Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - PGS.TS. Nguyễn Văn Định

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 Ma trận – Định thức – Hệ phương trình truyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận trên trường số thực; Các phép toán trên các ma trận; Định thức; Hạng của ma trận; Ma trận nghịch đảo; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

PGS.TS Nguyễn Văn Định BÀI GIẢNG ĐAI SỐ TUYẾN TÍNH Hà Nội - 2018 email: nvdinh@vnua.edu.vn | website: fita.vnua.edu.vn/nvdinh CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính Nội dung chương gồm phần: Bài 1.1 Ma trận trường số thực Bài 1.2 Các phép toán ma trận Bài 1.3 Định thức Bài 1.4 Hạng ma trận Bài 1.5 Ma trận nghịch đảo Bài 1.6 Hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.1 Ma trận trường số thực 1.1.1 ĐỊnh nghĩa ma trận    Định nghĩa: Một bảng số thực xếp thành m hàng n cột gọi ma trận (thực) cấp m x n ký hiệu Am x n ; Bm x n … Như ma trận A có dạng: A= 11 12 1𝑗 1𝑛 21 22 2𝑗 2𝑛 𝑖1 𝑖2 … 𝑚1 𝑚2 … 𝑖𝑗 … 𝑖𝑛 𝑚𝑛 Ma trận A thường viết ngắn gọn A = (aij)m x n , aij phần tử nằm hàng thứ i cột thứ j ma trận A CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.1 Ma trận trường số thực (tt) 1.1.2 Các dạng ma trận đặc biệt  Ma trận không  Ma trận vuông  Ma trận đơn vị  Ma trận chéo  Ma trận đối xứng  Ma trận tam giác  Ma trận hình thang  Ma trận chuyển vị CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.2 Các phép toán ma trận 1.2.1 Phép cộng hai ma trận  Định nghĩa: Cho ma trận cấp A = (aij)m x n , B = (bij)m x n Tổng ma trận A B ma trận ký hiệu xác định sau: A + B = (aij + bij )m x n  Nhận xét: tổng A B ma trận cấp có phần tử tổng phần tử tương ứng A B 1.2.2 Phép nhân ma trận với số thực  Định nghĩa: Cho ma trận A = (aij)m x n số thực k Tích ma trận A với số k ma trận cấp, ký hiệu xác định: k.A = (k.aij)m x n  Nhận xét: Để nhân ma trận A với số k ta nhân phần tử A với số k CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.2 Các phép tốn ma trận (next CNKTOC T4-19/9)  Thí dụ:  Cho A =  Cho X =  A + 2B = ?  3AC + BC = ?3 −1 ;B= ;Y= − −y −2 + + = −1 => A + B ==? => X + Y == ? − => A + 2B = = + −1 a +x + + CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.2 Các phép tốn ma trận (tt) 1.2.3 Phép nhân hai ma trận  Định nghĩa: Cho ma trận Am x n ; Bn x p , tích ma trận A với ma trận B ma trận C = (cij)m x p , với phần tử cij tính theo cơng thức: cij = ai1.b1j + ai2.b2j + … +ain.bnj (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, p)  Nhận xét:  Tích A.B thực số cột ma trận A số hàng ma trận B  Ma trận kết có số hàng số hàng ma trận A, số cột số cột ma trận B, tức Am x n Bn x p = Cm x p  Tích A.B khơng giao hốn CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.2.3 Phép nhân hai ma trận (tt) Nhắc lại công thức: cij = ai1.b1j + ai2.b2j + … +ain.bnj  Thí dụ 1: Cho A = ;B=  Ta thấy ma trận tích có cấp 2x2: C = Tìm ma trận tích C = A B ? 11 12 21 22 Kết quả:  c11 = 1.3 + 2.1 + 3.4 = 17 ; c12 = 1.2 + 2.0 + 3.5 = 17 A.B =  c21 = 4.3 + 5.1 + 6.4 = 41 ; c22 = 4.2 + 5.0 + 6.5 = 38   Thí dụ 2: Cho A = Kết quả: ;B= Hãy tính tích A B? (dành cho SV tập) A.B = CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.2 Các phép tốn ma trận next (CNKTOC-tuần 12?) 1.2.4 Các tính chất phép tốn ma trận  Trong tính chất đây, giả thiết A, B, C, I, θ ma trận có cấp phù  TC1: A + B = B + A  TC2: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)  TC3: A + θ = A, θ + A = A ;  A θ = θ.A = θ  TC4: k(A + B) = kA + kB ; (k + l)A = kA + lAmxp  TC5: A.B.C = A(B.C) = (A.B)C  TC6: I.A = A ; A.I = A hợp; k, l số thực: (cấp A θ: Am x n.