Chương 1Không gian vectơ Phương pháp xác định không gian con Để xác định tập hợp con W có là không gian con của không gian vectơ V hay không, ta thực hiện như sau: • Bước 1: Xét xem vect
Trang 1Chương 1
Không gian vectơ
Phương pháp xác định không gian con
Để xác định tập hợp con W có là không gian con của không gian vectơ
V hay không, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Xét xem vectơ 0 có thuộc W hay không? Nếu 0 /∈ W thì W không phải là không gian con của V Ngược lại, ta tiến hành bước 2
• Bước 2: Lấy u, v ∈ W Từ đó dựa vào tính chất của W để suy ra tính chất của u, v Sau đó kiểm tra u + v và λu(λ ∈ R) có thỏa tính chất của
W hay không Nếu u + v và λu thỏa tính chất của W thì ta kết luận W
là không gian con của V Ngược lại, ta cần chỉ ra một ví dụ cụ thể của
u, v ∈ W sao cho u + v /∈ W hay một ví dụ cụ thể của u ∈ W, λ ∈ R sao cho λu /∈ W
Ví dụ 1.1 Kiểm tra tập hợp W = {(x, y, z) ∈ R3|x = y + z} có là không gian con của không gian R3 hay không?
Giải
• Vì (0, 0, 0) ∈ W nên W 6= ∅
• Lấy u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ W Ta có: x1 = y1 + z1 và
x2 = y2 + z2 Vì u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) và x1 + x2 = (y1+ z1) + (y2+ z2) = (y1+ y2) + (z1+ z2) nên u + v ∈ W
Trang 2• Với λ ∈ R, ta có λu = (λx1, λy1, λz1) và λx1 = λ(y1+ z1) = λy1+ λz1 nên λu ∈ W
Vậy W là không gian con của R3
Ví dụ 1.2 Kiểm tra tập hợp W = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 1} có là không gian con của không gian R3 hay không?
Giải Vì (0, 0, 0) /∈ W nên W không phải là không gian con của R3
Ví dụ 1.3 Kiểm tra tập hợp W = {(x, y, z ∈ R3|xy = z)} có là không gian con của không gian R3 hay không?
Giải Chọn u = (1, 1, 1) ∈ W và λ = 2 Khi đó λu = 2u = (2, 2, 2) /∈ W Suy ra W không phải là không gian con của R3
Bài tập
Bài 1 Trong các tập hợp W sau đây thì tập hợp nào là không gian con của không gian R3?
a) W = {(x1, x2, x3)|x1 ≥ 0}
b) W = {(x1, x2, x3)|x1+ 2x2 = 3x3}
c) W = {(x1, x2, x3)|x1+ 3x2 = 1}
d) W = {(x1, x2, x3)|x1 = x2 = x3}
e) W = {(x1, x2, x3)|x21 = x2x3}
f) W = {(x1, x2, x3)|x1x2 = 0}
g W = {(a, 0, 2a)|a ∈ R}
h W = {(a, −b, b + 1)|a, b ∈ R}
i W = {(a − b, a, a + b)|a, b ∈ R}
j W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R}
Trang 31.2 Độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính
Định lý 1.4 Cho u1, , um ∈ Rn Hệ vectơ {u1, , um} độc lập tuyến tính
nếu và chỉ nếu hạng của A =
u1
u2
un
bằng m
Hệ quả 1.5 Cho u1, , um ∈ Rn Hệ vectơ {u1, , um} phụ thuộc tuyến
tính nếu và chỉ nếu hạng của A =
u1
u2
un
khác m
Chú ý 1.6 Trong trường hợp m = n, đặt A =
u1
u2
un
• Hệ vectơ {u1, , un} độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu det(A) 6= 0
• Hệ vectơ {u1, , un} phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu det(A) = 0
Ví dụ 1.7 Xác định tập hợp các vectơ u1 = (1, 2, 3, 1), u2 = (1, 1, 2, 3), u3 =
(1, 3, 1, 2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải A =
1 2 3 1
1 1 2 3
1 3 1 2
d 2 →d 2 −d 1
−−−−−−→
d 3 →d 3 −d 1
1 2 3 1
0 −1 −1 2
0 1 −2 1
d 3 →d 3 +d 2
−−−−−−→
1 2 3 1
0 −1 −1 2
0 0 −3 3
Do đó r(A) = 3 Suy ra {u1, u2, u3} độc lập tuyến tính
Ví dụ 1.8 Xác định tập hợp các vectơ u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, −2, 1), u3 =
(−1, 2, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
Giải Xét A =
1 1 1
1 −2 1
−1 2 −1
Vì det(A) = 0 nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} phụ thuộc tuyến tính
Trang 4Ví dụ 1.9 Cho các vectơ v1 = (2, 1, 1, 1); v2 = (2, 1, −1, 1); v3 = (0, 0, 0, m).
