Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 Hạng ma trận cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa hạng ma trận; Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp; bài tập áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!

BÀI  §4: Hạng ma trận 4.1 Định nghĩa - Cho A ma trận cỡ mxn số k ≤ min{m,n} Ma trận cấp k A ma trận có từ ma trận A cách bỏ (m-k) hàng (n-k) cột Định thức ma trận cấp k A gọi định thức cấp k A Ví dụ: 1    A     234 123 A  4 4 8     12 12 A  24 12 A 2       §4: Hạng ma trận -Đ/n: Hạng ma trận A cấp cao định thức khác có A Kí hiệu: rank(A) r(A)  §4: Hạng ma trận 0 0 0   O  0 0 0  0 0  A12   0 0 0 A   0 0 24 13  §4: Hạng ma trận a b c d  A  x y z t  §4: Hạng ma trận  Ví dụ: a b c    A  x y z  u v w A có định thức cấp định thức có cấp lớn  §4: Hạng ma trận  §4: Hạng ma trận  §4: Hạng ma trận 4.2 Tính hạng ma trận biến đổi sơ cấp a Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) ma trận thỏa mãn hai tính chất: (i) Các hàng khác không nằm hàng không (hàng có tất phần tử 0) (ii) Với hàng khác không, phần tử khác hàng đứng trước phần tử khác hàng Ví dụ 0 0  A  0  0  0 0 0 0 0      0 0   §4: Hạng ma trận b Định lí: Nếu A ma trận bậc thang hạng A số hàng khác khơng Ví dụ: 0 0  rank   0  0 0 0 0 0 1 0 rank  0  0 4 6  1   1 .      0 0  10  §4: Hạng ma trận Chứng minh định lí:  a11 a12 0 a 22    A0 0   0  a1r a2 r ar r a1n   a11 a12 a1r  a2 n  12 r  a22 a2 r   A12 r         a arr  r n  0  Các MT cấp > r   chứa hàng =  11  §4: Hạng ma trận Chú ý: “Sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận” A Vấn đề: B (ma trận bậc thang) ? r(A) = r(B) 12  §4: Hạng ma trận Chú ý: Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận 13  §4: Hạng ma trận A “biến đổi sơ cấp B (ma trận bậc thang) r(A) = r(B) 14  §4: Hạng ma trận 15  §4: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 0  A  0  0 0 2 3 0 0 0 4  1 1  0 0 0   r ( A)  16   §4: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 2 A  4   1 0 1  1  2 17 §4: Hạng ma trận   Lời giải 1 2 A  4   1 0 1 1  h2 ( 2) h1 0   h  h 0 1 h  1h   2 0 1 0 -1 -5 3 10 -1  2 18 §4: Hạng ma trận  1 2   4   1 0 1  1  h2 ( 2) h1 0 1 5    h3  h1 0 10 1 1 h4 1h1    2 0  1  0 1 0 1 5  h3  9h2  1 5  h  ( 1) h       0 35 26  -35 26 h4  8h2      0 0 0 -35 26  r(A)  19   §4: Hạng ma trận Ví dụ: Biện luận theo m hạng ma trận sau: 1    A  0  0 m  m   r(A) = m0  r(A) = 20   §4: Hạng ma trận Ví dụ: Biện luận theo m hạng ma trận sau: 1  0   B  0 ( m20 1) ( m0 1)    0  0 m   r ( A)  m  1  r ( A)  m  1  r ( A)  21   §4: Hạng ma trận Bài tập: Biện luận theo m hạng ma trận sau:  2  h  h  2    c c   A   m     1   m   1  2 3 22  §4: Hạng ma trận 1 2      0  0 3m  42  3m  42   m  14 3m  42   m  14  r(A) =  r(A) = 23   §4: Hạng ma trận Bài tập: Biện luận theo a, b hạng ma trận sau: 1 2 A 0  3 1  0 a b  3 1 24 ... §4: Hạng ma trận 4.1 Định nghĩa - Cho A ma trận cỡ mxn số k ≤ min{m,n} Ma trận cấp k A ma trận có từ ma trận A cách bỏ (m-k) hàng (n-k) cột Định thức ma trận cấp k A gọi định thức... 2 A  4   1 0 1 1  h2 ( 2) h1 0   h  h 0 1 h  1h   2 0 1 0 -1 -5 3 10 -1   2 18 §4: Hạng ma trận  1 2   4   1 0 1  1  h2 ( 2) h1 0 1 5 ... 0 1 0 1 5  h3  9h2  1 5  h  ( 1) h       0 35 26  -3 5 26 h4  8h2      0 0 0 -3 5 26  r(A)  19   §4: Hạng ma trận Ví dụ: Biện luận theo m hạng ma trận