θn x p = θmxp ; θm x n.An x p = θm x p ) (chú ý giữ nguyên thứ tự ma trận) (chú ý cấp I: Im Am x n = A ; Am x n In = A) CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.3 Định thức 1.3.1 Định nghĩa định thức  Định nghĩa 1.3.1: Cho ma trận vuông A cấp n, định thức ma trận A giá trị thực, ký hiệu |A|, hay det(A), xác định theo giá trị phần tử ma trận A  Định thức ma trận vuông cấp n gọi định thức cấp n 1.3.2 Tính giá trị định thức  Với ma trận vuông cấp 1: A = [a] |A| = a o Thí dụ 1: A = [-5] |A| = -5  Với ma trận vng cấp : A = o Thí dụ 2: cho A = 11 12 21 22 (1) |A|= a11.a22- a12.a21 (2) det(A) = 1x – 2x3 = -2 CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.1 Các khái niệm (tt)  Nghiệm hệ (1) n số thực t1, t2, …, tn cho thay xj tj (j = 1, 2, …, n) tất phương trình hệ thỏa mãn  Khi hệ (1) có nghiệm hệ gọi tương thích, trái lại hệ gọi khơng tương thích  Thí dụ: Cho hệ phương trình:  Viết ma trận hệ:  A= ?  Rõ ràng x1 = x2 = x3 = x4 = nghiệm hệ Vậy hệ tương thích ; B= ? ; X= ? CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.1 Các khái niệm (tt)  Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại  Nếu hai hệ phương trình tương đương giải hệ thay cho hệ để tìm nghiệm  Các phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình tuyến tính  Đổi chỗ hai phương trình cho  Nhân hai vế phương trình với số khác  Nhân hai vế phương trình với số cộng vào phương trình khác  Hốn đổi vị trí hai ẩn tất phương trình hệ (ít dùng) CHƯƠNG (next CNTTP T3-25/9) Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát  Điều kiện tương thích  Xét hệ phương trình (1):  Từ hệ (1) lập ma trận A = ( A | B ) có dạng: A = Ma trận A gọi ma trận mở rộng (hay ma trận bổ xung) hệ (1)  Định lý (Cronecker-Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) tương thích hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng   Tức là: Hệ (1) có nghiệm r( A ) = r ( A ) CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát  Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt  Bước 1: lập ma trận mở rộng:  Bước 2: Biến đổi sơ cấp để đưa A dạng ma trận hình thang CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt (tt)  Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát (tt)  Bước 3: Từ ma trận A , kiểm tra điều kiện tương thích: r(A) = r( A ) ?  Từ hàng r + 1, có hệ số tự ≠ kết luận hệ VN  Từ hàng r + giá trị b’r+1 = b’r+2 = … = b’m = r(A) = r( A ) => Hệ có nghiệm Ta giải bước CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát (tt)  Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt (tt)  Bước 4: Khi br+1 = br+2 … = 0, bỏ hàng khơng, ma trận mở rộng có dạng:  Từ ma trận mở rộng mới, ta nhận hệ phương trình tương đương hệ (1): CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt (tt)  Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát (tt)  Bước (tt): Từ phương trình cuối hệ (1’), giải ẩn xr qua ẩn tự xr+1 , xr+2 , …, xn  Thay giá trị ẩn xr vừa giải vào phương trình thứ r-1, ta giải ẩn xr-1 qua xr ẩn tự  Tiếp tục phương trình thứ 2, thứ 1: ta giải ẩn x1 , x2 , …, xr qua ẩn tự Cho ẩn tự nhận giá trị tùy ý, ta vô số nghiệm hệ (1)  CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.2 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt (tt)  Thí dụ 1: Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss:  x1  x2  x3  x4   2 x1  x2  x3  x4   x  x  x  x  1   Thí dụ 2: Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss:   x1  x2  x3  