a Tìm m để v1, v2, v3 độc lập tuyến tính
b Tìm m để v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính
Giải A =
2 1 1 1
2 1 −1 1
0 0 0 m
d 2 →d2−d1
−−−−−−→
2 1 1 1
0 0 −2 0
0 0 0 m
a v1, v2, v3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r(A) = 3 khi và chỉ khi
m 6= 0
b v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r(A) 6= 3 khi và chỉ khi
m = 0
Bài tập
Bài 2 Các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
a) {u1 = (1, −2, 3), u2 = (−2, 3, 4), u3 = (−1, 1, 7)}
b) {u1 = (1, −2, 3), v2 = (−2, 3, 4), u3 = (−1, 1, 1)}
c) {u1 = (2, 1, 3, 8), u2 = (1, 0, 1, 0), u3 = (0, 5, 0, 7), u4 = (0, 4, −1, −1)} d) {u1 = (3, 1, 5, 7), u2 = (4, −1, −2, 2), u3 = (10, 1, 8, 17), u4 = (13, 2, 13, 24)} e) {u1 = (1, 1, 5, 7), u2 = (1, −1, −2, 2), u3 = (2, 2, 10, 17), u4 = (3, 3, 15, 24)} f) {u1 = (1, 1, 2, 2), u2 = (1, 2, 1, 0), u3 = (3, 1, 0, 0)}
g) {u1 = (1, 1, 2, 1), u2 = (2, 3, 1, 0), u3 = (0, −1, 3, 2)}
h) {u1 = (1, 2, 3), u2 = (0, 1, 0), u3 = (1, 3, 3)}
Bài 3 Cho các vectơ v1 = (2, 1, 1, 1); v2 = (2, 1, −1, 1); v3 = (10, 5, −1, m) Với giá trị nào của m thì v1, v2, v3 độc lập tuyến tính?
Bài 4 Cho các vectơ v1 = (−2, 1, 3); v2 = (1, −4, 6); v3 = (2m, 2, m + 10) Với giá trị nào của m thì v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính?
Trang 5Bài 5 Xác định m để hệ vectơ {u = (1, 1, 1), v = (m, 1, 1), w = (2, m, −1)} độc lập tuyến tính
Bài 6 Xác định m để hệ vectơ {u = (m, −1, −1), v = (−1, m, −1), w = (−1, −1, m)} phụ thuộc tuyến tính
Để kiểm tra vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, , um ta thực hiện như sau: Xét phương trình u = λ1u1 + · · · + λmum với các ẩn là
λ1, , λm Phương trình này tương đương với một hệ phương trình tuyến tính m ẩn
• Nếu phương trình có nghiệm thì u là tổ hợp tuyến tính của u1, , um
• Nếu phương trình vô nghiệm thì u không là tổ hợp tuyến tính của
u1, , um
Ví dụ 1.10 Kiểm tra vectơ u = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (2, 1, 1), u2 = (−1, 1, −1), u3 = (1, 1, −2) hay không?
