thức con bù của mỗi định thức con nói trong câu b) d) Tính phần bù đại số của mỗi đinh thức con nói trong câu b)

32 Cho định thức:

b) Chỉ ra các định thức con cấp hai xác định bởi dòng đầu và dòng thứ ba

c) Chỉ ra định thức con bù của mỗi định thức con nói trong câu b) d) Tính phần bù đại số của mỗi định thức con nói trong câu b)

• Tính các định thức từ bài 33 đến bài 40 bằng cách khai triển theo dòng hoặc cột:

4 -3 2 - 1 0 -5 4 -3 2 - 1

2 3 - 5 -3 5 9

5 - 9 6

, trong đó u = cos —1 + i sin —

3 3

2 2

c + a c + a

L[sin(a - c) + sin(c - b) + sin(b - a)]

b)

cos(a - b) cos(b - c) cos(c - a)

cos(a + b) cos(b + c) cos(c + a)

sin(a + b) sin(b + c) sin(c + a)

2sin(a - b)sin(c - b)sin(c - a)

-4 -8 7-k -4 -4 1-k

= 0

• Tính các định thức từ bài 55 đến bài 64 bằng cách đưa về dạng tam giác:

2 3 7 lũ -10 47

Ũ -1 -5 7 -21 20

65 Biết rằng 91, 104, 117 chia hết cho 13 Hãy tính các định thức:

70

42 5 31 -32 -19 9 45 37

37 - l i 0 -59

25 13 -75 1

(c + 1)2 (c-1)2

dị] được gọi là hệ sô của ấn Xj, bị được gọi là hạng tử tự do

2) Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số(c h Ca, , Cj, , cj thuộc trường

K sao cho khi thay Xj = Cj thì mọi đắng thức trong (1) đều là những đẳng thức số

3) Nếu hệ (1) có m = n và định thức

thì nó được gọi là hệ Cramer Định thức D được gọi là định thức của hệ phương trình

Với mỗi j, trong định thức D ta thay cột thứ j bởi cột gồm các hạng tử

tự do b h b 2 , , b„ ta được định thức:

a.1 al2 b, •••ai„

a„ aa h, ato

a*2" b„ ,,am (cột thứ j)

Công thức nghiệm:

D, ,

Xi = —-, vời moi j 6 (1,2, nỉ

- 6x, - 2x3 + Xj = -6 3x1 +2x2 -4x3 +3x^ =6 -2x, + 7x2 + 3x3 - 5x4 = 10 6x, +x2 - x3 +7x4 =0

2xt + x2 + 3x3 = 4

2x2 + x3 + 3x4 = -20

2x3 + x4 + 3x5 = -3 2x + X, =5

hai phần tử của V, và phép toán thứ hai gọi là phép nhân một phần tử của

V vối một số thuộc trường K

Tập hợp V cùng vối hai phép toán này được gọi là một không gian vectơ trên trường K (hay một K - không gian vectơ) nếu các điều kiện sau

được thoa mãn đối vối mọi ã, (3, ỳ e V và mọi r s le K:

1) (ã + P) + ỹ = ă + (P + ỹ);

2)ãt + p = p + ă;

3) có một phần tử õ s V thoa mãn điều kiện: ã + õ = ã;

4) vái mỗi á s V có một phần tử, kí hiệu bói -ã, cũng thuộc V thoa

ã e V được gọi là một vectơ, õ được gọi là vectơ không, - ã được gọi

là vectơ đối của d