Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (đại số tuyến tính) phần 1

Trang 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

NGUYÊN NGỌC HIỀN

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOAN CAO CAP

PHAN |

DAI SO TUYEN TINH

[TRUONG DAI HO’

Trang 5

LỜI NĨI ĐẦU

“Tốn cao cấp là một trong những mơn học chính ở những

năm đâu bậc đại học Đặc trưng của nó là mơn tốn cơ sở mang

tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng, bởi vậy việc học

tập và thi hết mơn Tốn cao cấp như là một thách thức với nhiều bạn sinh viên Để giảm bớt khó khăn, lúng túng trong quá trình

học tập và giành kết quả tốt trong các kỳ thi học kì chúng tơi

biên soạn cuốn sách này với mong muốn:

- Giúp các bạn nhìn ra những vấn để cốt lõi của giáo trình

Tốn cao cấp 1 (Phần đại số tuyến tính) theo chương trình của Bộ

Giáo dục và Đào tạo giành cho sinh viên các trường đại học khối kinh tế hệ dài hạn tập trung

~ Hướng dẫn gi:

mỗi phân của giáo trình lý thuyết

Cuốn sách được trình bày dưới dạng các chủ đẻ, bám sát các nội dung của giáo trình lý thuyết Trong mỗi chủ đẻ có phần tóm tắt lý thuyết, phần hướng dẫn giải các bài toán thường gặp và phần bài tập để bạn đọc tự rèn luyện

các dạng toán cơ bản thường gặp trong

“Trong hàng loạt các ví dụ đẻ cập đến, bạn đọc hãy xem lời

giải của chúng chỉ là một cách giải chứ không phải lời giải mẫu

Trang 6

Đối tượng chính của cuốn sách này là sinh viên hệ đài hạn tập trung của trường Đại học Thương Mại Ngồi r4, chắc chắn

nó sẽ là tài liệu'tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường Đại

học khác thuộc khối kinh tế

Trong quá trình biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song

không thể nào tránh khỏi sai sót Chúng tơi chờ mong những ý

kiến đóng góp phê bình ở quý đồng nghiệp và bạn đọc

Trang 7

Chủ đề 1

SỐ PHỨC §1 Tóm tắt lý thuyết

1) Dinh nghia: Don vi 40 i được định nghĩa bởi: ¡2 =—1

Biểu thức a+bi, trong đó a va be R goi là một số phức,

kí hiệu Z=a+ bi Tập hợp C= |a+ bi: a và be R }gọi là tập

hợp các số phức

của Z

* Cho Z=a+bi #0 tương đương với cho 4(2,6)#0(0,0)

trong mặt phẳng xOy:

Goi r =|04) và ø là góc định y ‡

hướng giữa ox và tỉa Ø4, ta có:

a=rcosø b

b=rsing F

2 ? a

Trang 8

Góc ø xác định sai kém &2z, k e Z, gọi là Ácgumen của

Z và viết p=argZ, được xác định từ hệ

[pe -

b „ ta thường lấy 0< ø< 2z

Suy ra a+ bỉ = r(cosø + isin Ø) ®

VE trái (*) gọi là dạng đại số của số phức Z

'Vế phải (*) gọi là dạng lượng giác của Z

2 it Œ « Cho Z, Z,+Z¿ =(a+e)+(b+đ)i toán trị

a+bi , Z,=c+di , tadinh nghia:

Z,-Z,=(a-0)+(0-@i Z,.Z; = (ae~=b4) + (ad + be)i

Z4 actbd (be-ad)i

Z, +d oad

v6i Z, #0

s_ Nếu cho dưới dạng lượng giée Z, = r,(cos, +isin g,) Z, =n (cos g, +isin g,) thi

Zi.Z; = nen leos(ø, + ø,)+ ïsin (ø, + ø;}

Trang 9

+ Nếu n nguyên dương thì ta định nghĩa Z" =ZZ Z(n thừa số)

« Nếu Zz0, quyước Z° =l

* Cho Z=r(cosy+isin g) thì với n nguyên dương:

a) (cos + isin g)" =cosng + ¿sin nọ gọi là cong thie Moivre

b) Can bac n của Z, kí hiệu 4/Z có n giá trị khác nhau

WZ dcos 282 isin) Ò 20,12 neg n n

Chú ý: Các phép toán trên Œ thoả mãn đầy đủ các tính chất của các phép toán trênIR, do đó khi biến đổi các biểu thức số

phức ta cổ thể sử dụng tất cả các quy tắc và công thức quen biết

trên IR

3) Đinh lý: Đalampe (d’ ALEMBERT)