Giải
u = λ1u1+ λ2u2+ λ3u3
⇔ (1, 4, −3) = λ1(2, 1, 1) + λ2(−1, 1, −1) + λ3(1, 1, −2)
⇔ (1, 4, −3) = (2λ1− λ2+ λ3, λ1+ λ2+ λ3, λ1− λ2 − 2λ3)
Từ đây ta có hệ phương trình
2λ1− λ2+ λ3 = 1
λ1+ λ2 + λ3 = 4
λ1− λ2− 2λ3 = −3 Nghiệm của hệ trên là λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 1 Do đó u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3
Ví dụ 1.11 Cho các vectơ v = (0, m, 0); v1 = (1, 2, 3); v2 = (1, 5, 2) Với giá trị nào của m thì v là tổ hợp tuyến tính của v1 và v2?
Giải
v = λ1v1+ λ2v2
⇔ (0, m, 0) = λ1(1, 2, 3) + λ2(1, 5, 2)
⇔ (0, m, 0) = (λ1 + λ2, 2λ1+ 5λ2, 3λ1+ 2λ2)
Trang 6Từ đó ta có hệ
λ1 + λ2 = 0 2λ1 + 5λ2 = m (∗) 3λ1 + 2λ2 = 0
˜
A =
1 1 0
2 5 m
3 2 0
d 2 →d 2 −2d 1
−−−−−−−→
d 3 →d 3 −3d 1
1 1 0
0 3 m
0 −1 0
d 2 ↔d 3
−−−−→
1 1 0
0 −1 0
0 3 m
d 3 →d 3 +3d 2
−−−−−−−→
1 1 0
0 −1 0
0 0 m
v là tổ hợp tuyến tính của v1 và v2 khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm khi
và chỉ khi r(A) = r( ˜A) với A =
1 1
2 5
3 2
khi và chỉ khi m = 0
Bài tập
Bài 7 Cho vectơ x = (3, 5, 0), y = (7, 12, 1), u = (1, 2, 3), v = (2, 3, −4) Hỏi
a) x có là tổ hợp tuyến tính của u, v hay không?
b) y có là tổ hợp tuyến tính của u, v hay không?
Bài 8 Cho vectơ x = (1, −2, 1, 0), u = (2, 1, 0, −3), v = (4, −3, 2, 1) Hỏi x
có là tổ hợp tuyến tính của u, v hay không?
Bài 9 Cho các vectơ v = (2, m, 1); v1 = (0, 2, 3); v2 = (1, 5, 2) Với giá trị
nào của m thì v là tổ hợp tuyến tính của v1 và v2?
Bài 10 Cho vectơ x = (1, 3, 5), u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7) và w = (5, 6, k)
Xác định k để x là tổ hợp tuyến tính của hệ u, v, w
Bài 11 Xác định m để vectơ (1, m, 1) là tổ hợp tuyến tính của
{u = (1, 1, 0), v = (2, 1, 1), w = (3, 2, 1)}
Bài 12 Tìm điều kiện để vectơ (x1, x2, x3) là một tổ hợp tuyến tính của
{u = (1, 2, 3), v = (2, 4, 5), w = (3, 6, 7)}
Bài 13 Tìm điều kiện để vectơ (x1, x2, x3) là một tổ hợp tuyến tính của
{u = (1, 0, 2), v = (1, 2, 8), w = (2, 3, 13)}
Trang 71.4 Cơ sở và số chiều
Để kiểm tra tập hợp con B của Rn có là cơ sở của Rn hay không, ta thực hiện như sau:
• Nếu số phần tử của B khác n thì B không phải là cơ sở của Rn Ngược lại, B có số phần tử bằng n Ta kiểm tra xem B có độc lập tuyến tính hay không
• Nếu B độc lập tuyến tính thì B là cơ sở của Rn Ngược lại, B không phải là cơ sở của Rn vì B phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 1.12 Kiểm tra B = {(1, 1, 1), (1, −2, 1), (1, 2, −1)} có là cơ sở của R3 hay không?
