Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

35 113 0
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức có nội dung trình bày về định nghĩa, quy tắc sarrus, phương pháp khai triển định thức theo dòng và cột, định thức và các phép biến đổi sơ cấp,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 2: ĐỊNH THỨC Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Nguyễn Anh Thi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2014 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Chương ĐỊNH THỨC Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Định nghóa tính chất 1.1 1.2 1.3 1.4 Định nghóa Quy tắc Sarrus Khai triển định thức theo dòng cột Định thức phép biến đổi sơ cấp Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Định nghóa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu det A hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: Nếu n = 1, A = (a), |A| = a a11 a12 Nếu n = 2, A = , |A| = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Định nghóa  a11 a12  a21 a22 Nếu n > 2, A =   ··· ··· an1 an2 ··· ··· ··· ···  a1n a2n  , ···  ann doøng |A| ===== a11 (−1)1+1 |A(1|1)| + a12 (−1)1+2 |A(1|2)| + · · · + a1n (−1)1+n |A(1|n)|, A(i|j) ma trận có từ A cách xóa dòng i cột j A Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Ví dụ −3 −2 Cho A = Khi |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10 Ví dụ   Cho A =  10  15 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Ví dụ −3 −2 Cho A = Khi |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10 Ví dụ   Cho A =  10  15 10 |A| = 1(−1)1+1 +3(−1)1+2 15 = 10 − 15 + = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính 10 +6(−1)1+3 15 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.2 Quy tắc Sarrus Trong trường hợp n = 3, ta có ma  a11 a12  a21 a22 A= a31 a32 traän  a13 a23  a33 Áp dụng định nghóa ta tính định thức A a22 a23 a21 a23 |A| = a11 (−1)1+1 + a12 (−1)1+2 + a32 a33 a31 a33 a21 a22 a13 (−1)1+3 a31 a32 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Từ ta đưa quy tắc Sarrus, đưa vào sơ đồ sau Theo định thức tổng tích số số đường liền nét trừ tổng tích số số đường không liền nét Hoặc Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất • ∗ ◦ ∗ ◦ • a11 a12 a13 a21 a22 a33 = ◦ • ∗ − ◦ • ∗ ∗ ◦ • • ∗ ◦ a31 a32 a33 Định thức ma trận A tính tổng tích số số tương ứng với ký hiệu hình màu đỏ trừ tổng tích số số tương ứng với ký hiệu hình màu xanh Ví dụ Tính định |A| = thức 1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = 1.2.5+2.1.3+3.4.1−3.2.3−1.1.1−2.4.5 = −31 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Quy tắc Cramer Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn n phương trình Ñaët ∆ = detA; ∆i = detAi , i ∈ 1, n Ai ma trận có từ A cách thay cột i cột B Khi i Nếu ∆ = hệ (∗) có nghiệm là: xi = ∆i , i ∈ 1, n ∆ ii Neáu ∆ = ∆i = với i hệ (∗) vô nghiệm iii Nếu ∆ = ∆i = 0, ∀i ∈ 1, n hệ vô nghiệm vô số nghiệm Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giả  i hệ phương trình  x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1;  x + y + z = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính (1) Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giả  i hệ phương trình  x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1) Ta coù  x + y + z = −1 −2 = −7; ∆ = |A| = −1 1 −3 −1 −2 −1 = −7; ∆1 = |A1 | = 1 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer 1 ∆3 = |A3 | = Vì ∆ = 0, nên hệ z = ∆∆3 = ∆2 = |A2 | = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính −3 −2 1 = −14; −1 −3 −1 = −7; có nghiệm x = ∆1 ∆ = 1; y = ∆2 ∆ = 2; Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; Giải hệ phương trình  5x + 7y + 4z = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer   x + y − 2z 2x + 3y + 3z Giải hệ phương trình  5x + 7y + 4z 1 −2 = 0; ∆1 = |A1 | = ∆ = |A| = Vậy hệ vô nghiệm Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = 4; = 3; Ta có = −2 3 = −45 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 10 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 10 1 −2 −2 = 0; ∆1 = |A1 | = 3 = 0; ∆ = |A| = 10 1 4 −2 = 0; ∆3 = |A3 | = 3 = ∆2 = |A2 | = 10 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = neân không kết luận nghiệm hệ Do ta phải dùng Gauss Gauss-Jordan để giải Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải biện luaän  x1  −2x1  mx1 ∆ = |A| = hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: + 2x2 + 2x3 = 0; + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2; + x2 + (m + 1)x3 = −2 2 −2 m − m − m m+1 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = m2 −4m+3 = (m−1)(m−3); Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy taéc Cramer ∆1 = |A1 | = ∆2 = |A2 | = ∆3 = |A3 | = −2 −2 m −2 m Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính 2 m − m − = −4m + 12; m+1 2 m − = 0; m+1 m−2 = 2m − 6; −2 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer m=1 Khi hệ có nghiệm laø m=3 −4 , 0, m−1 ) (x1 , x2 , x3 ) = ( m−1 ∆=0⇔ ∆=0⇔ m=1 m=3 m=1, ∆1 = = nên hệ vô nghiệm m = ∆3 = Khi hệ phương trình  = 3, ∆ = ∆1 = ∆2  2  −2 −2  −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − 25 t) với t tự Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Ví dụ Giải biện   (m − 7)x −10x  −12x luận hệ phương + 12y + (m + 19)y + 24y Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính trình sau theo tham số m ∈ R: − 6z = m; − 10z = 2m; + (m − 13)z = Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy taéc Cramer m−7 12 −6 −10 m + −10 = (m − 1)2 (m + 1) −12 24 m − 13 m 12 −6 −10 = m(m − 1)(m − 17) ∆1 = 2m m + 24 m − 13 m−7 m −6 −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) ∆2 = −12 m − 13 ∆= Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer m−7 12 m −10 m + 2m −12 24 Biện luận ∆3 = = 36m(m − 1) Neáu ∆ = ⇔ m = 1, −1 Khi hệ có nghiệm laø  m(m2 −18m+17) m(m−17) ∆1  ;  m2 −1  x = ∆ = (m−1)(m2 −1) = y =    z = ∆2 ∆ ∆3 ∆ Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = = m(m2 −15m+14) (m−1)(m2 −1) −36m(m−1) (m−1)(m2 −1) = = m(m−14) ; m2 −1 −36m m2 −1 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 m = −1, ∆1 = −36 = 0, hệ vô nghiệm m = 1, ∆1 = ∆2 = ∆3 = Ta có hệ   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = Hệ vô nghiệm Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh .. .Chương 2: ĐỊNH THỨC Chương ĐỊNH THỨC Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Định nghóa tính. .. Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Ví dụ −8 −12 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính. .. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = −4; Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng cột Định lý Cho

Ngày đăng: 02/11/2020, 07:38

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Chương 2: ĐỊNH THỨC

    • 1. Đònh nghóa và các tính chất

    • 2. Đònh thức và ma trận khả nghòch

    • 3. Quy tắc Cramer

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan