Bài giảng đại số tuyến tính chương 2 pgs ts nguyễn văn định

PGS.TS Nguyễn Văn Định BÀI GIẢNG ĐAI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 CHƯƠNG Không gian vector trường số thực Nội dung chương gồm phần: Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector Bài II Khơng gian Bài III Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ vector Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.1 Định nghĩa không gian vector Định nghĩa Không gian vector V trường số thưc R tập hợp không rỗng phần tử (gọi vector), V có xác định hai phép toán: Phép cộng hai vector: x, y  V x + y  V, Phép nhân vector với số thực: x  V k  R k.x  V Hai phép tốn phải thỏa mãn tiên đề:  V1 x, y  V x + y = y + x  V2 x, y, z  V (x + y) + z = x + (y + z)  V3 Tồn phần tử không  V cho x  V x +  = x  V4 x  V tồn phần tử đối x, (ký hiệu -x) cho x + (-x) =   V5 k1, k2 R; x V k1.(k2x) = (k1.k2)x  V6 x  V 1.x = x (với số R)  V7 x, yV, kR k(x + y) = kx + ky  V8 k1, k2R; xV (k1+ k2)x = k1x+ k2x  CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.2 Các tính chất khơng gian vector  TC1 Trong khơng gian vector V vector khơng  nhất; tức có 1 , 2  V cho xV ta có 1 + x = x, 2 + x = x 1 = 2  TC2 Trong khơng gian vector V, xV vector đối x (ký hiệu -x)  TC3 Trong không gian vector V, với vector xV ta có 0.x =  , với số 0R  TC4 Trong không gian vector V, với vector xV ta có -1.x = -x (vector đối x) CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector  Thí dụ Không gian vector Rn Cho tập Rn= { x | x = (x1, x2 , …, xn), xiR}, với hai phép toán: Phép cộng hai vector: với x = (x1 , x2 , …, xn ) , y = (y1 , y2 , …, yn )Rn, ta có: x + y = (x1+ y1 , x2+ y2 , … , xn+ yn ) Phép nhân vector với số x = (x1 , x2 , …, xn )Rn, kR, ta có: k.x = (kx1 , kx2 , …, kxn )  Khi Rn khơng gian vector, gọi không gian vector n thành phần  Vector không Rn :  = (0, 0, … ,0) CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector Thí dụ Khơng gian Pn  Cho tập Pn= { p(x) = anxn + an-1xn-1 ,+ … + a1x +a0 |aiR}, với hai phép toán: Phép cộng hai đa thức: với p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 , q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x +b0 ta có : p(x) + q(x) = (an+bn)xn + (an-1+bn-1)xn-1 + … + (a1+b1)x + (a0+b0)  Phép nhân đa thức với số:p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 , kR, ta có: k.p(x) = kanxn + kan-1xn-1 + … + ka1x + ka0 Khi Pn không gian vector, gọi không gian đa thức có bậc khơng vượt q n Ký hiệu Pn  Vector không Pn đa thức không:  = 0xn + 0xn-1 + … + 01x + 0; đa thức với hệ số lũy thừa x CHƯƠNG Bài I Định nghĩa tính chất khơng gian vector 1.3 Các thí dụ khơng gian vector Thí dụ Không gian Mm x n  Cho tập ma trân Mm x n = { A = (aij)m x n |aijR}, với hai phép toán: Phép cộng hai ma trận: với ma trận A = (aij)m x n , B = (bij)m x n  Mm x n ta có: A + B = (aij + bij)m x  Phép nhân ma trận với số: A = (aij)m x n  Mm x n ; kR, ta có: k.A = (k.aij)m x n Khi Mm x n khơng gian vector, gọi không gian ma trận cấp m x n Ký hiệu Mm x n  Vector không