Bài tập đại số tuyến tính phần 2

Chương MA TRẬN Trong sách ta kí hiệu tập hợp ma trận kiểu (m, n) với thành phần trường K Mat „,(K) Xin nhắc lại không gian vectơ R", sở gồm vectơ (m Ẻ, =(1, 0, , 0), Ẽ, =(0, Ì, 0, ,0), g = (0,0,0,1) n 8, = (0, 0, Ì, 0), số Ì đứng vị trí thứ ị, số cịn lại dấu ngoặc 0, gọi sỏ tắc §1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 1.1 Định nghĩa Giả sử V Vỉ hai K - không gian vectơ với sở (4 = {ẽ,,ẽ , , ẽj,(ộ={ị \ ., ịj,f:V-> w ánh xạ tuyến tính mà 1> b Aẻ,) = 0;;ậ +0 j| + ••• f(ẽ ) = a ị u t 2 +a ị 22 2 +a ị mI m + + a ị nứ m (1) /tẽ.) = a,„ĩ, inị + - + mnị Ma trận +a a i m 125 a a a a2- n 12 21 V "mi "m2được gọi /à ma trận ánh xạ tuyến tính f hai sở (e) nà (ộ Có thể viết gọn đẳng thức (1) sau: f(ĩ ) = fx^i> t —- với e {í> n} 1=1 Kí dụ: Giả sử R R chọn sở tắc: (E):Ẽ, =(1,0), ẽ =(0, 1), (ị): ị = (Ì, 0, 0), ị = (0, Ì, 0), ị, = (0, 0, 1) f: R -> R xác định f(a„ a ) = (a„ 3a , a -5a,) Khi 2 f(Ễ,) = f(l,0) = (l,0,0-5)= Ì +oị -5ị f(Ễ ) = f(0, 1) = (0, 3, 1-Ợ> = | , + | , + | , l Do ma trận f đối vói hai sở í Ì ì Ì 1.2 Liên hệ Hom (V, W) vói Mat, (K) K m n) Mệnh đê Giả sử V, w hai K - không gian uectơ (è) = ị É ,, EỊ, , E „}, (ộ = ị ị,, %2>—< Ị, m) lẩn lượt íà sở cố định V w Khi đó: 1) Mơi ma trận kiêu ịm, n) xác định ánh xạ tuyến tính f:V->W; 2) Ánh 0: Hom (V, W)-> Mat , (K) xác định 0Ợ) = A, (Ạ ma trận ánh xạ tuyến tính f đối vời hai sở (Ề) (ộ), song ánh K 126 lm nì BÀI TẬP 359 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau đối vối sở tắc không gian vectơ R , R : a) f: R -> R xác định bởi: f(ẽ,) = (- 3, 4, 0, 5), f(Ẽ ) = (0, Ì, - 2, 1), f(ẽ ) = (0, 0, Ì, 2); b) g: K -> K xác định bồi: g(ẽ,) = (0, 4, 0, 5), g(ẽ ) = (0, 0, 0, 1), g(ẽ ) = (0, Ì, 1,0) 360 Cho f, g thuộc Hom (R , R ), có ma trận đối vối sở tắc R R" R là: (2 ì 0-1 5ì -Ì -Ì , B: -1 -2 -Ì -5 0 A= a) Tìm ảnh vectơ sở tắc R qua ánh xạ f; qua ánh xạ g b) Tìm ảnh vectơ ã = (0, Ì, 3, - 2) qua ánh xạ f; qua ánh xạ g 361 Cho ánh xạ f: R -> xác định bởi: f(a„ a , a ) = (0, a„ - a , a, + a ) a) Tìm ma trận ánh xạ f đối vói sở tắc hai khơng gian b) Tìm ma trận f sở gồm vectơ 2 | , = (1, Ì, 1), | = (0, Ì, 1), | , = (0, 0, 1) không gian R sở tắc R\ 127 362 Cho ánh xạ g: R -» R , xác định bởi: g(ai, a , a , a ) = (0, a, - a , a, + a ) a) Tìm ma trận ánh xạ g đối vói sở tắc hai khơng gian 