Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Các phép toán trên ma trận và Ma trận khả nghịch cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Các phép toán ma trận; Các phép toán ma trận vuông; Ma trận khả nghịch; Ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Tìm tất giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch ⎛1 ⎞ A = ⎜2 m⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ Tìm tất giá trị thực m A khả nghịch ⎞ ⎛1 1 A = ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 m m + 1⎟ ⎝ ⎠ Ứng dụng Ứng dụng Giải hệ phương trình Định lý: Hệ phương trình tuyến tính AX = B, A ma trận vng cấp n, có nghiệm A khả nghịch Khi nghiệm tương ứng X = A-1B Ứng dụng Ví dụ: Giải hệ phương trình sau ⎧ x1 + x2 + 3x3 − x4 = ⎪ x1 − x2 − x3 − 3x4 = ⎨3x + x − x + x = −5 ⎪ x1 − 3x2 + 23x + x4 = 11 ⎩ Phương trình dạng ma trận AX = B ⎛1 A = ⎜2 ⎜3 ⎜2 ⎝ −1 −3 −2 −1 −2 ⎞ −3 ⎟ 2⎟ ⎟⎠ ⎛1⎞ B=⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎝ ⎠ Ứng dụng ⎛1 1⎜ −1 A = 18 ⎜⎜ ⎝ −2 −1 −2 −3 −1 ⎛1 1⎜ −1 X = A B = 18 ⎜⎜ ⎝ −2 2⎞ 3⎟ 2⎟ ⎟⎠ −1 −2 −3 −1 ⎛1⎞ B=⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎝ ⎠ ⎞⎛ ⎞ ⎛ / ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ −43 / 18 ⎟ ⎟⎜ −5 ⎟ ⎜ 13 / ⎟ ⎟ ⎜ −7 / ⎟ ⎟⎜ 11 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ứng dụng Ví dụ: Giải phương trình ma trận sau ⎛ −2 ⎞ ⎛7 0⎞ ⎜ −4 ⎟ X = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ứng dụng Ứng dụng Ma trận phép biến hình đồ họa máy tính Những chuyển động phức tạp vật thể mô tả dãy liên tiếp phép biến hình bản: tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay, tỷ lệ Và để thực phép biến hình sử dụng phép nhân ma trận để kiểm soát thay đổi tọa độ vật thể Ứng dụng Xét mặt phẳng tọa độ Oxy Vật thể kiểm soát điểm P có tọa độ P(x,y) Khi đó, ta xem tọa độ P ma trận 3x1 có dạng sau: ⎡ x⎤ P = ⎢ y⎥ Số dc thêm vào tọa độ ⎢⎣ ⎥⎦ Khi qua phép biến hình T, P biến thành điểm P’ (x’,y’) tính cơng thức P’=T.P, với T ma trận biểu diễn phép biến hình Ứng dụng Phép tịnh tiến: Ví dụ: P(2,3) qua phép tịnh tiến véc tơ T (1,2) biến thành điểm P’(x’,y’) ⎡ xʹ ⎤ ⎛ t x = ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ P ' = ⎢ y ʹ ⎥ = ⎜ t y = ⎟ ⎢ ⎥ = ⎢5 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ Vậy P’(3,5) Ứng dụng Phép quay Ví dụ: P(2,4) qua quay tâm 0,góc quay 60o biến thành P’(x’,y’) o o ⎛ cos60 − sin 60 ⎞ ⎡ 2⎤ ⎡ xʹ ⎤ P ' = ⎢ yʹ⎥ = ⎜ sin 60o cos60o ⎟ ⎢ ⎥ ⎟ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎝ ⎠ ⎛ 1/ − / ⎞ ⎡ ⎤ ⎡1 − ⎤ = ⎜ / 1/ ⎟ ⎢ ⎥ = ⎢ + ⎥ ⇒ P ' = (1 − 3, + 2) ⎜ 0 ⎟⎟ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎜ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ Ứng dụng Phép tỷ lệ Phép biến hình tỷ lệ (sx, sy) biến P(x,y) thành P’(sxx,syy) có ma trận biểu diễn Ví dụ: Biến điểm P(2,3) với tỷ lệ (1/2;1/3) thành điểm P’ ⎡ xʹ ⎤ ⎛ sx 0 ⎞ ⎡ x ⎤ ⎛1/ 0 ⎞ ⎡ ⎤ ⎡1⎤ ⎢ yʹ⎥ = ⎜ s y ⎟ ⎢ y ⎥ = ⎜⎜ 1/ ⎟⎟ ⎢ ⎥ = ⎢1⎥ ⇒ P '(1,1) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ 0 ⎠ ⎣⎢1 ⎦⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ... BT Bài tập Tìm ma trận A, ⎛1 0⎞ ⎛5 2⎞ 5A − ⎜ = 3A − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm ma trận nghịch ⎛1 A = ⎜2 ⎜ ⎜3 ⎝ đảo, có −1⎞ 1⎟ ⎟ ⎟⎠ Bài tập Tìm ma trận nghịch đảo A ⎛2 ⎞ A = ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ Tìm tất số. .. xem tọa độ P ma trận 3x1 có dạng sau: ⎡ x⎤ P = ⎢ y⎥ Số dc thêm vào tọa độ ⎢⎣ ⎥⎦ Khi qua phép biến hình T, P biến thành điểm P’ (x’,y’) tính công thức P’=T.P, với T ma trận biểu diễn phép biến hình... dụng Bài tập Bài tập! Thực phép toán ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ − 1 ⎝ ⎠ Tìm f(A), biết f ( x) = 3x + x − ⎛ −3 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝4 ⎠ Bài tập Tìm ma trận X, cho AX = B, với ⎛ −1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ Cho Tính