Trang 10

§2 Các dạng bài toán thường gặp

Ví dự 1: Tính

Z=(I+2¡)@-3¡)(e+¡)G~2¡)

Gidi:Tacé: Z =(2+4i-3i-6i7)(6-4i+31-2i7)

=(8+i)(8—-i)=(64+8i-8/- 17) = 65

Ví dự 2: Tìm mơ đun và Acgumen cita céc số phức:

a)Z=-2+23¡ b) Z=-3-3437 Giải: a) Cách L : Tacó r=(-2}+ÉV3Ÿ=4 = modZ=4 -1 — ont sb, kez 4 >

|sino= “2 le Eston, Bebo

2z

=> nghiệm của hệ ø= 2 shan = My argz =

Trang 11

=modZ=4 vàlấy argZ=

b) Tương tự z-4 =molZ.=6,agZ=ø=

Ví dụ 3: Đưa các số phúc sau vé dang a+bi

az=itt i l+xi got 9 29 Tey = ts Gidi:

_(#iX+i)_ Iti+i+i ous

“(=ii+i) tie

wz bens V5-i)_ V5 +34

(+¡jM-j) 3413 -

Trang 12

_Éx+x`~x}+@x' ~x) + li 4x74 (2-1) _ Út +1) (e 41h (+i) Ví dụ 4: Đưa các số phức sau về dạng a + bỉ +l x +l

b) Tacé V3-i -f-1)) fool =) sisn(-2)]

Trang 14

- cose + 24x) sinfr+24)+1¢{ 08 = +sin2)

Trang 15

eS

( Sa 3)

J cos— +isin— 6 6

Vi du 6: Duta céc sO phitc sau về dạng lượng giác

3)Z=l-eosZ-isinf TF b) Z=1+005 "2% + isin 9 9

Trang 17

oi on ora = 2 $ 3)

Vidu 7: Đưa các số phức sau về dạng lượng giác

2 sin? sin 5 a) Z=44+2/3+2i b) z-x6=H2 2-2i +} z= ° ey Giải :

a) Z=4| Bah =4{ 1+cos= +isin= 2”? eng

=4) 2cos? 12 4 +isinZ | =8cos4| cos 12 12 + isin 12

6

= (JE + V6 { cos + isin 2)

Trang 18

> ; : i : ax(! # iy = GP =8 lí = -8 = 8(co Z + /sin Z) Ví dụ 8: Tính ( or „” 5.2004 5.2004

=| cos +isin—=| — =cos 6 6 6 a+isin——x 6

Trang 19

1 HƯƠNG MẠI = 2cos 2cos 668 2z 0 bod LES “Í=-]-=Llll'2l=ei] "mm ne nt

2"| cos 3.7 +isin 3 +cos 7 + jsin 3 3

=2”.2cos tte 2"*!.cos 22

Trang 20

Sản ĐK 2W tos + isin + cos + isin 4a og 48 23 3 3 3 00s 2n + isin 2x =0 Ví dự 9: Chứng minh rằng: ở 0< ¬¬ =i, lí li 2i et} _ 2T ine PS

VI()ai tia + =!(1+2+i+)=¡!1.0=0

Ví dự 10: Tính

4 „L1 3 43

a) Ÿ\3+¡ 8 iso! oii

Giải :

a) V3+i= =2| cos—+isin— Rio XE >

° 6 3)

Z+k2z Z+k2z

#Ñ3+¡= 2| cos S$ — + isin 6

Trang 21

k=ê0= Z4=2|cos7+isnf— 24 24

kat = 2, = 00s 12% 4 isin 9 9

k=2 => Z, = 008 8% + isin 6% *

Trang 22

2n ¡cv (-v51- 8)., ©) Nhận ra 1+3 1-377 | cos 2 3 +isin2— 3

bed = 2, nc0s Een x coe isn

Ví dụ 11: Tính

a 4-3 b) V27

Giải :

2) Cách!: v-3=3[eosz+isinz)

Trang 23

k=0 > Z =1i( cos + isin) =iv5

k=l = Z, (cos + sin) i

Cich 2: Gid sit V-3 =x+yi ; x,yelR , theo định nghĩa

Trang 24

”

k=1 > Z, nn

Cíh2: Giảsử V2i=x+yi (x,yelR)