2 b) Tìm ma trận g sở tắc R sở gồm vecto ị = (Ì, Ì, 1), ị = (Ũ Ì, 1), ị, = (0, 1) khơng gian R : J c) Tìm Img Kerg 363 Cho ánh xạ tuyến tính f e Hom (V, W) có ma trận sở (E) V sỏ (ị) w R < A= -2 (T 2 ,-1 1; a) Tìm toa độ f(ă) sở (ệ), biết toa độ đối vái sở (e) (0, 4, - 2, 1) b) Tìm vectơ p biết toa độ f( jj) sở (Ị) (5 - 2) c) Tìm Kerf 364 Giả sử f tự đồng cấu R - không gian vectơ V có ma trận sở (e) -1 A= Ũ -1 V -1 -2 s -4 0, a) Tìm toa độ f(d ) biết toa độ (- 4, 2, 0) b) Tìm sở Kerf c) Tìm sỏ Imf 128 365 Trong R - không gian vectơ P gồm đa thức đa thức bậc không lốn 2, gọi (E) sở {Ì, X, X }, f tự đồng cấu có ma trận í Ì A= 0 Ì a) Chứng minh f tự đẳng cấu b) Xác định ảnh vectơ ã = 3x - X - c) Tìm ma trận f sở © - {Ì, Ì - X, Ì - X + X } (Chú ý: Khi nói ma trận tự đồng cấu f sỏ (Ị), ta hiểu ma trận f cờ sở (Ị) sở (Ị).) 2 366 Giả sử f tự đồng cấu khơng gian vectơ R có ma trận sở tắc Ì 2 Ì "Ị a) Tìm vectơ ă cho f(ă) = 4ã b) Chứng minh tập hợp u - {á R I f(ã) = 4â Ị không gian R c) Tìm sỏ u 367 Giả sử f tự đồng cấu không gian vectơ E có ma trận sở tắc ' l i A= ì -2 129 a) Tìm vectơ ã cho f(ă) - ã b) Chứng minh tập hợp u = {ã e K I f( à) = ã } không gian R c) Tìm cở sỏ u 368 Giả sử f tự đồng cấu khơng gian vectd R có ma trận sà tắc 2ì a) Tìm số thực k cho tồn vectơ ã * õ cho f(ã) = kõ b) Với giá trị k vừa tìm tìm vectơ ã thoa mãn đẳng thức f(S) = k 369 Giả sử f e Hom (V, W) có ma trận đối vói hai sở cho V w A Người ta gọi hạng A hạng tự đồng cấu f Chứng minh dimlmf = hạng(A) dim Kerf = dimV - hạng(A) K §2 CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC MA TRẬN 2.1 Phép cộng Quy tắc cộng ma trận Muốn cộng hai ma trận ta việc cộng thành phần tương ứng (cùng dịng, cột) chúng: (ữlýím, nì + (bịỷ(m, ni = K + Vi* ìí -2 130 ì 4Ì B= (-1 [ 13 Hì -8) A+ B • ' 3-1 + 5 + 14' ' ,-2+6 7+13 4-8 , ,4 20 Với A = ( ) , „, B = (bịj) , „, ta có: - B = (aii (m A- B : li -3 ì 4-9 15 B= -9-5 -4, s -12 ì 10 1-7 '11-8 + -3 + 12 4+7 N „,, A - B = (a - bịiV „, (m Ví dụ 2: Cho A = 19 89Ì 15-107 li -14 2.2 Phép nhân ma trận với số Quy tắc nhân ma trận với số Muốn nhân ma trận A với sốk ta việc nhăn sốk với thành phần A ì (-ỉ ' 7^ 3 Ví dụ 3: c -5 12 -4 2.3 Không gian vectơ Mat (K) Mệnh đề Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số thuộc trường K có tính chất sau: 1) (A + B) + C = A + (B + C); 