Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.2 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.2 Định Thức cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất của định thức; Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp; một số bài tập áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!

a b BÀI c d  ad  bc §2: Định Thức  2.1 Mở đầu ax  by  c - Xét hệ phương trình sau:  a ' x  b ' y  c ' Theo phương pháp Grame ta có cơng thức nghiệm sau: “Định thức” cấp Dy D x x ;y , ( D  0) D D a b c b a c D ; Dx  ; Dy   ac ' a ' c a' b' c' b' a' c'  §2: Định Thức Xét hệ phương trình sau: a11 x  a12 y  a13 z  b1  a21 x  a22 y  a23 z  b2 a x  a y  a z  b 32 33  31 a11 Ta định nghĩa: D  a21 a12 a22 a13 a23  ? a31 a32 a33  §2: Định Thức b1 Dx  b2 a12 a22 b3 a32 a13 a11 b1 a13 a23  ? Dy  a21 b2 a23  ? a31 b3 a33 a33 a11 a12 b1 Dz  a21 a31 a22 a32 b2  ? b3 Dy Dx x ; y ; D D Dz z , ( D  0) D   §2: Định Thức Định thức cấp 2: D2   a11 a12 a21 a22  a11a22  a12 a21 Ví dụ:  2.6  5.3  3   §2: Định Thức Định thức cấp 3: (Quy tắc hình sao) a11 D3  a21 a12 a22 a13 a23  (a11a22 a33  a31a12 a23  a13a32 a21 ) a31 a32 a33 (a13a22 a31  a33a21a12  a11a32 a23 )   §2: Định Thức Ví dụ: Tính 1 2   §2: Định Thức Bài tập: Tính 1  3 2 3 5   §2: Định Thức Bài tập: Tính 2 1  §2: Định Thức 2.2 Định nghĩa 2.2.1 Đ/n1: Cho ma trận A=[aij ] vuông cấp n Phần phụ đại số aij, kí hiệu Aij , xác định sau A ij  (1)i  j det M ij Mij ma trận có từ ma trận A cách bỏ hàng i, cột j 10 §2: Định Thức  (iii) Nếu phần tử hàng định thức có dạng tổng số hạng ta viết định thức thành tổng định thức sau: a1  b1 a2  b2 an  bn  a1 a2 an  b1 b2 bn (các phần tử lại giữ nguyên) 21   §2: Định Thức VÝ dô: ab cd  a c  b d 22  §2: Định Thức (iv) Nếu nhân hàng định thức với số λ định thức λ lần định thức cũ Hq: (1) Nếu phần tử hàng có thừa số chung ta đưa thừa số ngồi dấu định thức   5  10  A ; 2A         VÝ dô: det(2 A)  10  2.2 2.5 2 2.3 2.4  2.2  2 det( A) 23   §2: Định Thức VÝ dô: 1  1  h1 h A  5    B  5   A 1 3 1 3 det( A)  det( B)   det( A)  det( A)   det( A) 24  §2: Định Thức (v) Nếu thêm vào hàng định thức bội λ hàng khác định thức khơng đổi  VÝ dơ: a b c h  ( 4) h1  3 6 a b c 25  §2: Định Thức (vi)  Ví dụ: 0 3 0 0 0 0 i 1 3 0  a11 A11  0 0  2.(3)  2.(3).5.1 i1 26   §2: Định Thức Ví dụ: 2 0 0  1.3.2.5  30 27  §2: Định Thức (vii) Cho A, B ma trận vng cấp n Khi det(AB) = detA.detB 28   §2: Định Thức Ví dụ: Cho ma trận 8 31 2 3 1   AB   A ;B      33   1 4 2 7 det( A)  5;det( B)  3 det( AB)  15  5.(3)  det( A).det( B) 29  §2: Định Thức 2.4 Tính định thức biến đổi sơ cấp 30   §2: Định Thức Ví dụ 1: Tính định thức 1 3 D 1 2 h  h1  h4  h1 2 h  h1  1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 j 1  a11 A11  8 2 2 03 42 12 72 31   §2: Định Thức Ví dụ 2: Tính định thức D h3  h1  h4  h1 2 2 2 1 h1  h2   2 2  1 1 32   §2: Định Thức Bài tập: Tính định thức sau D 1 1 2 2 33   §2: Định Thức Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau 1 Dn   1 1 1 h2  h1  1 1 1 1 Tiếp tục hàng trừ hàng 1, hàng trừ hàng 1, … 34   §2: Định Thức Ta được: Dn  1 1 1 0  (1) n1 0 1 35 ...   §2: Định Thức Bài tập: Tính 1  3 2 3 5   §2: Định Thức Bài tập: Tính 2 1  §2: Định Thức 2.2 Định nghĩa 2.2. 1 Đ/n1: Cho ma trận A=[aij ] vng cấp n Phần phụ đại số aij, kí hiệu Aij...  36 11    §2: Định Thức Bài tập: Với   3   A    Tính A21  A23  A33  12  §2: Định Thức 2.2. 2 Đ/n Cho ma trận vuông cấp n A  [aij ] Định thức A số kí hiệu detA, hay a a a... thức với số λ định thức λ lần định thức cũ Hq: (1) Nếu phần tử hàng có thừa số chung ta đưa thừa số ngồi dấu định thức   5  10  A ; 2A         VÝ dô: det(2 A)  10  2.2 2.5 2