Theo định nghĩa thì: 2i=(x+ yi) =x? —y? +2xyi

=f 2»y=2 =0 "| pay = v-{ty =2.=4x) xy=l (-1,-1)

Nhan xét: Ji = (li) =3(L+¡)

Ví dụ 12: Giải phương trinh trong €

Trang 25

—441=0 V6 nphiem trong R Céch 3: x?-x+1=0=>x= vet lÈý-3 Tẻi3 2 = (dud b) Cách I; x`-27=0 =x”=(+j)” =0 © Œ6+l#j(x-l-)=0 =x=#(1+j0)

Cách 2; Giả sử x=a+ưi thì x -2i=0

(a+bi) -2i=0 =aÌ=b` +(2ab~2)¡ =0

ale-8=0 _ Ja`=b` =6ø-[Ð)

2(ab~—1)=0 ab=1 ¿ Cl-)

= x=‡(+Ð

Cich3: x =2 =x=2 =(J0+j) ` =*(+i) @ídg1l)

Vi du 13: Giải phương tình trong C

a) Z”+2Z+2i+I=0 b) x +6x` +9x` +100=0

Trang 26

24 Giải: a/ Cáchl ZÌ+2Z+2i+I=0 œ(Z”~)+2Z+i)=0 '© (Z+i(Z-¡i+2)=0 =

Cách 2; A'=1” ~(2i+1) =~2i =(1—0Ÿ

Trang 27

x=l~2ïi

*xÌ+3x+10ï=0 có A=(5~40)” =| x=-4+2¡

Ví dự 14: Giải phương trình trong Œ 2 |jj#Z=2-¡ — @

b) ZZ+Z-Z=5+4i (2)

Giải:

a) Giả sử Z=a+bi, a,beR thì

@) là Va? +8? +a4+bi=2-7

b= b=-1

> >

Va'+b' +a=2 a’ +b

a<2 =

=2-a— |a +I=(@-a)

b) Giả sử Z=a+bi, a,be Rthì

(2) © (a+bi(a ~ bi) +a + bị ~ (a ~ bi) = 5 + 4i

=4 +bỀ +2bi =5+ 4i

2 2

ait 2b=4 adi *! 29 seH b=2

Trang 28

Ví dụ 15: Viết nghiệm của phương tình x` +324=0 dưới dang a+bi Gidi: x‘ +3240 <= (x ¥18)'—(6x)' =0 x=-3#43i 2 - 1 > —6x-18)=0 > (x" 6x 418)(x" —6x-18) = Cách 2: xt =-324 = x= 4324(cos a + isin a) `" ca với k=0, 1,2,3 k=0 =x,=32 ^+¡ “|=3+3¡ a k=l => nang] 268 Tương tự k =2 => xạ =~3~3¡ 3 =x,=3-3i

Ví dụ 16: Giải phương trình trong €

a) x°-9x' +8=0

Trang 30

28

Ví dụ 17: Tính cotg6xtheo cotgx Gi

: Theo cơng thức Moivre ta có:

cos 6x + isin 6x = (cos x + isin x)®

= cos’ x+6cos' x(isinx)+ 15cos' x{’sinx) +20co# x(/sinx}`

+15cos’ x(isinx)' +6cosx(¡sin xŸ +(/sin xƑ'

= cos* x-15cos* x.sin? x +15 cos? x.sin‘ x-sin® x +

i(6 cos! x.sin x-20.os? x.sin’ x +6 cos x.sin’ x)

Suy ra

{rove = cos” x —15cos" x.sin” x + 15cos* x.sin‘ x -sin® x

\sin6x = 6cos” x.sin x - 20cos’ x.sin” x + 6cosx.sin” x

Vậy

_ cos6r

_ sin6r

_ cog x-15cos' xin? x+15cos xsin! x-sin’ x

~~ 6cos xsinx—20cos xin x+6cosx.sin’ x

Trang 31

Bài tập tự kiểm tra 1) Đưa về dạng a+bi _0+0” =0” b) Z, =(2-iv12)"(-v3 +i)" a) Z, © Z,=C1~0 3+0” 2) Đưa về dạng lượng giác

©) 4J—8+8//3

4) Giải phương trình trong Œ

2) |Z|Ì+Z=3+¡

b) Z`+3Z=0

Trang 32

5) Giải phương trình trong Œ

a) ZZ+Z~Z =10~2i

b) 2 -(1+iv3).Z-1+i¥3 =0

6)Cho Z,=1+i ; Z,=-V3+i

Z

Hãy biểu diễn Z/Z, và “7” dưới dạng lượng giác 7) Đưa số phức Z = về dạng a+bi và về dạn lượng giác Từ đó tính sin15° và cos15° mi nh Z'421422+2° 1+iJ3

9) Giải các phương trình trong Œ

2) x =81=0 b) x +64=0

8) Cho Z =

©x`~8=0

10) Giải phương tình trong Œ

3) xÌ~4xÌ=4x~5=0 b) x! +x" +42x-4=0

Trang 33

Chủ đề 2

ĐỊNH THỨC

§1 Tóm tắt lý thuyết

I Cho tap hop W,„ = {I,2, n} Một hoán vị của n phần từ

cia N, ky higu 1 (a,a, @,) , trong đó øeN, (/#/ thì ø,#øœ,) Khi ¡< j mà ø, >ø, thì hai số ø,, trong hoán vị

trên tạo nên một nghịch thế

- Số các nghịch thế của hốn vị (zZ, ,) kí hiệu là

(aa, Vidu: —N, = {12,3} ø312)=2 ; ø(23)=0 ; ø(132)=1 - Cho ma trận vuông A cấp n a, ay Sự a-|“n #a 4, đc Fu đc

Định thức của ma trận vuông A được kí hiệu và xác định bởi

1 Sự

đụ táng, se)

m= SD) ha hạ, su, ay, ay aca,

Trang 34

Ở đó tổng trải trên n! hoán vị của {I, 2, , n} Ví dụ: gi) yr _ Aq HI gay = yyy — 95 r 1) nón Si ø(23 A230 A319, Em 22 2|=CỦ aytCỦ a2#+CỦỈ 4; lạ 2y 4; 030) gan) ạ) FD Gnd HM 2A (OD au4„4p FO Oy, +4, yy +) sy (0,38, +4, 0, 5 +0, 2,0) IL Các tính chất

1) Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma

trận chuyển vị của nó:

lu 2› Bl ln #ạ đại Em 2s + Fan] 1412 2z na a Sn Fn) fin Fano đại

Từ đó mọi điều khẳng định đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột và ngược lại

Trang 35

3) Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 dòng bất kì cho nhau và giữ ngun vị trí các dịng cịn lại thì định thức đổi dấu

4) Nếu định thức có 2 dịng giống nhau thì nó bằng 0 5) Nhân từ chung của các phần tử của một dòng đưa được ra ngoài dấu định thức

6) Nếu định thức có 2 dòng tử lệ với nhau thì định thức bằng 0 7) Nếu trong định thức đụ, 4; 4, d=la, a, @,|matacéa,=b, +c, (j=hn) lạ 4z; đi 4u 4; 4, fn 2› 4,, ba Ba} > en Se % lạ địy Fn lu Fay đản

8) Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử

của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số

9) Nếu hệ véc tơ dòng của định thức phụ thuộc tuyến tính thì nó bằng 0

Trang 36

10) Nếu các phần tử nằm vẻ một phía của đường chéo chính của định thức đều bằng 0 thì giá trị của định thức bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

la, 0 0 0| lạ, 2; ay ~~ lạ a, 0 0] |0 a, a

Jar Sn as 9 Ody Oy) = 6, typ

e

A

l„ 4; 4; 4„| |0 mo đạc đc ‘nl 0 0 4 tl

11) Công thức khai triển định thức theo dòng ¡ hoặc cột j d= aA, +a,Ay+.+4,4

d=4,4, +4,A,, + +4,4, @j=hn)

Trang 37

§2 Các dạng tốn thường gặp Vi dự 1: Tính các định thức: la x x 12 3 a) |x b x BỊ-I 0 2 k x ¢ [3 -2 1 Giải 2) Theo định nghĩa x xf kb xÌ=abe+x°+x)~=G°b+x°e+x”a) xd =2x`~(a+b+€)x” + aöc b) Cách l: (dùng định nghĩa) 1 2 3) -1 0 2=0+6-12-(@-2-4)=0 3 -2 ] Cách 2: (dùng tính chất)

Cộng dòng 1 vào dòng 2 và nhân dòng 1 với 3 cộng vào dịng 3 thì có:

1 2 39 f1 23

—I 0 2|=|0 2 5|=0 (dòng hai và dòng ba lệ nhau) -3 -2 1] |0 41

Trang 38

Ví du 2: Tinh các định thức:

l+y z h+x x x a) |y+z x | b|x bex x z+x y | x x ety

Giải:

a) Cong cot hai vào cột đầu thì có:

x+y z lx+y+z z |

b+z x l=lxk+y+z x lÌ~°

z+x y 1| |xty+z y

(cột đầu và cuối tỉ lệ)

b) Nhân đòng đầu với (-1) rồi cộng vào dịng 2 và dịng 3 thì có:

latx x x | latx x af

x b+x x l=-a b O x x c+xl|-a 0 d

' (G33) SCÔM:> 8e) = abe + (ab + be + ca)x Vi dy 3: Tính các định thức

lk-y-z 2z 2x a)| 2y y-z-x 2y

2% 2z z~y-|

Trang 39

l+ax l+ay 1+az

b)|I+x I+ðy 1+öz l+cx Itey lez

Giải:

2) Cộng hai dòng sau vào dòng đầu rồi đưa (x+ y+z) ra ngoài thì:

k-y-z 2 %

=Œ+y+2j2y y-z-x 2y

2z 2z z-z-3

1 0 0

=œ+y+z)Dy -@œ+y+z) 0 |=œ+y+z)"

2z 0 ~œ+y+?)

b) Nhân dòng Ï với (1) rồi cộng vào dòng 2 và dòng 3 thì có:

+zx l+ay 1+2 |lta ltay lta

tox 1+øzy 1+z|=l6-a)jx (-a)y (b~a)3 tex 1+ 1+e| |e-a)x (c-a)y (c-a)z

I+ay l+ay 1+zi

=®-a(e-a| x y z|=0 ,

x oyog

Trang 40

Ví dụ 4: Tính các định thức

a be L1 T

ala? Bb? cŸ c ca ab bla a’ be BS b

Giải:

a) Nhân cột 3 với (-1) rồi cộng vào 2 cột đầu thì có

ab c| |a-e bxc c

11 cổ

=(a-e(b~eja+e b+c c? -b -a ab

II 1 e

=(a-ec\(b—e)|0 b-a -ca

0 b-a be +ab h -ca h bc + ab =(a~e)(b ~ e)(b ~ a)(ab + be + ca) b) Nhân cột đầu với (-1) rồi cộng vào hai cột sau thì có:

=(a~e)(B ~ e)(b = a)|

11 i {1 0 0

a b c|=la b-a cma lB cl ja #-a' e-ä

Trang 41

1 0 0

=(~a)(e~a)Ìa 1 1

=(b~a)€~a)

la? b?+a!+ab a*+e?+ae|

1 1 +a? +ab a? +c? sa =(a~B)(b=e)(e ~4)(a+b+e) Ví dụ 5: Tính các lea a a 2) |Ixð` ð ðŸ lec’ cc! Gidi: định thức (6+ % ° b)| @ (crap cỀ a 0` (a+b)

a) Nhân cột cuối với (-1) cộng vào cột đầu thì có:

2 Ũ l+a aa Ũ Ib) bob l= Itc cc 3| aor a 2 bị, e

Nhân dòng đầu với (-1) cộng vào 2 dong sau

loa a =|0 b-a b

0 c-a c -a|

-a =(b~a)€~a 1 m1 ct =(b-a)(e-a)(c-b) :

b) Nhân dòng cuối với (-1) cộng vào hai dòng đầu

Trang 42

ory # é B=| @ (ctaP c đ BF (a+b) 2 (o+c)?-a? 0 c? =(a +) =| 0 (e+a)°~b* c?-(a+b)? a Be (ato) b+c-a 0 c-a-

=(a+b+c)'] 0 cta-b ce-a-l=(a+b+e).D

a 0} (a+b)”

'Nhân cột đâu và cột hai với (-1) rồi cộng vào cột 3

b+e-a 0 - D-| 0 cta-b -

a Bad

“ bề 2a0| “b+a-b — +a] ° ¬

=(b+e~a)Dabe+ 2a*b— dab? + dye? }+ 22a`b(c+a~b)

=2ab(b+e—a)(a+e)+2a°b(c +a~ð)

=2alcb+c2 =ac+ab+ac~a^ +ac+a^ ~a0]

= 2ableb +c? +ac]=2abe(a+b +c)

Định dạng
Số trang	106
Dung lượng	3,92 MB