2) A + B = B + A; 3) A + ũ = A; (m n) 4) 5) 6) 7) 8) A+(-A) = 0; k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + IA; (kl)A = k(lA); LA = A, (Ì đơn vị trường K), với A, B, c e Mat , JK), k,le K (m 131 Nói gọn với phép cộng hai ma trận uà phép nhân ma trận vài số, Mat,„, JK> K - không gian vectơ Quy tắc nhăn hai ma trận Muốn tim thành phần c, cùa ma trận tích AB ta phải lấy thành phần a,j dịng thứ í ma trận A nhăn với thành phần b cột thứ k ma trận B cộng lại k jk Điều mơ tà sơ đồ sau: cột k cót k b' I dịng i dịng i fb„ b,, b„ Ví du 4: Cho A : a,| a 12 : a 'a b + a b +a b M u 12 K 22 K b \ -Jl 22 2.w a AB a, 21 n Ị1 a v :u K K b a b +a b +a b n 12 12 22 13 32 a„b + a b + a,.,b„ i:1 12 M , 21 u + 22 2l + 23 31 l 12 + 22 + :)2 l l:l + 23 + 23 33 ì a b a b a b a b a b a b a b a b b Chú ý: 1) Theo định nghĩa, tích AB xác định số cột cùa ma trận A sơ dịng ma trận B 2) Phép nhân ma trận khơng có tính giao hoán Vi dụ 5: Giả sử (e) = {Ễ, Ễ ẽ Ị {ị) ~ {|,, ị.,, ,ị Ị hai sở K - không gian vectơ V, T = (t,j) ma trận chuyến từ sỏ (E) sang sở (ị) 132 n toa độ vectd ã đôi với hai sở Thê X = TI Ví dụ 6: Giả sử hai K - không gian vectơ V w có sở (e) = { ẽ , Ẽ }, (í) = { ặ j \ \ f: V -> w ánh xạ tuyến tính có ma trận hai sở m A= 3]1 'li =12a a 21 ^1, 22 fy ^ x= toa độ ã e V sở (E) f(ã ) sở (Ị) Thế a,j a a l2 a 21 22- hay Y = AX Q V "mi m2- 133 Ví dụ 7: Xét hệ phương trình tun tính 'a„x, + a x + + a 12 ljX) + + a x = b, ln n a x, + a x + + a x, + + a x„ = b 21 22 2j mj ) V b 2 Nếu đật X = ,b = hệ (1) có dạng: a„ a a a b 12 22 AX = b A/a trận đơn vị Ma írận cấp n ' Ì o i lo mn n V x 2I 2n Ì 0 Ì J ẹ (rã, P) = rcp (ã, P) = cp (õ , r P) f g g c) F( AnaTCHOK 3jieMeHTbi /iHHeíinoỉí Ajire6pbi "BbiiiJ3HU]aa uiKO/ia" MHHCK P.0 AnaTeHOK C6opHHK 3aaaM no ìHHeiÍHOỈí ajire6pe "Bbiimìiiiia!! QiKO^a" MHHCK, 1980 H B.ỈIpocKypnKOB CốopHHK 3aflan no ^rmeỉíHoỉí a ^rỗpe HayKa MocKBa, 1978 300 Chịu trách nhiêm xuất bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO Tổng biên tập LÊ A Biên tập nội dung: NGUYỄN TIẾN TRUNG Kĩ thuật vi tính: ĐÀO PHƯƠNG DUN Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH In 1000 cuốn, khổ 17 X 24 em, Xưởng in Trung tâm Học liệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội Số xuất bản: 219-2006/CXB/11-25/ĐHSP ngày 28/3/06 In xong nộp lưu chiếu tháng 10 năm 2006