Giải
• B có số phần tử bằng số chiều của R3
• Xét A =
1 1 1
1 −2 1
1 2 −1
Vì det(A) = 6 6= 0 nên B độc lập tuyến tính
Vậy B là cơ sở của R3
Bài tập
Bài 14 Tập hợp nào sau đây là cơ sở của R2?
a) S = {(1, 1), (2, 2)}
b) S = {(1, 1), (2, 1)}
c) S = {(1, 2), (−2, −4)}
d) S = {(−1, −1), (2, 2)}
Bài 15 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3?
a) B = {u1 = (1, 0, −1), u2 = (2, 3, 1), u3 = (1, 1, 0)}
Trang 8b) B = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1)}.
c) B = {u1 = (1, 1, −1), u2 = (1, 0, 2), u3 = (1, 1, 0)}
d) B = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (0, 1, 1), u3 = (2, 2, 4)}
Bài 16 Kiểm tra tập hợp nào sau đây là cơ sở của R3?
a) B = {u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (1, 1, 2)}
b) B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)}
c) B = {u1 = (−1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (1, 5, 3)}
Bài 17 Trong không gian R3cho các vectơ u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 2, −2), u3 = (0, −3, 2) và đặt B = {u1, u2, u3} Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3 Bài 18 Trong không gian R3 cho các vectơ u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 2) và đặt B = {u1, u2, u3} Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3 Bài 19 Xác định k để hệ {v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, −1, k)} tạo thành một cơ sở của R3
Bài 20 Tìm m để hệ {u = (1, 2, m), v = (1, m, 0), w = (m, 1, 0)} tạo thành một cơ sở của R3
Bài 21 Tìm m để hệ {u = (m, 1, 1), v = (1, m, 1), w = (1, 1, m)} tạo thành một cơ sở của R3
Bài 22 Tìm m để hệ {u1 = (3, 1, 2, m−1), u2 = (0, 0, m, 0), u3 = (2, 1, 4, 0), u4 = (3, 2, 7, 0)} tạo thành một cơ sở của R4
Bài 23 Tìm m để hệ {u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (2, 3, 4, 5), u3 = (3, 4, 5, 6), u4 = (4, 5, 6, m)} tạo thành một cơ sở của R4
Cho V là một không gian vectơ và S là một tập hợp con khác rỗng của V Đặt W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc S Không gian W được xây dựng như trên được gọi là không gian sinh bởi tập hợp S và được ký hiệu W = span(S) Khi đó tập hợp S được gọi là tập sinh của W
Ta quy ước không gian sinh bởi tập rỗng là không gian {0}
Trang 9Mệnh đề 1.13 Cho S là một tập con của không gian vectơ V Khi đó S là
tập sinh của V nếu và chỉ nếu mọi vectơ trong V đều là tổ hợp tuyến tính
của một số vectơ trong S
Để tìm cơ sở của không gian sinh bởi tập hợp {u1, , um} ⊆ Rn, ta thực
hiện các bước sau:
• Đặt A =
u1
u2
um
• Dùng thuật toán Gauss để đưa A về ma trận bậc thang B Khi đó các
vectơ dòng khác 0 của B chính là cơ sở cần tìm
Ví dụ 1.14 Cho S = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} và W =
span(S) Tìm một cơ sở B của W và dim(W )
Giải A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
d 2 →d2−4d1
−−−−−−−→
d 3 →d 3 −7d 1
1 2 3
0 −3 −6
0 −6 −12
d 3 →d 3 −2d 2
−−−−−−−→
d 2 →−13 d 2
1 2 3
0 1 2
0 0 0
Vậy cơ sở của W là {(1, 2, 3), (0, 1, 2)} và dim(W ) = 2
Ví dụ 1.15 Trong R4cho không gian L sinh bởi hệ vectơ {(1, 2, −1, 0), (1, −1, 2, 1)} Hãy tìm m để vectơ (1, m, 2, m) thuộc không gian con L
Giải u = (1, m, 2, m) thuộc không gian con L khi và chỉ khi u là tổ hợp
tuyến tính của {(1, 2, −1, 0), (1, −1, 2, 1)}
u = λ1(1, 2, −1, 0) + λ2(1, −1, 2, 1)
⇔ (1, m, 2, m) = (λ1+ λ2, 2λ1− λ2, −λ1+ 2λ2, λ2)
⇔
λ1 + λ2 = 1
2λ1 − λ2 = m
−λ1 + 2λ2 = 2
λ2 = m
⇔
λ1 = 0
λ2 = 1
m = λ2 = 1
m = −λ2 = −1 Suy ra không có giá trị m để làm cho hệ trên có nghiệm Do đó với mọi
m ∈ R thì u không thuộc không gian con L
Trang 10Bài tập
Bài 24 Cho không gian con W của R3sinh bởi hệ vectơ {(1, −2, 3), (−2, 4, −6), (−1, 2, −3)} Hãy tìm cơ sở và số chiều của W
Bài 25 Trong R4 hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ
vectơ
{u = (−1, 2, 1, 0), v = (0, 1, −1, 1), w = (1, −1, −2, 1)}
Bài 26 Cho M = {(1, −1, 0), (2, 1, −1), (3, 0, −1), (1, 0, −1)} Hãy xác định
cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ vectơ M
Bài 27 Trong R4cho không gian W = Span{(1, 2, −3, 0), (2, 1, −4, 2), (−1, 1, 1, m)}
Xác định m để dimW nhỏ nhất
Bài 28 Trong R4cho không gian W = Span{(1, 2, −3, 0), (3, 3, −7, 2), (−1, 1, 1, m2)}
Xác định m để dimW nhỏ nhất
Bài 29 Trong R4cho không gian L sinh bởi hệ vectơ {(1, 2, −1, 0), (1, −1, 2, 1)}
Xác định m để vectơ (2, m, 1, m) thuộc không gian con L
Bài 30 Trong R4cho không gian L sinh bởi hệ vectơ {(1, 2, −1, 0), (2, 1, 1, 1)}
Xác định m để vectơ (4, m2, 2, m2) thuộc không gian con L
Để tìm cơ sở cho không gian nghiệm W của một hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất gồm n ẩn, ta thực hiện như sau:
• Giải hệ phương trình và biểu diễn các ẩn phụ thuộc theo các ẩn tự do
• Ứng với mỗi bộ các thành phần tự do, ta cho một thành phần bằng 1
và các thành phần còn lại bằng 0 để thu được một vectơ nghiệm của hệ
Ta gọi vectơ nghiệm này là vectơ nghiệm căn bản Tập hợp tất cả các
vectơ nghiệm căn bản của hệ sẽ tạo thành một cơ sở cho không gian
nghiệm W
• Nếu hệ có nghiệm duy nhất X = 0 thì W = {0} Khi đó cơ sở của W
là tập rỗng
Trang 11Ví dụ 1.16 Tìm cơ sở cho không gian nghiệm của hệ phương trình
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 = 0
x1 + 3x2 + 3x3 = 0
Giải
1 1 1
1 2 2
1 3 3
d 2 →d 2 −d 1
−−−−−−→
d 3 →d3−d1
1 1 1
0 1 1
0 2 2
d 3 →d 3 −2d 2
−−−−−−−→
1 1 1
0 1 1
0 0 0
x1 + x2 + x3 = 0
x2 + x3 = 0 ⇔
x1 = 0
x2 = −α
x3 = α ∈ R Cho α = 1 ta có u = (0, −1, 1) là vectơ nghiệm căn bản của hệ Vậy cơ
sở cần tìm là {u = (0, −1, 1)}
Bài tập
Bài 31 Trong R3 cho không gian con W = {(x1, x2, x3) ∈ R3| − x1+ x2− 2x3 = 0} Hãy tìm cơ sở của W
Bài 32 Tìm cơ sở không gian nghiệm của 2x − 5y + 3z = 0
Bài 33 Tìm cơ sở không gian nghiệm của hệ phương trình
x1 − x2 + 3x3 + x4 = 0
x1 + x2 − x3 − x4 = 0
x1 − 3x2 + 7x3 + 2x4 = 0 Bài 34 Trong R3 cho không gian con W :
W =
(x1, x2, x3) ∈ R3 : −x1 + x2 − 2x3 = 0
−2x1 + 3x2 − mx3 = 0
Tìm m để dimW = 1
Bài 35 Trong R3 cho không gian con W :
W =
(x1, x2, x3) ∈ R3 :
−x1 + x2 − 2x3 = 0
−2x1 + 3x2 − 4x3 = 0
−3x1 + 4x2 + mx3 = 0
Tìm m để dimW = 1
Trang 121.7 Tọa độ vectơ
Cho B = {u1, , un} là cơ sở của không gian vectơ V Khi đó,
u = λ1u1+ λ2u2+ · · · + λnun⇔ [u]B =
λ1
λ2
λn
Mệnh đề 1.17 Cho B = {u1, , un} là cơ sở của Rn Khi đó, với mọi
u ∈ Rn, ta có: [u]B = (B0 → B)−1[u]B0 = (uT
1 uT
n)−1(uT)
Ví dụ 1.18 Cho B1 = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)}, B2 = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 3, 1), v3 = (3, 1, 2)} Hãy tìm tọa độ của u = (x, y, z) ∈
R3 theo cơ sở B1
Giải [u]B 1 = (uT
1uT
2uT
3)−1(uT) =
1 1 1
0 1 1
1 0 1
x y z
=
x − y
x − z
y + z − x
Bài tập
Bài 36 Cho vectơ v và cơ sở S = {(1, −2, 3), (0, 4, −6), (0, 0, 4)} Biết rằng
[v]S =
1
−2
0
, hãy xác định v
Bài 37 Cho cơ sở A = {(1, 1, 1), (1, 3, 3), (1, 2, 1)} và vectơ x có
[x]A=
8
−3
2
Hãy tìm x
Bài 38 Cho vectơ v = (0, 8, −4) và cơ sở S = {(1, 0, 0), (1, −4, 0), (0, 0, 4)} Hãy tìm [v]S
Bài 39 Tìm tọa độ của vectơ u = (1, 2, 4), v = (m, 0, 1) theo cơ sở
S = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)}
Trang 13Bài 40 Cho cơ sở S = {(1, −1, 1), (2, 3, 1), (1, 2, 1)} Tìm tọa độ của vectơ
u = (2, 6, 1) theo cơ sở S
Bài 41 Tìm tọa độ của vectơ u = (2, 3, 6) theo cơ sở
S = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (1, 3, 4), u3 = (2, 4, 7)}
Bài 42 Tìm tọa độ của vectơ u = (1, 2m, 2) theo cơ sở
S = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 2, 0), u3 = (2, 1, 1)}
Bài 43 Cho S = {(1, 1), (−1, 1)} là cơ sở của R2 và vectơ v sao cho [v]S =
2
1
Tìm tọa độ của v theo cơ sở S0 = {(0, 1), (−1, 2)}
Bài 44 Cho S = u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, −1, 1), u3 = (−1, 2, −1) là cơ sở
của R3 và vectơ v sao cho [v]S =
6 8 11
Tìm tọa độ của v theo cơ sở
S0 = u01 = (1, 1, 2), u02 = (1, −2, 1), u03 = (2, 1, 4)