Mm x n ma trận không  cấp m x n 𝑥 𝑦  Chú ý: M2 = { | x, y, z, t R } không gian ma trận vuông cấp 𝑧 𝑡 CHƯƠNG Bài II Không gian vector 2.1 Định nghĩa không gian vector  Định nghĩa Cho V không gian vector, giả sử S tập khác rỗng V, S khơng gian V thỏa mãn điều kiện sau:  u, v  S u + v  S  u  S,  k R k.u  S  Các bước chứng minh S  V không gian V: Ch/m S   Ch/m  u, v  S u + v  S Ch/m  u  S,  k R k.u  S CHƯƠNG Bài II Khơng gian vector (tt) 2.2 Các tính chất không gian  TC1 Với không gian vector V V khơng gian  TC2 Mọi khơng gian V chứa vector không   TC3 Với không gian vector V, tập S = {} không gian V CHƯƠNG Bài II Không gian vector (tt) 2.3 Các thí dụ khơng gian  Thí dụ Ch/m tập S = {(x, y, z) | x, y, x R ; y - z = 0} không gian R3 Thí dụ Ch/m tập S = { ax2+bx+c|a, b, c R ; b+c = } không gian P2 𝑥 𝑦  Thí dụ Ch/m tập M = { | x, y, z, t R ; x-2y =0 } không gian 𝑧 𝑡 không gian ma trận vuông cấp  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.1 Cơ sở không gian vector Định nghĩa Hệ vector U = {u1 , u2 , … , un } không gian V gọi sở không gian V thỏa mãn điều kiện: U hệ vector độc lập tuyến tính, và: Moi vector V biểu diễn tuyến tính qua vector U  Nhận xét: Điều kiện tương đương với điều kiện U hệ sinh V, tức V = span(U) Tuy nhiên V = span(U) khơng suy U sở V, chưa U hệ ĐLTT  Phương pháp chứng minh hệ vetor U sở không gian V: Bước Chứng minh hệ U ĐLTT Bước Lấy vector v V biểu diễn v = k1u1 + k2u2 + … + knun , từ xác định ki theo thành phần v, v biểu diễn qua vector U Theo định nghĩa, U sở V  Chú ý không gian vector có nhiều sở  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector  Thí dụ Trong khơng gian vector R3, cho hệ vector: U ={ e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} Hãy chứng minh hệ sở không gian vetor R3 - Ta ch/m hệ ĐLTT: từ đẳng thức k1e1+k2e2+k3e3 =  ta có hệ phương trình: 1.𝑘1 +0 𝑘2 + 𝑘3 = 0 𝑘1 +1 𝑘2 + 𝑘3 = (*) 𝑘1 +0 𝑘2 + 𝑘3 = Hệ (*) có nghiệm k1 = 0; k2 = 0; k3 = 0, hệ U ĐLTT (1) - Lấy vector v R3, v = (x1, x2, x3), biểu diễn v qua vector U, ta có: v = k1e1+k2e2+k3e3  k1e1+k2e2+k3e3 = (x1, x2, x3) Giải ta có k1 = x1; k2 = x2; k3 = x3 tức v = x1e1+x2e2+x3e3 hay v span(U) (2) Từ (1) (2), theo định nghĩa U sở R3  Chú ý: Trong không gian Rn, hệ U = {ei | ei = (0, 0, …, 1, , 0), i = 1, 2, …, n } luôn sở Rn, gọi sở tắc Rn CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều khơng gian vector  Thí dụ Trong khơng gian vetor R3, cho hệ vector: U ={ u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} Hãy chứng minh hệ sở khơng gian vetor R3 Thí dụ Trong không gian M2 ma trận vuông cấp 2, cho hệ vector: 0 0 0 U = {u1= , u2 = , u3 = , u4 = } 0 0 0 Hãy chứng minh hệ sở không gian vector M2  Chú ý: Cơ sở U gọi sở tắc M2  Thí dụ Trong khơng gian P2 đa thức có bậc khơng vượt q 2, cho hệ vector: U = {p1= x2 ; p2 = x ; p3 = 1}, chứng tỏ U sở P2  Chú ý: Cơ sở U gọi sở tắc P2  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều khơng gian vector 4.2 Tìm sở khơng gian vector  Định nghĩa Cho W  V không gian không gian vector V, Tập vector S = {s1 , s2 , … , sr } không gian W gọi sở không gian W thỏa mãn điều kiện: S hệ vector độc lập tuyến tính, và: Moi vector W biểu diễn tuyến tính qua vector S Phương pháp tìm sở khơng gian con: Bước Tìm tập sinh S khơng gian W, tức có W = span(S) Bước Chứng minh S hệ vetor độc lập tuyến tính, S sở W.(hoặc tìm S’ tập vector độc lập tuyến tính cực đại S, S’ sỏ W  Chú ý: Nếu W không gian V sở W thường có số vector số vector sở V  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều khơng gian vector 4.2 Tìm sở khơng gian vector Thí dụ Trong khơng gian vector R3 cho tập vector: W = {(x, y, z) | x, y, x R ; 2y + z = 0} a/ Ch/m W không gian R3 b/ Hệ U = {e1 = (1, 0, 0) ; e2 = (0, 1, 0)} có phải sở W khơng? c/ Tìm sở W Giải: a/ SV tự ch/m tương tự thí dụ 1, II (rất dễ!) b/ Không phải, e2 W c/ v = (x, y, z)W có có 2y + z = hay : z = -2y, v = (x, y, z)W  v = (x, y, -2y) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, -2) Đặt: u1 = (1, 0, 0) ; u2 = (0, 1, -2) v = (x, y, z) W  v = x.u1 + y.u2 Vậy S = {u1 = (1, 0, 0) ; u2 = (0, 1, -2) } hệ sinh W, hay W = span(S) Dễ thấy S hệ vector độc lập tt (hệ gồm vector không tỷ lệ ĐLTT) Vậy S sở không gian W  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều khơng gian vector 4.2 Tìm sở khơng gian vector Thí dụ Trong khơng gian vector R4 cho tập vector: W = {(x, y, z, t) | với: x + t = ; y – z – t = 0} a/ Ch/m W khơng gian R4 b/ Tìm sở W  Thí dụ Trong khơng gian P2 đa thức có bâc khơng vượt q 2, cho tập vector:  W = { ax2+bx+c|với a + b - c = } a/ Ch/m W khơng gian P2 b/ Tìm sở W CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.3 Số chiều không gian vector Định nghĩa Số chiều không gian vector (hoặc không gian con) số vector sở khơng gian  Số chiều khơng gian vector V kí hiệu dim(V)  Chú ý 1: V = {  } dim(V) =  Chú ý 2: Chúng ta xét không gian hữu hạn chiều, tức khơng gian có sở gồm hữu hạn vector  Định lý Trong khơng gian n chiều sở có n vector  Hệ Trong khơng gian n chiều hệ có từ n + vector PTTT  Hệ Trong khơng gian n chiều hệ n vector ĐLTT sở  Hệ Một không gian V sinh hệ U gồm m vector dim(V)  m  Thí dụ Khơng gian R3 có sở U = {(1, 0, 0); (0, 1, 0), (0, 0, 1)} xem thí dụ 1, phần 4.1), sở U có vector nên dim(R3) =  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.3 Số chiều khơng gian vector Thí dụ Trong khơng gian vector R3 cho tập vector: W = {(x, y, z) R3 | với: x – 3y +z = } a/ Ch/m W không gian R3 b/ Tìm sở, tính số chiều W  Thí dụ Trong khơng gian P2 đa thức có bâc khơng vượt q 2, cho tập vector: W = { ax2+bx+c|với a + b - c = } a/ Ch/m W không gian P2 b/ Tìm sở, tính số chiều W  Thí dụ Trong khơng gian vector R4 cho tập vector: W = {(x, y, z, t) | với: x + 2t = ; y – z – t = 0} a/ Ch/m W khơng gian R4 b/ Tìm sở tính số chiều W  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.4 Hạng hệ vector Định nghĩa Cho hệ vector U = {u1 , u2 , … , um } không gian vector V, hạng hệ vector U số vector độc lập tuyến tính cực đại U, ký hiệu r(U)  Định lý Hạng hệ vector U số chiều không gian vector sinh U, tức ta có: r(U) = dim[span(U)]  Cách tìm hạng hệ vector U = {u1 , u2 , … , um } không gian Rn  Bước xếp m vector U thành ma trận A cấp m x n, cấp n x m  Bước Tính hạng ma trận A, ta có r(U) = r(A)  Thí dụ Cho hệ vector: U = {u1=(1, 3, 5, 4); u2= (2,-1, 3, 1) u3=(8, 3, 19, 11)} R4 Tính hạng hệ vector U  Giải: Lập ma trận A= −1 , tính r(A) = 2, r(U) = 19 11 (hoặc thấy số vector ĐLTT cực đại U 2, r(U) =2)  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.5 Tọa độ vector Định nghĩa Trong không gian n chiều V, cho sở U = {u1 , u2 , … , un }, vector xV có biểu diễn tuyến tính qua vector sở U: x = x1.u1 + x2.u2 + … + xnun (*) số biểu diễn (*) gọi tọa độ cột vector x sở U  𝑥1 𝑥  Ký hiệu tọa độ x U: x[ U ] = (viết gọn: x[U] = (x1, x2 , … , xn)T) … 𝑥𝑛  Chú ý: vector xV có tọa độ khác sở khác Thí dụ Trong không gian vector R3, cho hệ vector U = {(1, 0, 1); (0, 1, 1), (1, 1, 1)} a/ Chứng minh U sở R3 b/ Tìm tọa độ vector x = (2, 3, 4) sở U c/ Tìm tọa độ vector x = (2, 3, 4) sở tắc E R3  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.6 Chuyển sở Bài tốn chuyển sở  Giả sử khơng gian V có sở: U = {u1, u2 , … , un } U’= {u’1, u’2 , … , u’n}  Giả sử với vector xV, ta biết tọa độ cột x sở U là: x[U]  Yêu cầu đặt tìm tọa độ cột x sở U’ biết tọa độ cột x sở U  Định nghĩa ma trận chuyển sở Một ma trân A cho: x[U’] = A.x[U] (4.6) gọi ma trận chuyển từ sở U’ sang sở U khơng gian vector V  Cách tìm ma trân chuyển sở từ sở U’ sang sở U  Bước Biểu diễn vector sở U qua vecor U’ ui = a1i u’1 + a2i u’2 + … + ani u’n ( với i = 1, 2, … , n) (*)  Bước Lập ma trân A = (aij), với aij xác định từ hệ phương trình (*), A ma trận chuyển sở từ U’ sang U  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều khơng gian vector 4.6 Chuyển sở Thí dụ Trong không gian R3, cho sở: U = {u1=(1, 1, 0); u2 =(0, 1, 1) ; u3=(1, 1, 1)}, U’= {u’1=(1, 0, 1); u’2 =(1, 2, 1) ; u’3=(1, 1, 2)} a/ Hãy tìm ma trận chuyển từ sở U’ sang sở U b/ Tìm tọa độ vector x = (2, 3, 4) hai sở Giải: biểu diễn vector ui qua vector u’i, ta tính được: −1 1/2  Ma trận chuyển sở U’ sang U là: A = 1/2 −1  Biểu diễn vector x qua U, ta có hệ k1.u1+k2.u2+k3.u3 = (2, 3, 4) Giải tính hệ số k1 = -1, k2 = 1, k3 = Vậy: x[U] = (-1 , 1, 3)T  Để tính tọa độ x sở U’, áp dụng cơng thức chuyển sở (4.6), ta có: x[U’] = A x[U] Ta có: x[U‘] = (-1/2 , 1/2 , 2)T  CHƯƠNG Bài IV Cơ sở số chiều không gian vector 4.6 Chuyển sở Thí dụ Trong khơng gian P2, cho hệ vector: U = {p1 = x2 + 1; p2 = x + 1; p3 = x - 1}, U’= {q1 = x2 - 1; q2 = x2 + x + 1; q3 = x } a/ Chứng minh U U’ sở P2 b/ Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở U’ c/ Tìm tọa độ cột vector p = 2x2 + 4x + sở Giải b/ biểu diễn vector u’i qua vector ui, ta tính được:  −1  Ma trận chuyển sở U sang U’ là: B = −1 1/2 1/2 1/2 1/2 Tọa độ p U’ p[ U’] = (-2, 4, 0)T  Tọa độ p U p[ U] = B p[U’]  p[U] = (-6, 4, 0)T   Bài tập chương 2: Làm vào tập từ 18 đến 32 Bài tập ĐSTT năm học 2017-2018 (bản mới) Download tại: http://www1.vnua.edu.vn/khoa/fita/bo-mon/bmtoan/ ... = ? ?21