x4   2 x1  x2  x3  x4   x  x  x  x  2  Thí dụ 3: Với giá trị m hệ sau có nghiệm:  x  2y  z  t 1   x  y  z  3t   x  y  mz  t   CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6 Hệ phương trình tuyến tính (next KTCKA tuần 12) 1.6.3 Hệ Cramer  Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính: với m = n định thức ma trận hệ số khác gọi hệ Cramer  Định lý Cramer: Hệ Cr amer ln có nghiệm xác đinh bởi: xj =  , với j = 1, 2, … , n (4) Trong đó: D định thức ma trận hệ số, Dj định thức nhận từ D cách thay cột thứ j cột hệ số tự B CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.3 Hệ Cramer (tt)  Thí dụ : Giải hệ phương trình tuyến tính: (*) 1 Hệ có m = n =3 |A| = − Nghiệm hệ tính theo cơng thức (4):  Trong D = |A|= -12, Dj tính sau (j = 1, 2, 3):  − Vậy: x1 = −1 − = -24 ; D2 = = ; x2 = −1 − = -12 ≠ Vậy (*) hệ Cramer  D1 = = ; x3 = xj = −1 − = -12 ; D3 = =2  , với j = 1, 2, = -24 − Nghiệm hệ : X= CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.3 Hệ Cramer (tt)  Giải hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo:  Xây dựng công thức:  Viết lại hệ Cramer (3) dạng ma trận: A.X = B (*)  Nhân A-1 vào bên trái hai vế (*): A-1.A.X = A-1.B  Từ ta có cơng thức tìm ma trận nghiệm:  Các bước giải hệ Cramer phương pháp ma trận nghịch đảo:  Bước 1: Lập ma trận hệ số A, ma trận ẩn X, ma trận vế phải B  Bước 2: Tính ma trận nghịch đảo A-1 (do|A| ≠ nên tồn A-1)  Bước 3: Tính tích ma trận A-1.B để nhận nghiệm: X = A-1.B X = A-1.B CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.3 Hệ Cramer (tt)  Thí dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: (*) 2 phương pháp ma trận nghịch đảo (nếu được)  Bước 1: Lập ma trận: A = ; X= −  Bước 2: Tính ma trận A-1 = −  Bước 3: Tính A-1.B = − − − − − − = B= − − (đã tính phần trước) −3 −8/3 Nghiệm: X= => −3 −8/3 CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính  Định nghĩa : Cho hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn vế phải 0: Hệ (5) goi hệ phương trình tuyến tính      Nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: Hệ ln có nghiệm: Rõ ràng x1 = x2 = … = xn = nghiệm Nghiệm gọi nghiệm không (nghiệm tầm thường) Nếu |A| ≠ hệ (5) có nghiệm tầm thường Nếu |A|= hệ có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không) Khi |A| = Giải phương pháp Gauss, hệ có vơ số nghiệm Giải hệ CHƯƠNG Ma trận – Định thức – Hệ PT truyến tính 1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính (tt) 2 x1  x  x3    Thí dụ: Giải hệ nhất: (*)  x1  x  x3  3x  x  x   Giải hệ:  Do |A| = nên hệ có nghiệm khơng tầm thường Giải PP Gauss  Biến đổi ma trận mở rộng: − −1  A= biển đổi sơ cấp theo hàng: A => 1 −  Từ ma trận cuối, ta có hệ phương trình tương đương hệ (*): 2x1 + x2 - x3 = x2 + x3 = x2 = -x3  Từ phương trình cuối, giải được: X= −k  Thay x2 vào phương trình đầu, giải được: x1 = x3  Cho ẩn tự giá trị tùy ý : x3 = k  R, nghiệm hệ là:  Bài tập chương 1: Làm vào tập từ đến 44 tài liệu: “Bài tập ĐSTT năm học 2017-2018” Download tại: http://fita.vnua.edu.vn/nvdinh ... a 11. a22.a33 + a12.a23.a 31 + a13.a 21. a32 - a13.a22.a 31 - a12.a 21. a33 - a 11. a23.a32  Thí dụ 3: cho ma trận A = (3) , theo quy tắc (3), tính được: |A| = 1. 5.0 + 2.6 .1 + 3.4 .1 - 3.5 .1 - 2.4.0 - 1. 6 .1. .. A -1 =  Tính Aij theo cơng thức:  A 11 = = -6 ; A12 = - = +6 ; A13 =  A 21 = - = ; A22 = = -3 ; A23 = -  A 31 = = -3 ; A32 = - = +6 ; A33 = A* Aij = ( -1 ) i+j.Dij = -1 Ma trận phụ hợp: −6 − =1. .. ( -1 ) 3+2a32D32 + ( -1 ) 3+3a33D33 = ( -1 ) 3 +1. 1 =  + ( -1 ) 3+2 .1 Thí dụ Tính định thức: