Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - PGS.TS. Nguyễn Văn Định

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 Không gian vector trên trường số thực, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và các tính chất của không gian vector; Không gian con; Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vector; Cơ sở và số chiều của không gian vector. Mời các bạn cùng tham khảo!

PGS.TS Nguyễn Văn Định BÀI GIẢNG ĐAI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 CHƯƠNG Không gian vector trường số thực Nội dung chương gồm phần: Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector Bài II Khơng gian Bài III Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ vector Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.1 Định nghĩa không gian vector Định nghĩa Không gian vector V trường số thưc R tập hợp không rỗng phần tử (gọi vector), V có xác định hai phép toán: Phép cộng hai vector: x, y  V x + y  V, Phép nhân vector với số thực: x  V k  R k.x  V Hai phép tốn phải thỏa mãn tiên đề:  V1 x, y  V x + y = y + x  V2 x, y, z  V (x + y) + z = x + (y + z)  V3 Tồn phần tử không  V cho x  V x +  = x  V4 x  V tồn phần tử đối x, (ký hiệu -x) cho x + (-x) =   V5 k1, k2 R; x V k1.(k2x) = (k1.k2)x  V6 x  V 1.x = x (với số R)  V7 x, yV, kR k(x + y) = kx + ky  V8 k1, k2R; xV (k1+ k2)x = k1x+ k2x  CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.2 Các tính chất khơng gian vector  TC1 Trong khơng gian vector V vector khơng  nhất; tức có 1 , 2  V cho xV ta có 1 + x = x, 2 + x = x 1 = 2  TC2 Trong khơng gian vector V, xV vector đối x (ký hiệu -x)  TC3 Trong không gian vector V, với vector xV ta có 0.x =  , với số 0R  TC4 Trong không gian vector V, với vector xV ta có -1.x = -x (vector đối x) CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector  Thí dụ Không gian vector Rn Cho tập Rn= { x | x = (x1, x2 , …, xn), xiR}, với hai phép toán: Phép cộng hai vector: với x = (x1 , x2 , …, xn ) , y = (y1 , y2 , …, yn )Rn, ta có: x + y = (x1+ y1 , x2+ y2 , … , xn+ yn ) Phép nhân vector với số x = (x1 , x2 , …, xn )Rn, kR, ta có: k.x = (kx1 , kx2 , …, kxn )  Khi Rn khơng gian vector, gọi không gian vector n thành phần  Vector không Rn :  = (0, 0, … ,0) CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector Thí dụ Khơng gian Pn  Cho tập Pn= { p(x) = anxn + an-1xn-1 ,+ … + a1x +a0 |aiR}, với hai phép toán: Phép cộng hai đa thức: với p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 , q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x +b0 ta có : p(x) + q(x) = (an+bn)xn + (an-1+bn-1)xn-1 + … + (a1+b1)x + (a0+b0)  Phép nhân đa thức với số:p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 , kR, ta có: k.p(x) = kanxn + kan-1xn-1 + … + ka1x + ka0 Khi Pn không gian vector, gọi không gian đa thức có bậc khơng vượt q n Ký hiệu Pn  Vector không Pn đa thức không:  = 0xn + 0xn-1 + … + 01x + 0; đa thức với hệ số lũy thừa x CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector Thí dụ Không gian Mm x n  Cho tập ma trân Mm x n = { A = (aij)m x n |aijR}, với hai phép toán: Phép cộng hai ma trận: với ma trận A = (aij)m x n , B = (bij)m x n  Mm x n ta có: A + B = (aij + bij)m x  Phép nhân ma trận với số: A = (aij)m x n  Mm x n ; kR, ta có: k.A = (k.aij)m x n Khi Mm x n khơng gian vector, gọi không gian ma trận cấp m x n Ký hiệu Mm x n  Vector không Mm x n ma trận không  cấp m x n 𝑥 𝑦  Chú ý: M2 = { | x, y, z, t R } không gian ma trận vuông cấp 𝑧 𝑡 CHƯƠNG Bài II Không gian vector 2.1 Định nghĩa không gian vector  Định nghĩa Cho V không gian vector, giả sử S tập khác rỗng V, S khơng gian V thỏa mãn điều kiện sau:  u, v  S u + v  S  u  S,  k R k.u  S  Các bước chứng minh S  V không gian V: Ch/m S   Ch/m  u, v  S u + v  S Ch/m  u  S,  k R k.u  S CHƯƠNG Bài II Khơng gian vector (tt) 2.2 Các tính chất không gian  TC1 Với không gian vector V V khơng gian  TC2 Mọi khơng gian V chứa vector không   TC3 Với không gian vector V, tập S = {} không gian V CHƯƠNG Bài II Không gian vector (tt) 2.3 Các thí dụ khơng gian  Thí dụ Ch/m tập S = {(x, y, z) | x, y, x R ; y - z = 0} không gian R3 Thí dụ Ch/m tập S = { ax2+bx+c|a, b, c R ; b+c = } không gian P2 𝑥 𝑦  Thí dụ Ch/m tập M = { | x, y, z, t R ; x-2y =0 } không gian 𝑧 𝑡 không gian ma trận vuông cấp  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.1 Cơ sở không gian vector Định nghĩa Hệ vector U = {u1 , u2 , … , un } không gian V gọi sở không gian V thỏa mãn điều kiện: U hệ vector độc lập tuyến tính, và: Moi vector V biểu diễn tuyến tính qua vector U  Nhận xét: Điều kiện tương đương với điều kiện U hệ sinh V, tức V = span(U) Tuy nhiên V = span(U) khơng suy U sở V, chưa U hệ ĐLTT  Phương pháp chứng minh hệ vetor U sở không gian V: Bước Chứng minh hệ U ĐLTT Bước Lấy vector v V biểu diễn v = k1u1 + k2u2 + … + knun , từ xác định ki theo thành phần v, v biểu diễn qua vector U Theo định nghĩa, U sở V  Chú ý không gian vector có nhiều sở  ... = ? ?21